Үшбұрыштар теңдігінің екінші белгісі
Теорема 3 (бір қабырғасы және оған іргелес бұрыштары бойынша үшбұрыштардың теңдік белгісі).
Егер бір үшбұрыштың бір қабырғасы мен оған іргелес бұрыштары сәйкесінше екінші үшбұрыштың бір қабырғасы мен оған іргелес бұрыштарына тең болса, онда мұндай үшбұрыштар тең болады.
Дәлелдеу. Айталық, АВС және А1В1С1 - екі үшбұрыш, оларда АВ = А1В1, А = А1 және В= В1 болсын (8-су-рет). Үшбұрыштардың тең екенін дәлелдейік.
Айталық,А1В2С2 – АВС үшбұрышына тең үшбұрыш болсын, оның В2 төбесі А1В1 сәулесінде жатсын, ал С2 төбесі С1 тебесімен А1В1 түзуіне қарағанда бір жарты жазықтықта жатсын.
А1В2 = А1В1 болғандықтан, В2 төбесі В1 төбесімен беттеседі. В1А1С2= В1А1С1 және А1В1С2= А1В1С1 болғандықтан,
А1С2 сәулесі А1С1 сәулесімен беттеседі, ал В1С2 сәулесі В1С1 сәулесімен беттеседі. Бұдан С2 төбесі С1 төбесімен беттесетіндігі шығады.
Сонымен, А1В1С1 үшбұрышы А1В2С2 үшбұрышымен беттеседі, демек, АВС үшбұрышына тең болады. Теорема дәлелденді.
Тең бүйірлі үшбұрыш
Егер үшбұрыштың екі қабырғасы тең болса, ол тең бүйірлі үшбұрыш деп аталады. Бұл тең қабырғалар үшбұрыштың бүйір қабырғалары деп, ал үшінші қабыргасы үшбұрыштың табаны деп аталады.
9-суретте тең бүйірлі АВС үшбұрышы кескінделген. АС мен ВС - оның бүйір қабырғалары, ал АВ - табаны.
Теорема 4 (тең бүйірлі үшбұрыштың бұрыштарының қасиеті). Тең бүйірлі үшбұрыштың табанындағы бұрыштары тең болады.
Дәлелдеу. Айталық, АВС - табаны АВ болатын тең бүйірлі үшбұрыш болсын (9-сурет). Ондағы А= В екенін дәлелдейміз.
Үшбұрыштардың теңдігінің бірінші белгісі бойынша САВ үшбұрышы СВА үшбұрышына тең. Шынында да, СА = СВ, СВ = СА, С=С.
Үшбұрыштардың теңдігінен А= В екендігі шығады. Теорема дәлелденді.
Барлық қабырғалары тең болатын үшбұрыш тең қабырғалы үшбұрыш деп аталады.
Есеп 1. Тең қабырғалы үшбұрыштың барлық бұрыштары тең болатынын дәлелдеу керек.
Шешуі. Айталық, АВС - берілген тең қабырғалы үшбұрыш болсын: АВ=ВС = СА (10-сурет). АВ = ВС болғандықтан, бұл үшбұрыш табаны АС болатын тең бүйірлі үшбүрыш. 3.3 теорема бойынша С=А. ВС = СА
болғандықтан, АВС үшбұрышы табаны АВ болатын тең бүйірлі үшбүрыш болып табылады. 4-теорема бойынша А= В. Сонымен, С= А= В, яғни үшбұрыштың барлық бұрыштары тең.
Кері теорема
Теорема 5. (тең бүйірлі үшбұрыш белгісі). Егер үшбұрыштың екі бұрышы тең болса, онда ол тең бүйірлі болады.
Дәлелдеу. АВС үшбұрышында А=В болсын (11-сурет). Ол табаны АВ болатын тең бүйірлі үшбұрыш екенін дәлелдейміз.
Үшбұрыштар теңдігінің екінші белгісі бойынша АВС үшбұрышы ВАС үшбұрышына тең. Шынында да, АВ = ВА, В = А, А=В.
Үшбұрыштардың теңдігінен АС=ВС екендігі шығады. Демек, анықтама бойынша АВС - тең бүйірлі үшбұрыш. Теорема дәлелденді.
5-теорема 4-теоремаға кері теорема деп аталады. 4-теореманың қорытындысы 5-теореманың шарты болып табылады. Ал 4-теореманың шарты 5-теореманың қорытындысы болып табылады. Кез келген теоремаға кері теорема бар бола бермейді, яғни берілген теорема дұрыс болғанымен, оған кері теорема дұрыс болмауы мүмкін. Бұны вертикаль бұрыштар туралы теореманы мысалға алып түсіндірейік. Бұл теореманы былай тұжырымдауға болады: егер екі бұрыш вертикаль бұрыштар болса, онда олар тең болады. Бұған кері теорема былай болар еді: егер екі
бұрыш тең болса, онда олар вертикаль бұрыштар болады. Әрине, бұл дүрыс емес. Тең екі бұрыштың вертикаль бұрыштар болуы тіпті де міндетті емес.
Осы теореманы дәлелдейік. АВС - барлық бұрыштары тең үшбұрыш болсын: А=В=С, А=В болғандықтан, 5-теорема бойынша АС= СВ. В=.С болғандықтан, 5-теорема бойынша АС = АВ. Сонымен, АВ = АС = СВ, яғни үшбұрыштың барлық қабырғалары тең. Демек, анықтама бойынша АВС - тең қабырғалы үшбұрыш.
Достарыңызбен бөлісу: |
