Ықтималдықтар теориясының негізгі ұғымдарын оқыту әдістемесі

Ықтималдық теориясының «оқиға» ұғымы жиын теориясымен байланысты. Оқиға деп қарапайым жағдайлардың соңғы нәтижесі (исход) жиынының ішкі жиынын түсінеді. «Оқиға» ұғымының анықтамасын енгізу үшін оқушылар жиын теориясының элементтерін және ықтималдық теориясының теориялық негізімен таныс болуы керек. Жиын теориясы мектеп математика курсынды оқылмайды. Бірақ бұл мәселені бастауыш мектепке арналған Л.Г.Петерсонның «Математика» оқу құралында берілген жиын теориясынан алғашқы мағлұматтарын қолданып шешуге болады. Онда «жиын» ұғымы, жиындарға қолданылатын амалдар (бірігу, қиылысу, жиындардың айырымы және олардың қарапайым қасиеттері) келтірілген. Бұл материалды оқыту әдістемесі өткен ғасырдың 60-70 жылдарындағы 4-5 сыныптарға арналған А.Н.Колмогоровтың редакциясындағы математика оқулығын оқытқын әдістемемен бірдей. 9-сыныпта ықтималдық теориясын оқитын оқушылар Л.Г.Петерсонның «Математика» оқу құралымен оқытса, ықтималдықтар теориясының негізгі ұғымдарын енгізу мағлұматтарымен оқушыларды алдын-ала оқыту-әдістемелік мәселесін шешуі керек. Ықтималдықтар теориясының негізгі ұғымдарын оқытудың логикалық негізделген әдістемелік жолы – жиын теориясының қажетті ұғымдарының базасында ықтималдықтар теориясының негізгі ұғымдарын енгізу.

«Оқиға» ұғымын егізудің тағы бір психологиялық тұғыдан қиын жері – оқушылар оқиғаны «тұрмыстық» лексика мағынасында, яғни кеңістікте белгілі бір уақытта болған тұрмыстық жағдай деп қабылдайды. Әрмен қарай Е-тәжірибе (эксперимент) мен А-оқиға ұғымдарын ажыратуға үйрету керек. А-оқиғасын белгілі бір S-кешенді шартын ыңғайластыратын α-ді соңғы нәтижесі (исходы) деп түсіну керек. Оқушылар үшін оқиға деп тәжірибе ұғымдары бірдей.

« Оқиға» қалыптастыруды қарапайым «теңгені лақтыру»,» ойын сүйегін лақтыру», «көздеп ату» сиякты ықтималдық моделдерді қарастырудан бастау керек. Оның нәтижесінде оқушылар «қарапайым исход» ұғымын түсінеді.

Оқиғалар үш түрге бөлінеді: ақиқат, мүмкін емес және кездейсоқ оқиға.

Тәжірибе нәтижесінде міндетті түрде пайда болатын оқиғаны ақиқат оқиға деп атайды. Егер оқиға мүлде пайда болмайтын болса, онда оны мүмкін емес деп атайды.

Тәжірибе нәтижесінде пайда болуы да, болмауы да мүмкін оқиғаны кездейсоқ оқиға деп атайды. Мысалы, «теңгені бір рет лақтырғанда герб жағымен түсті» деген оқиға кездейсоқ оқиға болады.Кездейсоқ оқиғалар латынның А,В,С,... бас әріптерімен белгіленеді.

Егер бір оқиғаның пайда болуы, екіншісінің пайда болуын жоққа шығармайтын болса, онда оқиларды үйлесімді деп атайды. Мысалы, ойын сүйегін бір рет лақтырғанда «тақ ұпай түсті» және «5 ұпай жағымен түсті» деген оқиғалар үйлесімді оқиғалар. Егер біреуінің пайда болуы екіншісін жоққа шығаратын болса, онда оқиғаларды үйлесімсіз деп атайды. Мысалы, ойын сүйегін бір рет лақтырғанда тақ ұпай түсуі жұп ұпай жағымен түсуіне кедергі жасайды. Сондықтан «тақ ұпай түсті» және «жұп ұпай түсті» деген оқиғалар өзара үйлесімсіз.

Егер оқиғалардың біреуінің пайда болуы екіншісінің пайда болуынан артықшылықта болмайтын болса, онда оларды тең мүмкінді деп атайды. Егер тәжірибе нәтижесінде пайда болған оқиға ақиқат оқиға болса, онда ол жалғыз мүмкіндікті оқиға деп аталады. Жалғыз ғана мүмкіндікті оқиғалардың жиынтығын оқиғалардың толық тобы деп атайды. Басқаша айтқанда, тәжірибенің әрбір қайталануында оқиғалардың ең болмағанда біреуі пайда болып отырса, онда оқиғалар толық топ құрайды.

Бір-біріне үйлесімсіз екі оқиғаны қарама-қарсы оқиғалар деп атайды. Егер А деп оқиға белгілесе, онда А деп оған қарама қарсы оқиғаны белгілейді. Кез келген тәжірибеде бір-біріне қарама қайшы келетін немесе қолдайтын нәтижелер көп болуы мүмкін. Айталық: жасалатын тәжірибеде бір және тең мүмкінді, үйлесімсіз α,β,..γ мүмкіндіктері бар болсын.

Егер А оқиғасы осының m жағдайында пайда болып, қалған n-m жағдайда пайда болмайтын болса, онда А оқиғасына m жағдайы қолайлы деп атайды.

Анықтама. А оқиғасының пайда болу ықтималдығы деп m қолайлы жағдайлардың санының n- барлық бір және тең мүмкінді, үйлесімсіз жағдайлардың санына қатынасын айтады, яғни

P(A)=m/n

Бұл анықтаманы бірінші француз математигі Лаплас берген және оны ықтималдықтың классикалық анықтамасы деп атайды.

Осы анықтамадан шығатын кейбір қасиеттерді атап өтейік.

1. 
   Ақиқат оқиғаның ықтималдығы бірге тең болады.
   
2. 
   Мүмкін емес оқиғаның ықтималдығы нөлге тең болады.
   
3. 
   Кездейсоқ оқиғаның ықтималдығы 0
   

Жоғарыда берілген ықтималдықтың классикалық анықтамасы көп қолданыла бермейді. Егер оның бір мүмкінді, тең мүмкінді және үйлесімсіз шарттарының біреуі орындалмаса, анықтама жұмыс істемейді. Сондықтан, көа жағдайда басқа анықтама ларға көшеді. Соның бірі – ықтималдықтың статистикалық анықтамасы.

Анықтама жасалған тәжірибелерде А оқиғаның пайда болған санының, барлық тәжірибенің санына қатынасын А-ның салыстырмалы жиілігі деп атайды, яғни

W=P*(A)=m/n

Мұндағы m-оқиғаның пайда болған саны, n-барлық тәжірибенің саны. Ықтималдық сияқты,0

Осы жерде айтып кетейік: ықтималдықты тәжірибе жасамай тұрып есептейді, ал салыстырмалы жиілікті тәжірибеден кейін санайды.

Анықтама. А оқиғасының ықтималдығы деп n мейілінше үлкен болғандағы салыстырмалы жиілік төңірегінде топталған P(A) санын атайды.

Бұл анықтаманы ықтималдықтың статистикалық анықтамасы деп атайды.Ықтималдықты есептеуге арналған комбинаторика элементтері.

Ықтималдықты есептеу үшін, кейбір жағдайда, комбинаториканың формулаларын қолдануға тура келеді. Осы комбинаториканың үш түрлі формулаларын келтірейік.

Анықтама. Бір-бірінен айырмашылығы орналасу ретінде немесе құрамында болатын n элементтің k-дан жасалған комбинацияларын орналастырулар деп атайды.

Орналастырулар санын табу үшін

формуласын қолданады.

Анықтама. Алмастырулар деп бір – бірінен айырмашылығы орналасу ретінде ғана болатын n элементінің n-нен жасалған комбинацияларын айтады және алмастырулар санын келесі формуламен есептейді:

_

Анықтама. Бір-бірінен айырмашылығы тек құрамында болатын n элементтен k-дан жасалған комбинацияларын терулер деп атайды және терулер санын _ формуласымен есептейді.