Методическая система подготовки студентов высшей педагогической школы к реализации линии практических приложений в курсе геометрии основной и старшей ступени общего образования
этап. Формализация (построение математической модели условия)
жүктеу/скачать 4,6 Mb. Pdf көрінісі
|
- Бұл бет үшін навигация:
- 3 этап. Внутримодельное решение
| 2 этап. Формализация (построение математической модели условия)
На первом этапе мы выяснили смысл понятий, встречающихся в тексте задачи. Одновременно мы выбрали соответствую- щие условию задачи математические мо- дели этих понятий. Теперь нанесем все данные задачи на чертеж. Эта работа поможет установить взаимосвязи между объектами задачи. На рисунке 54 О – центр Земли-шара, С – точка Северного полюса, СН – Гринвич- ский меридиан, сферический угол ВАС – начальный курс судна в точке А, который необходимо найти. Плоские углы A и B – широты точек А и В, а плоские углы A и B – долготы точек А и В. 3 этап. Внутримодельное решение Сферическому треугольнику АВС на сфере (О, R) соответствует трехгранный угол ОАВС, причем величины углов А, В и С этого треугольника равны величинам дву- гранных углов при соответствующих ребрах ОА, ОВ и ОС трехгранного угла, а длины противолежащих сторон ВС=а, АС=b и АВ=c связаны с соответствующими плоскими углами = ВОС, = АОС и = АОВ трехгранного угла (рис. 54) формулами а=R , b=R , c=R , где R – радиус сферы (для нашей задачи, R – радиус Земли), а , и – радианные меры соответствующих углов. Поскольку значение R фиксировано, то вме- сто длин сторон а, b и с будем рассматривать плоские углы , и . А О Н В А В А С В Рис. 54 293 Для вычисления искомого сферического угла ВАС, который для краткости будем обозначать одной буквой А, применим теорему косинусов к сферическому треуголь- нику АВС: cos ВОС=cos АОСcos АОВ+sin АОСsin АОВcos А. Заметим, что из условия задачи (рис. 54): = ВОС=90 0 - В , = АОС=90 0 - А . Неизвестен АОВ. Найти его возможно с помощью теоремы косинусов для сфе- рической геометрии. Выразим С через координаты точек А и В. По определению сфе- рического угла С 180 0 . Поэтому либо С=| А - В |, если | А - В | 180 0 , либо С=360 0 - | А - В |, если | А - В |>180 0 . Теперь, зная , и С, находим = АОВ. Это можно сделать с помощью обыч- ной теоремы косинусов, примененной к некоторому плоскому треугольнику и проведя ряд выкладок. Мы воспользуемся готовой теоремой косинусов для сферических тре- угольников (или трехгранных углов): соs =cos cos + sin sin cos С, подставляя из- вестные значения углов, получим: соs =sin A sin B + cos A cos B cos( A - B ). Подставляя найденное значение соs , имеем: cos А=[sin В - sin A (sin A sin В + cos A cos В cos( A - В ))]:cos A sin . 4 этап. Интерпретация результата В задании требовалось вычислить начальный курс корабля. Согласно построен- ной нами модели искомой величиной является сферический угол А. Его позволяет вы- числить последняя формула. При выполнении этого прикладного исследовательского задания учащиеся зна- чительно расширяют свои знания сферической геометрии, приобретают прикладные умения, связанные с неоднозначностью выбора математической модели объекта, полу- чают навыки работы с литературными источниками. Пример выполнения этого задания содержит методические комментарии. Этого же требуем и от студентов при предъявлении созданных ими ОП, предоставляя им со- ответствующий пример. Это прикладное исследовательское задание, рассматриваемое как фрагмент курса по выбору, отвечает выдвинутым ранее требованиям к отбору со- держания такого курса. В частности, личностная направленность проявляется в том, 294 что, с одной стороны, элементы сферической геометрии имеются в учебниках геомет- рии для старшеклассников [83], с другой – представленное содержание позволяет учесть познавательные потребности учащихся, выбравших соответствующий профиль обучения, в изучении астрономии, геодезии, картографии и навигации. В свою очередь, основы этих наук изучаются в школьных курсах физики и географии. Научная и прак- тическая значимость отражена в раскрытии связей между сферической геометрией и естествознанием. Методологичность состоит в использовании при выполнении зада- ния, метода математического моделирования. Проблемность проявляется в постановке задания и обсуждении этапов его решения. На каждом из них учащимся требуется ак- туализировать в практической ситуации имеющиеся знания или приобрести новые. Адаптивность и дифференцированность состоит в том, что содержание задания адап- тировано для соответствующей возрастной категории учащихся и может быть диффе- ренцировано для профилей обучения, требующих как повышенной, так и базовой ма- тематической подготовки. Целостность означает, что построение содержания учеб- ного курса основано концентрации элементов сферической геометрии вокруг несколь- ких основных понятий (сферический треугольник, сферический угол и т. д.), которые рассматриваются в связи с изучением таких понятий как ортодромия, локсодромия, курс корабля и т. д. Итак, в этой части исследования для организации практической подготовки сту- дентов к реализации линии ППМ во внеурочное время охарактеризованы следующие типы ОП: исследовательские и проектные задания, курсы по выбору прикладного со- держания. Для организации обучения студентов созданию этих типов ОП сформулиро- ваны задания с вариативными компонентами, созданы карты разработки ОП. В такой карте процесс создания ОП разделен на три этапа: подготовительный, рабочий, заклю- чительный. Для каждого этапа составлена примерная последовательность учебных дей- ствий студентов. Все охарактеризованные ОП разрабатываются студентами на двух уровнях – базовом и повышенном: на базовом уровне – на основе готовых методиче- ских материалов с возможным внесением корректив, на повышенном – на основе из- вестных методик или, самостоятельно, на основе собственных профессиональных зна- ний и опыта. |