§9. Векторлық өрістің потенциалын қалпына келтіру

Теңдігін ескеріп, бұл вектордың құраушыларын векторының аттас құраушыларымен теңестіреміз. Сонда

Бұдан

Бұл теңдеулерді интегралдау арқылы функциясын (тұрақты қосылғышқа дейінгі дәлдікпен ) табамыз.

өрісінің потенциалын табыңдар.

Шешуі.

Бұл теңдік берілген өрістің потенциалды екендігін дәлелдейді. Өрістің потенциалын арқылы белгілеп, векторы мен векторының аттас құраушыларын теңестіреміз.

Сонда теңдіктерін шығарып аламыз.

Бірінші теңдеуден: теңдігі шығады.

Әрі қарай бұл теңдікті бойынша дифференциалдап, оны өрнегіне теңестіреміз. Сонда

Демек,

теңдігімен теңестіріп, одан болатындығын табамыз. Сонымен,

§10. Гамильтон операторы.
Дифференциалдау операцияларының жазылуын жеңілдету мақсатында “Набла” деп аталатын символдық вектор –ны Гамильтон енгізген:

Бұның көмегімен скалярлық және векторлық функцияларды дифференциалдаудың негізгі амалдары операторын сәйкес функцияларға көбейтуге әкеліп тіреледі. Скалярлық өрістің градиентін:

векторы мен скаляр функциясының көбейтіндісі түрінде қарастыруға болады:

векторлық өрісінің роторы:

операторы мен векторының векторлық көбейтіндісіне дәл келеді:

Скалярлық және векторлық функцияларға қолданылатын әр түрлі дифференциалдық амалдардың ішінде Гамильтон операторымен пайдаланудың артықшылығы сонда, “Набла” формальды түрде кәдімгі ережелерін қолдануға болатындығына, оның үстіне –ның туындының қасиеттеріне ие дифференциалдық оператор екендігін естен шығармау керек. Бұдан төмендегідей алдарлар шығады.

1. 
   –сызықтық оператор болғандықтан, қосындыдан алынған оператор, әрбір қосылғыштардың операторларының қосындысына тең болады, яғни
   
2. 
   – дифференциалдық оператор болғандықтан, немесе функциялары тұрақты шамалар болған жағдайда:
   
3. 
   – дифференциалдық операторының екі скалярлық функциялардың немесе скалярлық функция мен векторлық функциялардың көбейтіндісіне әсерінің нәтижесі төмендегідей түрде жазылады:
   

§11. Екінші ретті дифференциалдық операциялар.

Бірінші ретті дифференциалдық операциялар өз кезегінде жаңа векторлық немесе скалярлық өріске алып келеді. Егер бұл өрістерге қайтадан бірінші ретті операцияларды қолдансақ, онда алғашқы өріске екінші ретті операцияларды қолданған болып табыламыз.

Енді екінші ретті операциялардың мүмкін түрлеріне тоқталайық.

Айталық, алғашқы өріс скалярлық болсын. Бұл өріске тек бір ғана дифференциалдық операцияны қолданамыз. Ол . Жаңа өріс векторлық өріс болып табылады. Бұл өріске екі түрлі және операциялары қолданылады.

Осы операциялардың әрқайсысына жеке тоқталайық.

Алдымен мынадай анықтамаларды берелік.