Математика пәнінің жаңа бағдарламасында «кез келген адам өз өмірінде кездесетін күрделі есептерді орындау: кесте, диаграмма, график түріндегі ақпаратты оқи алуы қажет» делінген
жүктеу/скачать 1,94 Mb.
|
ТУЫНДЫ ҰҒЫМЫ
| y
0 x x=dx 1 сурет Сөйтіп, функцияның дифференциалы жанау нүктесінің х абциссасы есептеудің өсімше қабылдағанда жанаманың оған сәйкес нүктесінің ординатасы қабылдайтын өсімше болып табылады. кесіндісі функция өсімшесінің екінші бөлігі, яғни жоғары ретті шектеусіз шама болады. Сонымен, дифференциалдың геометриялық мағынасы – қисыққа жүргізілетін жанаманың бұрыштық коэффициенті. функциясынын дифференциалданғанда туындысы шығады. Оны бірінші ретті туынды деп атайды. Бірінші ретті туындыны тағы да дифференциалдасақ, бірінші ретті туындының туындысын табамыз. Ол екінші ретті туынды деп аталып, екі штрих арқылы белгіленеді: . Үшінші, төртінші т.с.с. ретті туындылар да бола береді. Үшінші ретті туынды. Төртінші, бесінші т.с.с.ретті туындыларда штрих орнына рим цифлары немесе жақшаға алынған үнді цифлары жазылады. Мәселен: yVI – алтыншы ретті туынды, y(38) – 38-нші ретті туынды, yn – n-нші ретті туынды. Бұлар кейде былай да белгіленеді: оқылуы "дэ екінші игрек бөлінген дэ икс квадрат" т.с.с. Туындының ретін функцияның дәрежесімен шатастырмау керек. Олар екі түрлі ұғымға жатады. Екінші, үшінші ретті т.с.с. ретті туындылар жоғары ретті туындылар деп аталады. Жалпы түрде: Мысал 1. -тің жоғары ретті туындыларын табыңыз. yIV=0. Бұдан кейінгі туындылардың бәрі де нольге тең болады. Екінші ретті туындының механикалық мағынасы бар: егер функциясы қозғалыстың математикалық заңы болса, жолдың екінші ретті туындысы үдеуді өрнектейді. Сондықтан үдеу жылдамдықтың туындысы болып табылады. Мысал 2. , жол берілген. болғанда үдеуді табыңыз. Шешуі: -ке тең болады. болса, онда Жауабы: 2.2 Туындыны оқыту әдістемесі Қазіргі қазақ тіліндегі «жылдамдық», орыс тіліндегі «скорость», француз тіліндегі «витессе», ағылшын тіліндегі «спид», неміс тіліндегі «гешвиндигкайт» сөздері «тау», «тас», «су» сияқты ертеден келе жатқан ескі сөздер емес, бертін жасалған туынды сөздер. Итальян, поляк, үнді,араб, монғол т.б. тілдерде де солай. Дүниеде жылдамдық мағынасында қолданылатын термині жоқ тілдерде кездеседі. Жылдамдық – техниканың даму дәрежесінің ең негізгі көрсеткіштерінің бірі. Тоқу фабрикасындағы ұршық секундына 45 рет айналады. Реактивті ұшақ сағатына 2500 километр жер «қусырады». Жасанды спутник Жер шарын 88 минутта айналып шығады.... Жылдамдықты анықтайтын сандар фабриканы, ұшақты, спутникті, т.с.с. сипаттаумен қатар, соларды жасап шығарған елдер мен халықтардың ғылыми мен мәдениетін де сипаттайды. Ежелгі заман орта ғасырларда жылдамдық жөнінде айқын ұғым болмаған, жылдамдық көбінесе жол ұзындығымен, үдеумен шатастырылған. Мәселен,ғасырда жазылған кітаптардың бірінде: «Керуен Дунай өзенінен Сырдарияға дейін төрт ай жүреді» делінген. Мұнда тіпті жолдың ұзындығы да белгісіз. Дунай еуропаның жартысын шарлап келіп, Қара теңізге құяды. Орта Азия жерінің біразын суарып, Аралға құятын Сырдария да сондай. Қай қаладан қай қалаға шейін? Неше шақырым немесе фарсаң? Ол кезде уақытты өлшейтін маятникті немесе серіппелі сағаттар да болмаған. «Жылдамдық» термині Аристотель мен Архимедтің шығармаларында да кездеспейді. Бұл ұғым Винчи еңбектерінен басталды деуге болады. ұлы итальян ғалымы Леонардо да Винчи (1452-1519) әр түрлі машиналардың қозғалыстарын және құстардың ұшу мүмкіндіктерін зерттеген, ұшақ алғашқы проектісін жасаған. Алайда жылдамдықты механиканың негізгі ұғымдарының бірі ретінде ғылыми тұрғыдан алғанда алғаш рет тұжырымдаушы Галилей боды. Жылдамдық туралы есеп, жанама есебімен қатар, туынды ұғымын қалыптастырды. Дене бір қалыпты v жылдамдықпен қозғалса, t уақыт ішінде түзу сызықтың бойымен s=vt жол жүретіндігі мәлім. Бірақ дүниеде бір қалыпты түзу сызықты қозғалыс болмайды. Бір қалыпты түзу сызықты қозғалыс – есептерді оңайлату үшін қолданылатын шартты түрдегі теориялық ұғым. Кейде жылдамдығының өзгерісі өте аз шама болатын немесе өте аз уақыт ішінде болған қозғалысты, жуық түрде, бір қалыпты деп ұйғарып, есепті қарапайым жағдайға келтіруге болады. Көп жағдайда v орнына қозғалыстың орташа жылдамдығы алынады. 120 километр жолды 2 сағатта жүріп өткен машинаның орташа жылдамдығын «сағатына 60 километр» дейді. Орташа жылдамдық 60 км/сағ болғанымен, машина жолдың кейбір жерлерін сағатына 10, 30, 50, 80 километр жылдамдықпен жүріп өтуі мүмкін. Орташа жылдамдық механикалық қозғалыстар теориясында елеулі роль атқарады. Бірталай есептер сол арқылы шешіледі. Алайда оның қажетті мағлұматтарды бере алмайтын кезі де болады. Машина көпір үстінен құйғытып өтіп, қозғалыстың жол полициясы тағайындаған ережесін бұзды, көпірге зақым келді. Мектеп жанынан тежеусіз өтіп балаларды қағып кетті... Осындайда машинаның дәл көпірден өткен кездегі, мектеп жанынан өткен кездегі жылдамдықтарын білу қажет. Математика тілінен айтқанда уақыттың кез келген t кезіндегі жылдамдықты анықтау керек. Дененің жүріп өтетін s жолы қозғалыс болатын t уақытқа тәуелді келеді. Сондықтан жол уақыттың функцциясы болады: s=f(t). Бұл теңдік әдетте қозғалыстың математика заңы деп аталады. Дене әуелі t уақыт, содан кейін уақыт қозғалған болсын. Берілген математикалық заң бойынша ол t уақытта s, уақытта s жүреді. Сонда: , . Соңғы теңдікті өсімшесіне бөлеміз: Осы қатынастың болғандағы шегі қозғалыстың уақыт t болған кездегі жылдамдығы деп аталады. Ол v әрпімен белгіленеді (v – французша «» - «жылдамдық» деген сөздің бірінші әрпі). Егер айтылып отырған қатынастың тиянақты шегі болмаса, жылдамдық та болмайды. Сөйтіп, Мысал үшін, жоғарыдан құлаған дененің жылдамдығын қарастырайық. Бұл қозғалыстың Галилей тағайындаған заңы формуламен өрнектеледі, - ауырлық күшінің тұрақты үдеуі, s функциясы s(t) жолдың қысқаша жазылған түрі. Сонда: Демек, жоғарыдан құлаған дененің жылдамдығы уақытқа пропорционал болады. Бұл заңды да Галилей тағайындаған. Жанама мен жылдамдық жөніндегі есептер туынды ұғымына алып келді. Кейін бұлардан басқа да көптеген есептердің туынды арқылы шешілетіндігі анықталды. Мәселен, өткізгіштің көлденең қимасынан өтетін электр шамасының уақыт бойынша алынатын туындысы ток болады, жылу шамасының температура бойынша алынатын туындысы жылу сыйымдылық болады т.с.с. зерттей келгенде сан алуан мәселелердің кілті туындыда болып шықты. Сондықтан есептерді жеке-жеке қарастырмай, жанама есебі, жылдамдық есебі, ток есебі т.с.с. деп бөліп-жармай, туындыны жалпы түрде зерттеу қажет болды. Алдымен туындының жалпы анықтамасын тұжырымдап алайық. өсімшесінің өсімшесіне қатынасының, осы нольге ұмтылғандағы, шегі берілген функциясының х нүктесіндегі туындысы деп аталады. Анықтама бойынша: Әдетте бұл туындының немесе немесе деп белгіленетіндігі алдыңғы тақырыпта айтылған. Келтірілген анықтамадан туындыны табу үшін төмендегідей «төрт сатыға көтерілу» қажеттігі көрінеді. Бірінші саты. Тәуелсіз айнымалыға өсімше беріп, функцияның өскен мәнін табу керек: . Екінші саты. Функцияның өсімшесін табу керек: Үшінші саты. Функцияның өсімшесін тәуелсіз айнымалының өсімшесіне бөлу керек: Төртінші саты. өсімшесін нольге ұмтылтып, соңғы қатынастың шегін есептеу шығару керек, сол шек туынды болады. Әр түрлі функциялардың туындыларын есептеп шығарғанда, яғни функцияларды дифференциалдағанда, төмендегі алты ереже жиі қолданылады. Алты ереже мынандай түрде беріледі: I. Тұрақты шаманың туындысы нольге тең болады. Бір С тұрақты шаманы, жалпылық үшін, функция ретінде қарастырып, десек, оның «өскен» мәні бәрі бір болады. Бұдан . Сондықтан, қандай болса да, болғандықтан, мұны кейде былай жазады: II. Тұрақты көбейткішті туындының алдына шығарып жазуға болады. ал болса ( - тұрақты көбейткіш), болады. Шынында да: III. Алгебралық қосындының туындысы сол функциялардың туындыларының сәйкес алгебралық қосындысына тең болады. ал өздері х-ке тәуелді функциялары болсын. Сонда: IV. Екі функцияның көбейтіндісінің туындысын табу үшін бірінші функцияның туындысын екінші функцияның өзіне көбейтіп, содан соң екінші функцияның туындысын бірінші функцияның өзіне көбейтіп, шыққан екі көбейтіндінің қосындысын алу керек. ал болсын. Сонда:
Енді теңдіктің екі жақ бөлігінен де шек аламыз. Соңғы мүшеден, болғанда, және демек, болады. Сондықтан Мұны былай да жазады: Көбейткіш функциялардың саны бірнешеу болғанда да осы ереже қолданылады: V. Екі функциядан құралған бөлшектің туындысын табу үшін алымындағы функцияның туындысын бөліміндегі функцияның өзіне көбейтіп, содан соң бөліміндегі функцияның туындысын алымындағы функцияның өзіне көбейтіп, алдыңғы көбейтіндіден соңғы көбейтіндіні шегеру керек, одан әрі осыдан шыққан айырманы бөліміндегі функцияның квадратына бөлу керек. болсын. Тәуелсіз айнымалыны өсімше қабылдағанда u мен v функциялары сәйкес және өсімшесін қабылдайды. Сонда: Теңдіктің екі жақ бөлігін де өсімшеге де бөлеміз: Шекке көшкенде бөліміндегі болады да, шығады.
VI. Күрделі функцияларсының х бойынша туындысын табу үшін функциясының бойынша туындысын тауып, содан кейін функциясының х бойынша туындысын тауып, шыққан екі туындының көбейтіндісін алу керек. Мынадай теңбе-теңдік жазуға болады: Мұның оң жақ бөлігіндегі алымдарға пен мәндерін қойсақ, шығады.
Шекке көшкенде: Соңғы формуланы кейде былай да жазады: онда төменгі көрсеткіштер туындының қай айнымалы бойынша шығаралатындығын аңғартады. Аралық функция бірнешеу болса да, осы тәсілмен табылады. Мәселен, , , болса, . Келтірілген алты ережені алғаш рет Ньютон мен Лейбниц тағайындаған. Ньютон – ғылым алыбы. Физика математикалық ғылымдарды жаңа сатыға көтерген адам. Ньютон заңдары, Ньютон теоремалары, Ньютон формулалары, Ньютон әдістері... Өлмес мұра, өшпес із қалдырған данышпан. Лейбниц дифференциалдық және интегралдық есептемелерді 1684 – 1686 жылдары жариялаған. Мысалдар қарастырайық. - кез келген нақты тұрақты сан . Мұны былай жазуға болады: . . деп белгісек, болғанда болып, соңғы шек болады. Сондықтан: . Дербес жағдайларда: , , , Егер болса, алтыншы ереже бойынша: . күрделі функция . Синустардың айырмасын көбейтінді түріне келтіріп аламыз: . Алтыншы ереже бойынша: . Мұнда бірінші көбейткіштің шегі , екінші көбейткіштің шегі 1, үшінші көбейткіштің шегі болады. Сондықтан: . болса, болады. Дәл осылай, болса, болса, болатындығы дәлелденеді. болса, . Бұл формуланы да жоғарыдай, «төрт саты» арқылы қорытып шығаруға болады. Бірақ тангенсті синустың косинусқа қатынасы ретінде қарастырып, бесінші ереже бойынша дифференциалдау оңай болады. . болатындықтан, соңғы теңдіктегі екінші көбейткіштің шегі болады ( екеуі де нольге ұмтылады). Сондықтан: . Соңғы функцияның туындысы өзіне тең болып шықты. Одан басқа, туындысы өзіне тең болатын функция кездеспейді. деп белгілесек, болғанда болады, формуласы бойынша болады. Сондықтан: Шектер теориясында дәлелденген сегіз формуланы еске ала отырып, «төрт саты» мен негізгі алты ереже бойынша көптеген функциялардың туындыларының формулаларын қорытып шығаруға болады. Олардың жиі қолданылатындары мыналар. , , , Бұл тізім туындылар таблицасы деп аталады. Ондағы алдыңғы 16 формуланы алғаш рет Лейбниц пен Ньютон, 17-формуланы Лейбниц пен Иоганн Бернилли қорытып шығарған. Тәжірибеде көптеген функциалардың туындыларын есептеп шығаруға тура келеді. Әдетте оларды өсімшелер мен шек арқылы, яғни «төрт саты» арқылы шығармайды, негізгі ережелер мен туындылар таблицасысы бойынша шығарады. Шек таблицадағы формулаларды тағайындау үшін қажет болған. Арифметикада көбейту таблицасы қандай роль атқаратын болса, дифференциалдық есептемеде туындылар таблицасы да сондай роль атқарады. Сондықтан оқушылар дифференциалдаудың алты ережесі мен туындылар таблицасын жатқа білулері керек. Мысал 3. функциясын дифференциалдап көрсетейік. Шешуі: үшінші ереже бойынша берілген функцияны құрастыратын төрт мүшенің әрқайсысының туындысын тауып, сол туындыларды тиісті таңбаларымен алып қосу керек. Бірінші ереже бойынша жалғыз тұрған тұрақты 11-дің туындысы нольге тең болады, қалған үшеуінікі нольден өзгеше. Екінші ереже бойынша – 5 -тің туындысын табу үшін, -тің туындысын тауып, оны – 5-ке көбейту керек. -тің туындысы таблицада жоқ. оны тапқанда ойлануға тура келеді. Егер болса, және деп жазуға болады. Сонда 4-формула бойынша және 7-формула бойынша ал алтыншы ереже бойынша яғни болады. Сөйтіп, . мүше – екі функцияның көбейтіндісі, . 2-формула бойынша , 6-формула бойынша . Сонда төртінші ереже бойынша: -ті деуге болады. 5-формула бойынша , 3-формула бойынша , ал алтыншы ереже бойынша , яғни болады. Демек, . Ақыры: шығады. Жауабы: 2.3 Туындыға қолданылатын теоремалар және туындының тәжірибеде қолданылуы Есептер шығарғанда екі функцияның көбейтіндісінің n-ші ретті туындысын табуға тура келеді. болса, болады. Бұл теңдік Лейбниц формуласы деп аталады, ол көбінесе математикалық индукция әдісімен дәлелденеді. Формуладағы коэффициенттері – Ньютон биномындағы терулер. Есте сақтау үшін бином жіктелуінің формуласын жазып, дәреже көрсеткіштерін туындының реті етіп, жақшаға алу керек және бірінші мүшеге ақырғы мүшеге қоса жазу керек. функциясының дифференциалы болатын мәлм. әдетте оны бірінші ретті дифференциал деп атайды. дифференциалын өзінен дифференциалын шығаруға болады. Бұл – екінші ретті дифференциал. Екінші ретті дифференциал деп белгіленеді, яғни: өрнек «дэ екі игрек» деп оқылады. Сол сияқты: . Бұлар – екінші ретті дифференциалдар. көбейтіндісін х бойынша дифференциалдағанда шама тұрақты көбейткіш ролінде болады, өйткені ол х-ке тәуелсіз. Сондықтан болады. Жалпы түрде: Әдетте орнына деп жазады. Бұл арада n – дәреже көрсеткіш. Графикте (2 сурет) функцияның ең үлкен мәнін кескіндейтін нүктенің көрші нүктелерінен жоғары («төбешікте») тұратыны, ал ең кіші мәнін кескіндейтін нүктенің көрші нүктелерінен төмен («шұқырда») тұратыны мәлім. Ондай нүктелерден өтетін жанамалар абсциссалар осіне параллель болады, яғни сондықтан айтылып отырған нүктелерде туынды нольге тең болады. Туындының бұл қасиеті былай айтылады: Егер интервалында үздіксіз функциясы осы интервалдың бір ішкі с нүктесінде өзінің ең үлкен немесе ең кіші мәнін қабылдайтын болса және функцияның с нүктесінде тиянақты туындысы болса, ол туынды нольге тең болады. (Ферма теоремасы). y жүктеу/скачать 1,94 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|