Международный научно-образовательный электронный журнал «образование и наука в XXI веке»

725 
 
 

 



 
 

 



, 
,
1
,
,
,
,
,
1
,
1
,
1
,
2
2
,
1
2
,
1
,
,
,
,
,
1
,
1
,
1
2
1
,
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
k
j
i
k
j
i
k
j
i
m
j
i
k
j
i
k
j
i
k
j
i
m
j
i
p
k
j
i
k
k
j
i
k
j
i
k
j
i
m
j
i
k
j
i
k
j
i
k
j
i
m
j
i
p
k
j
i
k
y
y
y
b
x
y
y
y
b
x
h
y
y
y
y
y
a
x
y
y
y
a
x
h
y
y






























j
,
i
j
i
y
)
x
,
x
,
t
(
)
y
(
q
2
1

, 


m
m
x
x
x
2
2
2
1


. 
Здесь разностные коэффициенты теплопроводности 
 
y
a
и 
)
y
(
b
должны 
удовлетворять условиям второго порядка аппроксимации и для вычисления 
используется одна из следующих формул 
а)
 











2
1
j
,
i
j
,
i
j
,
i
y
y
K
y
a
, 
 











2
1
j
,
i
j
,
i
j
,
i
y
y
K
y
b
,
1,2
1
2
1





,
n
,...,
,
j
,
i
, (5) 
б)
 
   
2
1
j
,
i
j
,
i
j
,
i
y
K
y
K
y
a



, 
 
2
1
)
y
(
K
)
y
(
K
y
b
j
,
i
j
,
i
j
,
i



,
1,2
,
1
,..,
2
,
1
,





n
j
i
. (6) 
Используя формулу (6) имеем 

















1
1
2
1
1
1
1
2
1
n
j
,
i
j
,
i
n
j
,
i
j
,
i
j
,
i
h
y
y
h
y
y
)
y
(
a
, 

















1
2
2
1
1
2
1
2
1
n
j
,
i
j
,
i
n
j
,
i
j
,
i
j
,
i
h
y
y
h
y
y
)
y
(
b
. 
На концах отрезка 


b
x


0
более точные значения концевых ординат можно 
получить по формулам Милна: 





h
y
y
y
x
u
2
3
4
0
1
2
0






,





h
y
y
y
x
u
n
n
n
n
2
4
3
2
1







, 
эти формулы имеют второй порядок аппроксимации. 
Для решения системы разностных уравнений используется метод итераций. 
Линеаризация строилась по методу Пикара, Ньютона и специальным методом. В 
случаях 
1
,
1




берется линеаризация по Пикару. В случае 
1


можно 
использовать линеаризацию по методу Ньютона и специальным методом. 
Результаты вычислительных экспериментов показывают, что все итерационные 
методы пригодны для построенной схемы. Для достижения одинаковой точности 

726 
метод Ньютона (с квадратичной сходимостью) требует меньше итераций, чем 
метод Пикара и специальный. В отдельных случаях специальный способ дает 
более быструю сходимость, чем метод Пикара. Во всех рассмотренных случаях 
при предложенном подходе количество итераций в среднем не превышало трех 
при заданной точности 10
-3
.
В таблице приведены значения максимальной и суммарной итераций при 
различных значениях параметров входящих в уравнение для методов 
линеаризации по Ньютону, Пикару и специальному, когда 


1
)
(



t
T
t

. 
№ 
n 
m 
p 

 
eps 
M 
N
1 
N
2
по Ньютону 
по Пикару 
специальный 
Макс. 
итер. 
Сумм. 
итер. 
Сред. 
итер. 
Макс. 
итер. 
Сумм. 
итер. 
Сред. 
итер. 
Макс. 
итер. 
Сумм. 
итер. 
Сред. итер. 
1 
4.0 
0.7 
0.9 
1.2 
10
-3 
30 
20 
20 
2 
90 
3.0 
2 
90 
3.0 
2 
90 
3.0 
2 
4.0 
0.7 
0.9 
1.2 
10
-3
70 
40 
40 
6 
210 
3.0 
2 
210 
3.0 
2 
210 
3.0 
3 
4.0 
0.7 
0.9 
1.2 
10
-3
70 
60 
60 
6 
218 3.114 
4 
218 3.114 
4 
218 
3.114 
4 
1.1 
0.7 
0.5 
1.2 
10
-3
30 
20 
20 
2 
105 
3.5 
6 
106 
3.533 
6 
105 
3.5 
5 
1.1 
0.7 
0.5 
1.2 
10
-3
70 
40 
40 
2 
210 
3.0 
2 
210 
3.0 
2 
210 
3.0 
6 
1.1 
0.7 
0.5 
1.2 
10
-3
70 
60 
60 
2 
210 
3.0 
2 
210 
3.0 
2 
210 
3.0 
7 
1.1 
0.7 
0.5 
1.2 
10
-4
30 
20 
20 
6 
242 
8.067 
6 
267 
8.9 
6 
245 
8.167 
8 
1.1 
0.7 
0.5 
1.2 
10
-4
70 
60 
60 
6 
383 
5.471 
6 
389 
5.557 
6 
383 
5.471 
Ниже приводятся результаты вычислительного эксперимента для 
различных значений входящих в уравнение параметров в двумерном случае: 
В следующих графиках приведены влияние параметра p к эволюции 
процесса нелинейной теплопроводности 

727 
3
10
01
.
1
8
.
0
7
.
0
0
.
0
0
.
0







eps
n
m
p


15
15
15
15
1
0
30
30
200
1
1
005
.
0
2
1
2
1
2
1














x
x
t
N
N
M
h
h

3
10
1
.
1
5
.
0
5
.
0
0
8
.
0







eps
n
m
p


7
7
7
7
1
0
30
30
200
46
.
0
46
.
0
005
.
0
2
1
2
1
2
1














x
x
t
N
N
M
h
h

Рис.1. Распространение тепловых возмущений для значений р = 0.0 и р = 
0.8. 
Эти графики показывают справедливость принципа максимума, т.е. 
построенное нами верхнее решение 
1
1
1
1
0
1
1










 













nk
n
n
n
t
b
a
dt
)
t
(
)
p
(
)
(
T
)
t
,
x
(
v




,

728 
где T>0, a>0 постоянные,
1
,
)
1
(
1
1
1
1











kn
n
k
kn
n
b
n
, 
,
1
,
,
1
1
(r)
,
)
(
(r)
1
1
1











n
m
x
r
r
m
n
n
n
m
n







1
1
1
1
)
(
)
(


n
t



, 



t
kn
d
v
0
1
1
)
(
)
(




,
 
)
a
,
max(
a
0


, 
где
1
1
0
)
(
)
1
)(
1
(
)
(


















dt
t
p
T
v
, Т > 0 
решение уравнения


v
t
dt
v
d
p
)
(
1
1



, 
которое взято в качестве начального приближения, и для которого имеет место 
)
x
,
t
(
v
)
x
,
t
(
u
0
0

, дает приемлемые численные результаты. 
В следующих графиках приведены влияние неоднородности (параметра m) 
к эволюции процесса нелинейной теплопроводности для нижеследующих 
значений параметров:
,
10
,
1
.
1
,
5
.
0
,
5
.
0
,
0
.
0
3






eps
n
p


Рис. 2. m = 0.0  
Рис. 3. m = 0.9 
Созданная на входном языке MathCad программа позволяет проследить 
визуально за эволюцией процесса для различных значений параметров и 
данных. 

729 

жүктеу/скачать 12,18 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: