Методняескне осяовьт. Учебное пособие
жүктеу/скачать 0,96 Mb.
|
abylkasymova a teoriia i metodika obucheniia matematike dida
| Определение понятия. Виды определений. Требования к определениям
Определение (дефиниция) noчяпі ия — логическая опе- рация, раскрывающая основное содержание понятий или значение термина. Способы раскрытия основного содер- жания понятий задают типы определениіі: верdаль ные и невербальч ые. Вербап ьные понятия делятся на явиые (че- рез род и видовые отличи я) и иеявные (аксиоматические, описательные). В школьном курсе математики в начальных и частично в 5-6 классах чаще используются описательные опреде— ления понятий, которые описывают объекты с помощью моделей, рассмотрени я частных случаев, выделени я от- дельных существенных свойств. В средней школе преобладают вербильиьte определения, но часто встречаются и лв it ьte. Реже встречаются иеявиые описпгпельиьte определения, например понятие itenpepьі- ной функц itu, или аксиома тивеские, которые задают по- нятия через указания определенных свойств, описанных в аксиомах. В курсе геометрии таковыми понятиями явля- ются понятия точ ки, nрямой, длиньі , п соtцади. В явном определении даются onреде кяемое понятие и опреде.сяющее, объемы которых равны. К их числу отно- сится самый распространенный способ определения через род и видовые отличи я. С точки зрения логики, определенгіе через род и видо- вые отлгlчия явл яется aъicкaJьiвii пием, логическая §зорма которого является экt3tl Raneuцiteй. Структура включает та- кие элементы, как термин — род — видовое(ые) отличие(я) и логические связи. Способ выделени я видовых отличии устанавливает вид определения: через описание характе- ристических свойств, конструктивные или генетические (задан способ построения или происхождение объекта), рекурсивные (указываютс я базисные объекты некоторого множества и правила, позволяющие получить нояые объ- екты этого же множества), отрицательные (объект задается через отсутствие у него определенных свойств). Связи между родом и видовыми отличиями всегда конъюнк тиви ьіе, а между видовыми отличиями — конъ- юнктивн ые или дизъіонкт ивиые. С учетом типа логической связи видовых отличий, вы- деляют коиъюн ктивные и ди.зъюніс т ивчьtе onределеиия. Выполнение логического анализа определения понятия предполагает определение его вида, а для определения че- рез род и видовые отличия — запись его структуры. Раскрытие математического содержания каждого эле- мента называют жarneж‹zmu ееекиж ан‹zлизож определе- ния. Обе эти операции носят название логико-маіиемати- •teciroro онализо определения. В школьном курсе встречаются конс mpy отив ньtе и рекурсивньtе (генетические) определения, которые раскры- ваются путем показа операций его конструирования, т.е. его видовые отличия заданы в виде действий. Конструктивные действия могут задаваться различно. В рекурсивных определениях указываются базисные объ- екты некоторого класса и правила, позволяющие получить новые объекты этого же класса, например, определения арифметической и геометрической прогрессий. Опребелечие: “Арифметической прогрессией называет- ся последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же членом”. Лог и лес кий аиализ определения: Термин — арифме- тическая прогрессия. Род — последовательность. Видовые отличия: о, — дан, o2 — а, + d (в общем виде а,) — дан; с,+ , = с, + d. Действия получения последующего члена, если из- вестен предыдущий член, указано в видовых отличиях. В аксиоматическом определении (в опосредованном) выделяются аксиомы, описывающие неопределяемые по- нятия, в связи с уже изученными темами. Пто позволяет оценить знания, которые необходимо актуализировать. В школьной математике встречаются и отрицательные определения. Они не задают свойства объектов, а выпол- няют квалификационную функцию. Если класс объектов разбит на группы (множества) и объектам одной группы, обладающей определенными свойствами, присвоен тер- мин, это и есть объекты, которые принадлежат этому классу, но не обладают отмеченными свойствами (всеми или частично). Таким объектам дается отрицательное определение, примером которого является определение иррационального числа. Таким образом, лог ичес кое деїіс твие — определение объекта — везде одинаково, но содержатгльные (матема- тические) дейс авия в каждом из отмеченных видов опре- делений различны. Для явных определений существуют формально-ло- гические требования их корректности. Можно также выделить еще одно требование, которое заключается в пок азе целесообразности введени я поня- тия. Определяя понятие, необходимо приводить примеры объектов, ему не удовлетворяющих, и показать, что опре- деление не является бессодержательным. В школьном курсе встречаются ситуации, когда после определению до- называется теорема существования. В процессе об у чения необх одимо учитывать еще и методические требования: определение понятия сформу- лировать после всестороннего изучения предмета; изучать предмет не в статике, а в развитии; учитывать критерий практики и принцип конкретности пстины (4). Классиі]зикация понятий Объем понятия раскрываетс я путем классификации. Кла сс ифики ция — систематическое распределение не- которого множества на непересекающиеся классы путем последовательного деления. болен me — логическая операция, раскрывающая объем понятия путем выделени я в нем возможных видов объек— та. Например, из объема понятия квадрат мое уравнен ne можно выделить следующие объекты: лилньie кпидратньte. цривнения, иenoлиьtr. каидри тчьtе уривче ния, приведенныг кваг4ра тit ьte уравчеиия. Точно также из объема понятия тригономеіприческиг уривнеи ия мoжнo выделить пpocmьte, однородн ые, приводимые к квадратным уравнениям три- вон ометричес кие уравчения. Делимое понятие — родовое понятие. Основой деления являются видовые отличия — П ОН Я ТИ Я При осуществлении классиdзикации важен выбор ос— новани я: разные основания дают разные классификации. Например, выбрав в качестве основания углы треугольни- ка, все треугольники можно разделить на остроугольные, гупоугольные и прямоугольные, а выбрав стороны тре- угольника — на равносторонние, равнобедренные, разно— сторонние. Деление можно продолжить, например: прямо- угольные треугольники можно разделить на равносторон— ние и неравносторонние, а равнобедренные треугольни- ки — на прямоугольные равнобедренные и прямоугольные неравнобедренные и т.д. Другой пример: выбрав в к ачестве основания коли- чество равных сторон, все параллелограммы можно раз- делить на ромбы и параллелограммы, имеющие неравные смешные стороны; а такое основание, как наличие пря- мого угла, позволяет разделить все параллелограммы на прямоугольники и параллелограм мы, не являющиеся прямоугольниками. Классификация может производиться по с уще.с твен- него свойстеам (естественная) и нес ущес ruвенных (вспо- могательная). Пpn естественной классификации, зная, к какой гpyппe принадлежит элемент, можно судить о его свойствах. Рассматривают два вида деления: деление по видоизменению признака — это деление, при котором свойство — основание деления присуще объ— ектам выделенных видов в разной степени; дихотомическое (от греч. dicha и tome — делить на Jвiz) — это деление, при котором данное понятие делится на два вида по наличию или отсутствию некоторого свойства. На пример, в алгебре уравненгія можно классифици- ровать по показателям степени: первой степени, второй степени, третьей степени и т.д. Квадратное уравнение, в зависимости от коэффициента z и отсутствия свободного члена, можно классифицпровать на полные и неполные квадратные уравнения. Выбор основания классификации зависит от содержания материала и постановки цели. Классифик ация по видовым отличиям может быть осуществлена одновременно и по нескольким своиствам. Han ример, уравнение первой степени с двумя неизвест- ными, уравнение второй степени с двумя неизвестным и И т.Д. Дихотомия дает возможность последовательно по не- скольку раз осуществлять деление. Например, ниже приведена классификация понятия действительного числа из школьного курса математики (схема 1):
Из этой классиЦзикации можно выделить еще следую- щие поняти я (стгжа 2): жүктеу/скачать 0,96 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|