122
Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Отсюда, в силу тождества
А ( х ) А ~ ' (■>') = / (единичная матрица), следует
А ' ( х ) А ~ 1(х) + Л(х) (Л - 1 (х)) = 0 (нуль-матрица).
Наконец, умножив слева обе части этого равенства на
А ~ 1(х), приходим к требуемой форму
ле. ►
2 7 .
Пусть Л (г) — матрица, имеющая конечную производную. Всегда ли справедлива
формула
(Л "(х))' =
п А п~ 1(х)А'(х),
п е т
(1)
◄ Уже при
п = 2 замечаем, что приведенная формула, вообще говоря, не выполняется.
В
самом деле,
(Л2(х ))' =
(А(х)А(х))' = Л '(х)Л (х) +
А(х)А' (х).
Отсюда также видим, что формула (1) будет справедливой, если матрицы
А ( х ) и
А ' ( х) пе
рестановочны. Оказывается, что и в общем случае перестановочность матриц
А( х) , А' ( х)
является достаточным условием правильности формулы (1). В самом деле, поскольку в си
лу (1)
(Л ',+1(х ))' = (Л п(х)Л (х))' = (Л ’'(х ))'Л (х ) + Л ” (х)Л '(х) =
п А п- \ х ) А \ х ) А { х ) +
А п(х)А' (х) =
= » Л п -1(х)Л (х)Л '(х)
+ А п{х)А'(х) =
(п + ])Л ” (х)Л '(х),
то, в соответствии с методом математической индукции, заключаем, что формула (1) спра
ведлива Vn
Достарыңызбен бөлісу: 
