30. Екінші ретті дифференциалдық теңдеулерді квалификациялау Жоғарғы ретті туындылар коэффициенттеріне байланысты дифференциалдық теңдеулерді жаңа ішкі кластарға бөлуге немесе классификациялауға болады.
1) Алдымен жоғарғы ретті туындылар бойынша сызықты 2-ретті теңдеуді (1.10) қарастырайық. Элементтері теңдеудің коэффициенттері aij(x) болатын матрица A(x)=(aij(x)), сәйкес квадраттық форма
Q()= (1.12) құруға болады.
Анықтама 10. Квадраттық форма Q() дифференциалдық теңдеудің (1.10) сипаттаушы формасы немесе негізгі символы деп аталады.
Белгілі әрбір тұрақты x0 нүкте үшін квадраттық форма (1.12) ерекше емес түрлендіру =P (det P0) көмегімен канондық түрге
Q=
келтіруге болады. Коэффиценттерінің qi мәндері {1,-1,0} біріне тең, оған қоса оң, теріс немесе ноль мәндерін қабылдайтын qi саны тұрақты (инерция заңы).
Оң qi>0 санын S, теріс qi<0 санын r, нольге тең qi=0 санын ℓ деп белгілейік.
Анықтама 11. Дифференциалдық теңдеу (1.10) нүктеде x0W эллиптикалық типке жатады дейді, егер де =n (qi>0) немесе r=n (qi<0) болса.
Мысалы, Лаплас теңдеуі:
∆U=Uxx+Uyy+Uzz=0
эллиптикалық типке жатады.
Анықтама 12. Дифференциалдық теңдеу (1.10) нүктеде W нормалды гиперболалық типке жатады дейді, егер де =1, r=n-1 немесе =n-1, r=1 болса.
Мысалы, толқын теңдеуі:
Utt=a2(Uxx+ Uyy+Uzz)
нормалды гиперболалық типке жатады.
Дифференциалдық теңдеу (1.10) нүктеде W ультрагиперболалық типке жатады дейді, егер де >1,r>1 және +r=n болса.
Мысалы, теңдеу:
+=a2(Uxx+ Uyy+Uzz)
ультрагиперболалық типке жатады.
