ся
либо
в
критической точке этой функции, либо в граничных точках а и b этого сегмента.
Исследовать
на экстремум следующие функции:
1 5 4 . f :
х
н-*■
xm(l — x)n , х € К, m, п € N.
◄ Находим производную функции / и приравниваем ее к нулю
/ ' ( * )
=
+
n ) x m_1(l - * Г -1 ( ^ J - - * )
=
0
.
Корни этого уравнения xi =
0
(m >
1
), х
2
=
1
(п >
1
), хз =
будут стационарными
точками. Проверим достаточные условия.
Пусть
0
< е <
. При т четном / ' ( —е) <
0
, /'(е ) > 0, следовательно, в точке xi =
0
функция / имеет минимум, равный нулю.
Аналогично для точки х
2
= 1: при п четном /'(1 — е) < 0 , /'(1 + е ) >
0
, поэтому функция
/ в этой точке имеет минимум, равный нулю; при п нечетном
/'(1
— е) >
0
,
/'(1
+ е ) >
0
, т. е.
экстремума нет.
Наконец, для точки хз = - т— имеем
т+п
/ ' ( - ? - + *') < ° -
V т + n
J
\ т + п
)
Таким образом, в точке х3 функция / имеет максимум
f ( т ^ —
ттпп
V m + и /
( т
+ «)т +п
Случай, когда т = 1 (« = 1), предлагаем читателю рассмотреть самостоятельно. ►
i
1
1 5 5 . / : х н г з
( 1
— г ) з , х € R.
4 Приравнивая к нулю производную данной функции, находим стационарную точку xi =
j . В точках х
2
=
0
и хз =
1
конечная производная не существует. Пусть 0 < е < 1, тогда ,
/ '( 1 + £) <0;
^'(-£) >0’ Л £)>°;
/'(1 — в) < О,
/'(1+ е)> 0.
Следовательно, при xi = 1 функция имеет максимум, равный |v^4. При х
2
= 0 экстре
мума нет, а при х
3
=
1
функция имеет минимум, равный нулю. ►
1 5 6 . / : х и е 1*1
^ \/2
+ sill — j ,
х
ф 0,
и / (
0
) =
0
.
184
Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
•4 Исследуем знак приращения функции / в точке х =
0
. Имеем
Д / (
0
) = е
1*1
^\/2
+ sin
>
0
при всех х ^
0
. Следовательно, функция имеет при х =
0
минимум, равный / (
0
) =
0
. При
i / О рассмотрим уравнение f '( x) = 0. Очевидно,
/ :
1
ь х~2е
1*1
2
+ sin
sgnx — cos
, x ф
0
.
Поскольку |sin - + cos ~ |
\/2, то производная при переходе через точки, в которых она
обращается в нуль, знака не меняет, поэтому других экстремальных значений, кроме f mm =
/ (
0
) =
0
, функция не имеет. ►
Найти экстремумы следующих функций:
1 5 7 .
/ : г и
arctgx — ^
1
ц
(1
+ z 2), х
6
R.
◄ Производная / ' : х ь-►
=
0
при х =
1
. Поскольку
/'(1
— е) >
0
, а
/'(1
+ е) <
0
,
0
< е <
1
, то в точке х =
1
функция имеет максимум, равный j
i In
2
. ►
1 5 8 .
/ : х н-► | x | e , - ' t _ 1 ^, х е R .
◄ Из выражения для производной / ': х н-►
e- 'I_1Ugn х — jx|e ^
1
* sgn (х —
1
), х Ф 0, х ф
1
,
видим, что точки xi = —
1
, Х
2
=
0
и х
3
=
1
подозрительны на экстремум.
О наличии экстремума и его характере судим по знаку производной при переходе через
точки Xi (i =
1
, 2, 3). Имеем
/'(—1
+ е) <
0
, / '( —
1
—
е)
>
0
(максимум, равный е- 2 );
/ '( - « ) <
0
, f'(e) >
0
(минимум, равный
0
);
/'(1
— е) >
0
,
/'(1
+ е) <
0
(максимум, равный
1
)
(е — достаточно малое положительное число). ►
1 5 9 .
Найти наименьшее и наибольшее значения функции / : х н |х
2
— Зх + 2| на сегменте
[ -
10
,
10
].
◄ Находим производную
/ п н (2х — 3)sgn (х
2
— Зх + 2),
х ф 1,
х ф 2;
отсюда получаем точки, подозрительные на экстремум:
хх = | ( / ' ( | ) = о ) ; Х
2
= 1; х.э = 2 (производная не существует). Сравнивая между собой
числа
/(х х ) = 1, Д х 2) = 0, /(х з ) = 0, / ( - 1 0 ) = 132, /(1 0 ) = 72,
приходим к выводу, что наибольшее значение функции равно 132, а наименьшее равно 0. ►
1 6 0 .
Найти точную нижнюю (inf) и точную верхнюю (sup) грани функции / : х и
_
2
2
2
,
г
е
cos# на интервале J — оо, -foo[.
◄ Принимая во внимание четность функции / , рассматриваем ее на полуинтервале х ^ 0.
Из выражения / : х и — 2\/2хе~х c o s ( j — х2) видим, что точки xj = 0 и ц = V x + 2 b r >
к £ Zo, подозрительны на экстремум. Сравнивая числа
заключаем, что
—
ОО < X < + со
1
—
7
= е
4
л
/ 2
к £ Zo,
lim /( x ) =
0
,
X—
►
+ CO
1
"
4 ’
sup
—
оо<я< + оо
/( x ) = 1. ►
1 6 1 .
Определить inf /(£ ) и s u p /(£ ) функции / : £
1
+ е
на интервале ]х, +оо[.
4 По производной / : £
(з+е2)2
- 3 , & = 1. Затем из чисел / ( — 3) = —
/ ( 1) = 1, lim /(£ ) =
£-*х+о
наибольшее и наименьшее.
3 +
£2
находим точки, подозрительные на экстремум: £х =
д + д
3 + х
2
’
lim /(£ ) = 0 выбираем
? — + °°
185
Достарыңызбен бөлісу: |