Математика пәнінің жаңа бағдарламасында «кез келген адам өз өмірінде кездесетін күрделі есептерді орындау: кесте, диаграмма, график түріндегі ақпаратты оқи алуы қажет» делінген
I БӨЛІМ. ТУЫНДЫ ҰғымЫНын шығу тарихы және анықтамасы
жүктеу/скачать 1,94 Mb.
|
ТУЫНДЫ ҰҒЫМЫ
Туындыларды және олардың функцияларды зерттеуде қолданылуы қарастырылатын математиканың бөлімі дифференциал деп аталады. Айырманы көрсететін түріндегі өсімше туындылармен жұмысістегенде елеулі орын алады. Сондықтан да жаңа есептеу calculis differentialis (қазақшаға аударғанда айырымды есептеу деп аударылады) атауында латынша differentia (айырма) түбірінің көрініс табуы орынды, бұл атау XVII ғасырдың аяғында, яғни жаңа әдіс дүниеге кенлгенде пайда болды. «Туынды» термині deriveе деген француз тілінен аударғанда сөзбе-сөз деген мағынаны береді. Оны ең алғаш 1797 ж. Ж.Лагранж (1736-1813) енгізген, қазіргі кезде белілеулерін де сол енгізген – ді. Бұл атау мынадай ұғымның маағынасын ашады: функциясы - тен шығады, - тің туындысы болып табылады. И. Ньютон функцияың туындысын флюкция деп, ал функцияның өзін флюента деп атаған. Г.Лейбницдифференциалдық қатынас туралы айтқан және туындыны түрінде белгілеген. Бұл белгілеу қазіргі кездегі әдебиеттерде де жиі кездеседі. Лейбниц символын функциясының дифференциалын белгілеу үшін таңдап алған. функциясының дифференциалы - туындысының өсімшесіне көбейтіндісі, яғни ; белгілеуін -пен алмастырып, оны былайда жазуға болады: , осыдан . Дифференциалдық есептеуде қабылданған терминология туралы әңгімені шек және шексіз аз ұғымдары толықтыра түседі. Шек туралы төменде егжей-тегжейлі айтылады, әзірге мынаны ескереміз,Мысалы: туынды барлық нұсқауларда шек ретінде анықталады жоғарыда қабылданған жағдайда деп жазудың орнына limтүрінде жазады lim белгілеуі – латынша limes (меже , шекара) деген сөзінің қысқарған түрі; Мысалы: -ті кеміте келіп біз мәнін «шекарасына» ұмтылтамыз. «Шек» терминін Ньютон енгізген. - тен функциясы шексіз аз шаманың мысалы бола алады , өйткені жағдайда . Жалпы егер болса, -ны шексіз аз шама деп айтады. Математикалық анализде шексіз аздар маңызды орынға ие, сондықтан да оны көбінесе шексіз аздар анализі деп атайды. Ақырында «экстремум» сөзі латынша extremum (шекті) сөзінен шыққанын айта кетейік. Қазақша maximum ең үлкен, ал minimum ең кіші деп аударылады. Дифференциалдық есептеуді Ньютон мен Леибниц бір шама беріректе, XVII- соңында құрды. Таң қаларлық бір нәрсе, бұдан көп жылдар бұрын Архимед аса күрделі спираль сияқты қисыққа жанама жүргізу есебін шығарған (ол мұнда шекке көшуді қолданған), сонымен бірге функциясының max таба білген. Жанама ұғымы (ол өзіміз білеміз туынды ұғымымен байланысты) Итолиан математигі Н.Тартальи (1500-1557) ж. шамасында еңбектерінде ауық-ауық ұшырасып қалады, мұнда жанама зеңбіректің оқты барынша алысқа атуға көмектесетін көлбеулік бұрышы жөніндегі мәселені оқып-үйрену барысында айтылады. И.Кеплер радиусыберілгеншарға іштей сызылғанпараллелепипеттің ең үлкен көлемі туралы есепті шығару барысында жанаманы қарастырған. XVII- ғасырда Г.Галилейдің қозғалыс туралы ілімі негізінде туындының кинематикалық концепциясы қарыштап өркендеді Әр түрлі есептерді шығаруға қолданылған алуан түрлі варианттардың баяндалуы Р.Декартта, француз математигі Робельвальде (1602-1675) ағылшын ғалымы Д.Грегориде (1638-1675) , И.Барроу (1630-1677) мен И.ньютон еңбектерінде кездеседі. Жанама мен нормальды (жанамаға перпендикуляр және жанасу нүктесінде жүргізілген түзу осылай аталады) қарастыруға Декарт линзалардың оптикалық қасиеттерін зерттеу барысында келеді. Ол аналитикалық геометрия әдістерінің және өзі ойлап тапқан анықталмаған коэфиценттер әдісінің көмегімен бір қатар қисықтарға, соның ішінде элипске нормальдар салу туралы есепті шығара білді. 1629 ж. Т.Ферма көпмүшелердің экстримумдарын табу ережелерін ұсынды. Айта кететін елеулі нәрсе, Ферма осы ережелерді қортып шығарғанда max мен min дифференциалдық шартын біле отырып шекке көшуді қиуырт қолданды. Туындылар туралы ғылымды жүйелі дамытқан Лейбниц пен Ньютон болды олар анализдіңнегізгі екі проблемасын тұжырымдады :
Жүретін жолдың тұрақты (яғни кез – келген уақыт) мезетіндегі ұзындығы берілген ; көрсетілген уақыт ішіндегі қозғалыс жылдамдығын табу керек. Қозғалыс жылдамдығы тұрақты берілген; көрсетілген уақыт ішінде жүрілген жолдың ұзындығын табу керек Бірінші проблемма дифференциалдық есептеудің даму бағдарламасын береді . Екінші интегралдық есептеуге жатады . XVIII – ғасырдағы және одан кейінгі жасалған жаңалықтар туралы қысқа мақалада әңгімелеп шығу мүмкін емес. Шығарылатын есептер шеңберін кеңейтуге мүмкіндік қуатты жаңа әдістердің пайда болуынан туған ынта XVIII- ғасырда анализдің қардықынды дамуына себепші болды. Алайда осы ғасырдың соңында дифференциалдық және интегралдық есептеулерді жасаушыларда аса өткір проблеммалар пайда болды. Негізгі қиыншылық мынада еді: шек, үздіксіздік, нақты сан сияқты негізгі терминдердің дәл анықтамалары болмады. Бұған тән мысал- үздіксіздік анықтамасы. Эйлер, Лагранж тіпті анықталу облысында бір ғана өрнекпен берілген функцияны үздіксіз деп атады. Ньютон, Лейбниц, Эйлер сияқты алыптардың данышпандық интуициясы оларды қателесуден сақтап қалды. Бірақ қалайда берік логикалық негіз қажет болды. Математикалық ұғымдарды дамыту мен оларды оқушылардың меңгеруін қамтамасыз ету мектеп математикасын оқытудың басты міндеттерінің бірі болып саналады. Ал бұл міндет мектеп математика курсының басты ұғымдарын саналы және баянды түрде таразылауды, соның негізінде көптеген дидактикалық міндеттерді шешуге болатын математикалық ұғымдарды меңгеруді қамтамасыз етуді, оларды оқушыларға оқытып- үйретудің тиімді жолдарын анықтауды қажет етеді. Білімді меңгеру – ұғымдарды бүтін, тұтас күйінде меңгеру, ал ойлау ұғымдармен, пікірлермен жасалатын әрекет болып табылады. Орта мектеп математикасы бағдарламасының түсініктеме сөздігінде: “...түсінікті де, мазмұнды мысалдар арқылы оқушыларға математикалық ұғымдардың дамуын көрсету керек, оларды ғылыми зерттеулердің кезеңдері және әдістерімен таныстыру керек” екендігіне баса назар аударылған. “Оқушыларға жалпылау мен ұғымдарды қалыптастыру мектептегі оқытудың ең басты мақсаттарының бірі”, - деп атап көрсеткен В. В. Давыдов. Осыған орай математикалық ұғымдарды дамытудың тиімді жолдарын іздестіру – оқыту мен тәрбиелеудің сапасын көтеруге бірден – бір құрал болып табылады. Философтар мен қоғамдық ғылым өкілдері де ұғымдардың дамуында тәжірибенің ролін зор екендігіне баса назар аударған. Өздеріңмұң - мұқтаждарын, қажеттіліктерін қанағаттандыру қызметтерінің нәтижесінде ғана, адамдар санасында алғашқы ұғымдар пайда болған. Адамдардың тәжірибелік қызметіне қажет болған шындық дүниесінің сандық қатыстары мен кеңістіктегі формаларын бейнелеу үшін алғашқы математикалық абстракциялық ұғымдар туындалады. Бұған күні бүгінге дейін қолданылып жүрген математикалық терминдердің өзі дәлел бола алады. Мысалы, “трапеция” – гректің сөзі: ”тамақтанатын үстел” дегенді білдіреді, ”симметрия ” – грек сөзі: “біркелкілік, өлшемділік; ”хорда” – грек сөзі: ”шек”; ”цилиндр” – грек сөзі: ”айналдырамын”, “домалатамын”; ”вектор” – латынша: ”апарушы” немесе ”сілтеуші” т.с.с. Математикалық ұғымдардың ең алғашқысы және түп қазығы – сан ұғымы. Сан ұғымы өте ертеде адамзат жазу – сызу білмеген заманда пайда болған А. Көбесов сан ұғымының қалыптасуына алдымен санау амалы себепші болғандығын көрсетеді. Адам саннан бұрын “санауды”, ”түгендеуді” білген. Санау, түгендеу әрекеті негізінде сан ұғымы туады, біртіндеп кеңейеді. Ежелгі қазақтар төрт түлік малдарын санамай-ақ түгендеуі – осының нақты мысалы. Біздің ата – бабаларымыз бір қора қойдың өзін жасына қарай бөліп, әрбір төлді түстеп түгендейтін болған. Сырттай үстірт қарағанда математикалық ұғымдар тым абстрактілі, жасанды, тәжірибемен еш байланысы жоқ, қоғамдық үрдіске тигізетін әсері жоқ секілді болып көрінуі мүмкін. Ал математикалық ұғымдарға тарих көзімен қарасақ, олардың пайда болуы мен дамуына терең талдау жасасақ, жағдай күрт өзгереді. Ұғымдар терең мәнге, бай мазмұнға толықтырылады, математикалық ұғымдардың жалпылығына, логикалық жинақтылығына, өмірде және тәжірибеде кеңінен қолданылатындығына оның нәтижелерінің өзі – ақ куә болады. Танымның диалектикалық заңдылықтарына сүйене отырып, математикалық ұғымдарды меңгеруде, ұғымға сәйкес термин сөздермен, символдармен жүйелі түрде мақсатқа бағытталған жұмыс жүргізу керектігін, оқушылардың математикалық ұғым мен білімдерді саналы және белсенді меңгерулерін басқару мүмкіндігін ескеріп, ғылыми - әдістемелік деңгейін ашып көрсетелік. Оқушыларға жаңа енгізілген термин және символдың тарихи – генетикалық құрылымымен таныстыру. Бұл оқу мазмұны адамгершілікке, оқушылардың "Неге бұл ұғым осындай атпен аталады, неге басқаша аталмайды?” деген сияқты сұрақтарына жауап берудің тәрбиелік және ғылыми мәні бар. Мәселен, () таңбасы латынша "radix" сөзінің бірінші әрпі негізінде алынған. Сол сияқты процент белгісі латынша "procentum" сөзін итальяндар "pro cento" түрінде қабылдаған, біртіндеп тез жазу және қысқарту нәтижесінде cto болып, кейін % символы пайда болған. Пирамида латын сөзі, қазақша жалын деген мағынаны береді. Шындығында да, пирамида жанып тұрған жалын формасы сияқты. Медицинада қолданылатын пирамидон дәрісі, сонымен қатар күнделікті өмірде қолданылатын примус та сол мағынаны береді. Оқу материалының мазмұнын әртүрлі мүмкіндіктер арқылы орындау үшін, мұғалімге ең алдымен оны меңгеріп қана қоймай, сонымен қатар оның негізгі тарихи этаптарын білген жөн. Математикалық ұғымдарды енгізудегі тарихи мағлұматтарды тиімді пайдалану үшін: Ұғымның шығу тарихы туралы жалпы түсінік болу қажет. Ұғымды нақты анықтап, қажет кезде пайдалана білу керек. Әрбір ұғымның анықтамасын біле отырып, оның жеке қасиеттерін, түрлерін ажырату, яғни елеулі белгілерін айқын нақты анықтау. Тарихи деректермен таныстыру сабақ түсіндіру басында 1-2 минуттан аспауы керек. Сабақты қалыпты емес, тың әдістерді қолданып, тарихи деректермен толықтырып отырса, оның нәтижелілігі жоғары болмақ. Оқушыларға тарихи деректер арқылы түсіндіру, олардың осы ұғымға деген зейінін аударып қана қоймай, сол ұғымға деген қызығушылығын арттырады. Туындылар және олардың функцияларды зерттеуде қолданылуы қарастырылатын математиканың бөлімі дифференциалдық есептеу деп аталады. Айырманы көрсететін түріндегі өсімше туындылармен жұмыс істегенде елеулі орын алады. «Туынды» термині derivee деген француз сөзінің қазақша сөзбе-сөз аудармасы, оны 1797 ж. Жозеф Луи Лагранж (1736 - 1813) енгізген, қазіргі кездегі , белгілеулерін де сол енгізген-ді. Бұл атау мынадай ұғымның мағынасын ашады: функциясы -тен шығады, -тің туындысы болып табылады. И. Ньютон функцияның туындысын флюксия деп, ал функцияның өзін флюента деп атаған. Г. Лейбниц дифференциалдық қатынас туралы айтқан және туындыны түрінде белгілеген. Бұл белгілеу қазіргі әдебиетте де жиі кездеседі. Лейбниц символын функциясының дифференциалын белгілеу үшін таңдап алған. функциясының дифференциалы - туындысының өсімшесіне көбейтіндісі,яғни белгілеуін -пен алмастырып, оны былай да жазуға болады: осыдан . Дифференциалдық есептеуді Ньютон мен Лейбниц біршама беріректе, XVII ғасырдың соңында құрды. Туынды туралы ғылымды жүйелі дамытып, олар анализдің екі проблемасын тұжырымдады: Жүретін жолдың тұрақты (яғни кез келген уақыт мезетіндегі) ұзындығы берілген; көрсетілген уақыт ішіндегі қозғалыс жылдамдығын табу керек. Қозғалыс жылдамдығы тұрақты берілген; көрсетілген уақыт ішінде жүрілген жолдың ұзындығын табу керек. Бірінші ахуал дифференциалдық есептеудің даму бағдарламасына береді. Ньютон механика есептерін негізге алса (ньютондық анализ ньютондық классикалық механикамен қатар жасалған-ды), Лейбництің артықшылығы ол геометрия есептерін негіз етіп алды. Анализ идеяларының одан кейінгі дамулары туралы айтқанда (ол идеялар өте тез тарап кетті және өзіне көптеген ізбасарлар тапты) Лейбництің шәкірттері – ағайынды Я. Бернулли және И. Бернуллилердің есімдерін алдымен атаған жөн. Негізі де, көрсеткіші функция болып келетін дәрежелік-көрсеткіштік функцияның туындысы Ньютонда да, Яков Берниллида да жоқ. Оны Лейбниц пен Иоганн Бернулли тағайындаған. Дифференциалдық есептемедегі анықталмаған өрнектерді шын мәндерін Иоганн Бернулли көрсеткен. Дифференциалдық теңдеулер теориясында теңдеуі Бернулли теңдеуі деп аталады. Оны 1695 жылы Яков Бернилли ұсынған. Иоганн Бернуллидың ғалымдарға жазған хаттарында да құнды мағлұматтар кездеседі. Оларда бір тектес дифференциалдық теңдеулердің ауыстырмасы арқылы айнымалылары айырылатын теңдеулерге келтірілетіндігі, осы күні Лагранж теңдеуі деп аталатын теңдеуінің шешілетіндігі, көптеген шектеусіз қатарлар айтылады. А. Лопиталь (1661 - 1704) И. Бернуллиден дәріс алған, ол 1696 жылдың өзінде дифференциалдық есептеудің алғашқы курсы «Қисық сызықтарды зерттеуге арналған шексіз аздар анализін» баспадан шығарып үлгерді, бұл жаңа әдістердің таралуына септігін тигізді. Бұл салада ірі нәтижелерге жеткен Лагранж еді, оның еңбектері анализ негіздерінің мән-мағынасын түсінуде зор роль атқарды. Лейбниц пен Ньютон қалдырған математикалық анализ Лагранжды қанағаттандырмаған, ол анализді қайта құруды көздеген. Анализдің ең негізгі ұғымдарының бірі – туынды ұғымы. Туынды ұғымы түсінікті түрде, айқын, тұжырымдалса, интеграл да, басқа ұғымдар да оңай тұжырымдалады. Туындыны штрих арқылы белгілеуші Лагранж болған Туындылар таблицасы бойынша дифференциалдар таблицасын жасауға болады. Мысалы, т.с.с. Дифференциалдың да геометриялық мағынасын (1 сурет) анықтауға болады. Координаталар системасына функциясының графигін салайық, оның бойынан және нүктелерін алайық. болады. нүктесінен жанама жүргізсек, ол түзуін бір нүктесінде қиып өтеді. Туындының геометриялық мағынасы бойынша бұрышының тангенсі туындыға тең. үшбұрышынан яғни M1 Н M Р жүктеу/скачать 1,94 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|