Өрістің математикалық теориясы скалярлық және векторлық өрістер
жүктеу/скачать 86,65 Kb.
|
| Анықтама. Егер әрбір нүктесі арқылы өтетін координаттық сызықтар, сол нүктеде бір-бірімен тік бұрыш жасап қиылысатын болса, онда координаталар жүйесі ортогональды деп аталады.
Енді кеңістікте бер нүктесін қарастырайық және осы нүктеде сәйкес координаттық сызықтармен жанасатын, ал бағыты сәйкес координаталардың өсу бағытымен бағыттас болатын бірлік векторларын жүргізейік. Егер бұл векторлар әрбір нүктеде оң үштік құрайтын болса, онда біз оң координаталар жүйесі берілген деп есептейміз.Мысалы, декарт координаталар жүйесі (өстер осы бағытта орналасқан жағдайда). Сол сияқты цилиндрлік координаталар жүйесі және сфералық координаталар жүйесі (өстер осы бағытта орналасқан жағдайда) оң болып табылады. (8,9,10-суреттерді қара) Декарт координаталар жүйесінде векторының бағыты, ол векторда қандай нүктесінде жүргізгенімізге байланысты емес екендігін байқауға болады. Осы айтылған тұжырымдама және векторлары үшін де дұрыс болып табылады. Ал қисық сызықты координаталар үшін бұл жағдай мүлдем басқаша. Мысалы, цилиндрлік координаталар жүйесінде нүктесінде және басқа бір нүктесінде жүргізілген векторлары бір-біріне параллель болуы міндетті емес. Сол сияқты векторрлары да әр түрлі нүктелерде әр түрлі бағытта болуы мүмкін. Сөйтіп, қисық сызықты координаталар жүйесінде бірлік ортогональды векторлардың үштігі, осы векторлар қарастырылатын нүктесінің орнына байланысты болады. бірлік ортогональды векторлардың үштігі қозғалмалы деп, ал векторлардың өздері бірлік орттар (немесе орттар) деп аталады. Ескерту. Әдетте, декарт координаталар жүйесіндегі бірлік ортогональды секторлардың үштігін деп белгілейді. §4. Ламе коэффициенті. Жалпы қисық сызықты координаталар жүйесінде нүктесін және онымен көршілес нүктесін қарастырайық. Бұл екі нүктелерде координаттық сызығында жатады. Осы сызықтың доғасының ұзындығының координатасының өсімшесіне қатынасын қарастырайық: Егер бұл қатынастың ұмтылғанда шегі бар болатын болса, онда ол шекті нүктесінің координатасының Ламе коэффициенті деп атайды да, оны арқылы белгілейді: мұндағы . Жалпы алғанда Ламе коэффициенті нүктесінің орнына байланысты. Сондықтан біз оны кейде былайша белгілейміз: Дәл осылайша нүктесінің екінші координатасы үшін Ламе коэффициенті анықталады: мұндағы және доғасы координаттың сызығының бойында жатады. Ламе коэффициенттерін осыған ұқсас түрде үшінші координата үшін де анықтауға болады: мұнда , ал доғасы координаттық сызығында жатады. Координаталар өсімшелері үлкен болмаған жағдайда белгілі Ламе коэффициенттерін пайдаланып координаттық сызықтардың доғаларының ұзындығын есептеп шығаруға болады. Шынында, егер аз болса, онда Ламе коэффициенттерінің анықтамасынан төмендегідей жуық теңдіктер шығады: бұдан мұндағы Ламе коэффициенттерінің мәндері нүктесінде алынған. Ламе коэффициенттерін әр түрлі координаталар жүйесінде қарастырайық. Декарт координаталар жүйесінде кез келген нүктеде барлық Ламе коэффициенттері бірге тең болады. Шынында, егер, мысалы, –ке бөлімшесін берсек, онда координаттық сызықтардың және нүктелерінің арасындағы бағытталған кесіндінің шамасы –ке тең болады. Сондықтан Цилиндрлік координаталар жүйесінде Ламе коэффициенттері мынадай болады : Осылай болатындығына, мысалы, үшін көз жеткізейік (11 – сурет): осыған ұқсас: Сфералық координаталар жүйесінде Ламе коэффициенттері: тең болады. Шынында, ал
Осыған ұқсас түрде төмендегідей Ламе коэффициенттерін де табуға болады: жүктеу/скачать 86,65 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|