Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл



Pdf көрінісі
бет49/135
Дата31.10.2022
өлшемі16,21 Mb.
#46579
1   ...   45   46   47   48   49   50   51   52   ...   135
Байланысты:
Anti-Demidovich Lyashko I I i dr Tom 1 Vvedenie v matematicheskij analiz proizvodnaja integral 2001 ru T 358s

Л — а-’и 
/ i—»0 
fl
 
/
1
—*0 
Д
2 6 .
Пусть А{х) — квадратная матрица, имеющая конечную производную и обратную 
матрицу А
-1
(г). Показать, что
(А_
1
(х))' = — А_
1
(х)А,(х) А_
1
(х).
■4 Пользуясь определением (1) из примера 25, сначала устанавливаем, что для произведе-' 
ния матриц А, В, имеющих конечные производные, справедлива формула
(А(х)Я(х))' = А' (х)В(х) + А{ х ) В\х ),
на основании которой
(А(х)А-
1
(х))' = А'(х)А_
1
(х) + А (х ) { А ~ \ х ) ) ' .


122
Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Отсюда, в силу тождества А ( х ) А ~ ' (■>') = / (единичная матрица), следует
А ' ( х ) А ~ 1(х) + Л(х) (Л - 1 (х)) = 0 (нуль-матрица).
Наконец, умножив слева обе части этого равенства на А ~ 1(х), приходим к требуемой форму­
ле. ►
2 7 .
Пусть Л (г) — матрица, имеющая конечную производную. Всегда ли справедлива 
формула
(Л "(х))' = п А п~ 1(х)А'(х), 
п е т  
(1)
◄ Уже при п = 2 замечаем, что приведенная формула, вообще говоря, не выполняется. 
В 
самом деле,
(Л2(х ))' = (А(х)А(х))'  = Л '(х)Л (х) + А(х)А' (х).
Отсюда также видим, что формула (1) будет справедливой, если матрицы А ( х )  и А ' ( х)  пе­
рестановочны. Оказывается, что и в общем случае перестановочность матриц А( х) , А' ( х)  
является достаточным условием правильности формулы (1). В самом деле, поскольку в си­
лу (1)
(Л ',+1(х ))' = (Л п(х)Л (х))' = (Л ’'(х ))'Л (х ) + Л ” (х)Л '(х) = п А п- \ х ) А \ х ) А { х )  + А п(х)А' (х) =
= » Л п -1(х)Л (х)Л '(х) + А п{х)А'(х) = (п + ])Л ” (х)Л '(х),
то, в соответствии с методом математической индукции, заключаем, что формула (1) спра­
ведлива Vn 


Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   45   46   47   48   49   50   51   52   ...   135




©emirsaba.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет