Математика пәнінің жаңа бағдарламасында «кез келген адам өз өмірінде кездесетін күрделі есептерді орындау: кесте, диаграмма, график түріндегі ақпаратты оқи алуы қажет» делінген
жүктеу/скачать 1,94 Mb.
|
| 0 a c1 c2 b
2 сурет Егер дифференциалданатын функцияның графигі а мен b нүктелерінде абсциссалар осін қиып өтетін болса, осы аралықта оның ең кемінде бір жанамасы абсциссалар осіне параллель болады. Бұдан мынадай қорытынды шығады: сегментінде дифференциалданатын функциясы сегменттің ұштарында нольге айналатын болса, (3 сурет) яғни болса, берілген функцияның туындысы сегменттің ішкі нүктелерінде ең кемінде бір рет нольге айналады (Ролль теоремасы). a 0 b x (3 сурет) болмай, болса да (- нольден өзгеше) теорема күшінде қалады. Мұны дәлелдеу үшін координаталар осьтерін параллель жылжытып, координаталар басын (0, ) нүктесіне көшіру керек. Аса маңызды теоремалардың бірі – Коши теоремасы. Ол былай тұжырымдалады: Егер және функциялары сегментінде үздіксіз болса және сегменттің ішкі нүктелерінің бәрінде де олардың сәйкес және туындылары болса, туындысы сегменттің ішкі нүктелерінің ещқайсысында нольге айналмаса, теңсіздіктерін қанағаттандыратын с нүктесі табылады, теңдігі орындалады. Теореманы дәлелдеу үшін берілген және функциялары арқылы төмендегідей көмекші функциясын құрастырамыз: . х орнына b мен а сандарын қойып есептесек, болып шығады (көмекші функция әдейі, осылай болатындай етіліп алынған). Сондықтан функциясына Ролль теоремасын қолдануға болады. функциясының туындысын табамыз: Ролль теоремасы бойынша интервалында бұл туындыны нольге айналдыратын ең кемінде бір с нүктесі болады, яғни . Сонда: . Бұдан:
Теорема дәлелденді. Соңғы теңдік Коши формуласы деп аталады. Ол тәжірибеде жиі қолданылады. деп алсақ, болады да, Коши формуласы мына түрге келеді: Бұл теңдік Лагранж формуласы деп аталады. Формуланың мазмұны төмендегідей: Егер функциясы сегментінде үздіксіз болса және сегменттің ішкі нүктелерінің бәрінде де оның туындысы болса, теңсіздіктерін қанағаттандыратын бір с нүктесі табылады да, теңдігі орындалады (Лагранж теоремасы). Ағылшын математигі Брук Тейлор (1685 - 1731) мынадай формула қорытып шығарған: . Мұнда , болғанда Тейлор формуласы Лагранж формуласына айналады. Тейлор формуласы математиканың көптеген салаларында қолданылады. Берілген функцияны дифференциалдап, туындылары бойынша, оның экстремумы бар немесе жоқ екендігін, егер болса, қандай екендігін анықтауға болады. Ол жөнінде әр түрлі ережелер бар. Жиі қолданылатын ереже төмендегідей: нүктесінде функцияның бірінші ретті туындысы нольге тең, екінші ретті туындысы нольден өзгеше, яғни , болса, а нүктесінде функциясының экстремумы болады және екінші ретті туынды теріс сан болса, а нүктесіндегі экстремум максимум, оң сан болса, - минимум болады. Мысал 4.
. Бірінші ретті туындыны нольге тең етіп жазғанда теңдеуі шығады. Одан: . Функцияда экстремум болса, тек осы нүктелерде ғана болады, басқа нүктелерден іздеудің қажеті жоқ. х- тің табылған мәндерін қойып, екінші ретті туындының мәнін есептеп шығарам . Сонда ереже бойынша, және нүктелерінде минимум, нүктесінде максимум болады. нүктесінде функцияның ..., туындыларының бәрі де нольге тең болып, туындысы нольден өзгеше болуы мүмкін. Мұндайда эксвтремум жөніндегі мәселе соңғы туынды бойынша шешіледі: нольден өзгеше - нші ретті туындыда тақ сан болса, яғни болса, нүктесінде экстремум мүлде болмайды, ал жұп сан болса, яғни болса, нүктесінде функцияның экстремумы болады және болғанда максимум, болғанда минимум болады. Бірнеше аргументі бар функциялардың да туындылары мен дифференциалдарын есептеп шығаруға болады. Мысалы, функциясын х бойынша бойыншы және бойынша жеке-жеке дифференциалдауға болады. Бұдан шығатын туындылар дербес туындылар деп аталады да, түрінде белгіленеді. тәуелсіз айнымалылардың дифференциалдары, функцияның дербес дифференциалдары болады. Бұлардың қосындысы бірінші ретті толық дифференциал деп аталады. Ол деп белгіленеді. Мұндай функцияларды дифференциалдағанда да туындылардың жоғарыда келтірілген таблицасы қолданылады, тек х бойынша дифференциалдағанда пен -ті тұрақты ролінде алу керек, өйткені пен -ке жөнінде де солай. Мысал 5. болса, , , , Туынды арқылы алгебралық және тригонометриялық теңдеулерді түрлендіруге, яғни өрнектерді көбейткіштерге жіктеуге болады. Мысалдар қарастырайық. Мысал 6. өрнегін көбейткіштерге жіктеңіз. Шешуі: с-ны айнымалы деп туындыны табамыз. Онда , деп алсақ , онда өрнегі берілген функцияның шешімі болады. Мысал 7. Теңсіздікті дәлелдеңдер: егер егер Дәлелдеуі: функциясын қарастырайық та бұл функцияның жағдайда өспелі болатындығын көрсетейік. Ол үшін функцияның туындысын тауып, оны түрлендірейік: себебі, функциясының туындысы оң болғандықтан, өспелі функция болады да, қарастырылатын теңсіздік ақиқат болады. жүктеу/скачать 1,94 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|