§ 1. Производная явной функции

72. Можно ли утверждать, что если /'(х о -+• 0) = /'(х о — 0), то функция / непрерывна в 
точке хо?
73. Производная для последовательности (х п) определяется по формуле
Xт[ — Xт
1+1
X,i, 
11 £ I
n
.
Найти:
а) (хпуп)'\ б) (1пх„)'; в) (е1" )'; г) ( хп + уп)'; д) 0 ( х „ ) ) '; е) 
; ж) (2П)';
з) (sin » 2)'; и) (a rc tg » )'.
74. Написать уравнение касательной к кривой, радиус-вектор которой
а)
f
(t) =
(sin
f, 
cost, 4t), в точке 
M
^  ;
б) f (t) = (a rc tg t2, arcsint, sh t, c h t), в точке M (0, 0, 0, 1).
75. Написать уравнение нормальной плоскости к кривой, радиус-вектор которой
а) f (t) = (t, t 2, t3), в точке M( 1, 1, 1);
б) f (t) =
In |/ ( t ) |, at 2, tcli t, sh t^j при t = 1, где a = \ J ^  — e-2 — 1.
76. Найти угол между кривыми в точке их пересечения, если радиусы-векторы кривых 
f)(t) и f*
2
(t) описываются формулами:
а) fi(t) = (e- 2 t, 
th t) , f2(t) = (t + 1, sin 3t, tesh ');
б) fi(t) = (t, t 2, t 3, t 4, t&), f2(t) = (sint, sin 2t, sin 3t, sin4t, sin5t).
77. Показать, что вектор-функция X : 1
1
—►
(sin t, — cos t, e_ t)T удовлетворяет уравнению
X '(f) = A (t)X (t) + f ( t) ,
где
i
1
A(t) =
cos t 
sin t 
\ In |t| 
tg tln |t|
78. Подобрать вектор-функцию f так, чтобы вектор-функция X : t 
(t, t 2, t3) удовле­
творяла уравнению
/ —2t 
2 
t -3 \
X '(t) = A(t) X (t) + f (t), где A(t) = I 
0 
- t
1 
I .
V t -1 
0 
0 
/
126 
Гл. 
2
. 
Дифференциальное исчисление функций одной переменной
— sin t \
/
2 cos t
t 4 
I , 
f ( t ) = I s in t —t 4e-£
t 
)  
\ — e f(l + 1)
79. Показать, что вектор-функция Х : ( н diag A(t) удовлетворяет уравнению
X '(t) = A (t)X (t) + f ( t) ,
где
A(t) =
sin t 
cos t 
sin t 
— cos t

жүктеу/скачать 16,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: