Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл
жүктеу/скачать 16,21 Mb. Pdf көрінісі
|
- Бұл бет үшін навигация:
- 1 5 5 . / : х н г з ( 1 — г ) з , х € R.
- /(1 — в) /(1+ е)> 0.
- 1 5 6 . / : х и е 1*1 ^ \/2 + sill — j , х ф 0, и / ( 0 ) = 0 .
- 1 5 7 . / : г и
| ся
либо в критической точке этой функции, либо в граничных точках а и b этого сегмента. Исследовать на экстремум следующие функции: 1 5 4 . f : х н-*■ xm(l — x)n , х € К, m, п € N. ◄ Находим производную функции / и приравниваем ее к нулю / ' ( * ) = + n ) x m_1(l - * Г -1 ( ^ J - - * ) = 0 . Корни этого уравнения xi = 0 (m > 1 ), х 2 = 1 (п > 1 ), хз = будут стационарными точками. Проверим достаточные условия. Пусть 0 < е < . При т четном / ' ( —е) < 0 , /'(е ) > 0, следовательно, в точке xi = 0 функция / имеет минимум, равный нулю. Аналогично для точки х 2 = 1: при п четном /'(1 — е) < 0 , /'(1 + е ) > 0 , поэтому функция / в этой точке имеет минимум, равный нулю; при п нечетном /'(1 — е) > 0 , /'(1 + е ) > 0 , т. е. экстремума нет. Наконец, для точки хз = - т— имеем т+п / ' ( - ? - + *') < ° - V т + n J \ т + п ) Таким образом, в точке х3 функция / имеет максимум f ( т ^ — ттпп V m + и / ( т + «)т +п Случай, когда т = 1 (« = 1), предлагаем читателю рассмотреть самостоятельно. ► i 1 1 5 5 . / : х н г з ( 1 — г ) з , х € R. 4 Приравнивая к нулю производную данной функции, находим стационарную точку xi = j . В точках х 2 = 0 и хз = 1 конечная производная не существует. Пусть 0 < е < 1, тогда , / '( 1 + £) <0; ^'(-£) >0’ Л £)>°; /'(1 — в) < О, /'(1+ е)> 0. Следовательно, при xi = 1 функция имеет максимум, равный |v^4. При х 2 = 0 экстре мума нет, а при х 3 = 1 функция имеет минимум, равный нулю. ► 1 5 6 . / : х и е 1*1 ^ \/2 + sill — j , х ф 0, и / ( 0 ) = 0 . 184 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной •4 Исследуем знак приращения функции / в точке х = 0 . Имеем Д / ( 0 ) = е 1*1 ^\/2 + sin > 0 при всех х ^ 0 . Следовательно, функция имеет при х = 0 минимум, равный / ( 0 ) = 0 . При i / О рассмотрим уравнение f '( x) = 0. Очевидно, / : 1 ь х~2е 1*1 2 + sin sgnx — cos , x ф 0 . Поскольку |sin - + cos ~ | \/2, то производная при переходе через точки, в которых она обращается в нуль, знака не меняет, поэтому других экстремальных значений, кроме f mm = / ( 0 ) = 0 , функция не имеет. ► Найти экстремумы следующих функций: 1 5 7 . / : г и arctgx — ^ 1 ц (1 + z 2), х 6 R. ◄ Производная / ' : х ь-► = 0 при х = 1 . Поскольку /'(1 — е) > 0 , а /'(1 + е) < 0 , 0 < е < 1 , то в точке х = 1 функция имеет максимум, равный j i In 2 . ► 1 5 8 . / : х н-► | x | e , - ' t _ 1 ^, х е R . ◄ Из выражения для производной / ': х н-► e- 'I_1Ugn х — jx|e ^ 1 * sgn (х — 1 ), х Ф 0, х ф 1 , видим, что точки xi = — 1 , Х 2 = 0 и х 3 = 1 подозрительны на экстремум. О наличии экстремума и его характере судим по знаку производной при переходе через точки Xi (i = 1 , 2, 3). Имеем /'(—1 + е) < 0 , / '( — 1 — е) > 0 (максимум, равный е- 2 ); / '( - « ) < 0 , f'(e) > 0 (минимум, равный 0 ); /'(1 — е) > 0 , /'(1 + е) < 0 (максимум, равный 1 ) (е — достаточно малое положительное число). ► 1 5 9 . Найти наименьшее и наибольшее значения функции / : х н |х 2 — Зх + 2| на сегменте [ - 10 , 10 ]. ◄ Находим производную / п н (2х — 3)sgn (х 2 — Зх + 2), х ф 1, х ф 2; отсюда получаем точки, подозрительные на экстремум: хх = | ( / ' ( | ) = о ) ; Х 2 = 1; х.э = 2 (производная не существует). Сравнивая между собой числа /(х х ) = 1, Д х 2) = 0, /(х з ) = 0, / ( - 1 0 ) = 132, /(1 0 ) = 72, приходим к выводу, что наибольшее значение функции равно 132, а наименьшее равно 0. ► 1 6 0 . Найти точную нижнюю (inf) и точную верхнюю (sup) грани функции / : х и _ 2 2 2 , г е cos# на интервале J — оо, -foo[. ◄ Принимая во внимание четность функции / , рассматриваем ее на полуинтервале х ^ 0. Из выражения / : х и — 2\/2хе~х c o s ( j — х2) видим, что точки xj = 0 и ц = V x + 2 b r > к £ Zo, подозрительны на экстремум. Сравнивая числа заключаем, что — ОО < X < + со 1 — 7 = е 4 л / 2 к £ Zo, lim /( x ) = 0 , X— ► + CO 1 " 4 ’ sup — оо<я< + оо /( x ) = 1. ► 1 6 1 . Определить inf /(£ ) и s u p /(£ ) функции / : £ 1 + е на интервале ]х, +оо[. 4 По производной / : £ (з+е2)2 - 3 , & = 1. Затем из чисел / ( — 3) = — / ( 1) = 1, lim /(£ ) = £-*х+о наибольшее и наименьшее. 3 + £2 находим точки, подозрительные на экстремум: £х = д + д 3 + х 2 ’ lim /(£ ) = 0 выбираем ? — + °° |