Өрістің математикалық теориясы скалярлық және векторлық өрістер

Енді гармониялық функцияның кейбір қасиеттерін қарастырайық.

1. 
   Егер функциясы жабық бет –пен шенелген аймағында гармониялық болса, ол функцияны нормаль бағытындағы туындысының беттік интегралы нөлге тең.
   
2. 
   Гармониялық функция өзінің экстремалдық мәндерін ішкі нүктелерде қабылдай алмайды.
   
3. 
   Егер гармониялық функциясының мәні жабық аймақты шенеуші бетінде тұрақты болса, ол функция аймақ ішінде де тұрақты болады.
   
4. 
   Гармониялық функцияның аймақ шенінде (жағында) алдын ала берілген мәніне сәйкес Лаплас теңдеуі –нің жалғыз ғана шешімі болады.
   

Скалярлық өрісінде тек бір ғана дифференциалдық операция қолданылады, ол, ал бұл екінші ретті дифференциалдық операция болып табылады.

Векторлық өрісінде екі және операцияларын қолдануға болады. ал олар екінші ретті дифференциалдық оерацияларға алып келеді:

Бұлардың ішінде , олардың дұрыстығын тексеру оңай, ал қалған үш екінщі ретті дифференциалдық операциялар былайша жазылады:

1. 
   , яғни
   
2. 
   Мұндағы Лапласиан деп аталады.
   
3. 
   
   

§12. Тензор.

Осы уақытқа дейін бізге кездескен физикалық шамалар не скалярлық немесе векторлық болып келді, бірақ табиғаты өте күрделі болып табылатын физикалық шамалар да бар.

Мысалы, біртекті серпімді дененің бір бөлігінің екінші бөлігіне, ойша алынған жазықтығы арқылы әсер етуінің кернеулік күйі күшінің тығызыдығы арқылы сипатталады, бірақ тығыздығы жазықтығының әр түрлі бағыттарында әр түрлі болып табылады. Сонымен, кернеулік күйін сипаттайтын шама вектор болып табылмайды, ол шама тензор болып табылады.

Тұтас ортаның күйін сипаттайтын басқа щамаларда тензор болып табылады.

Тензорлар ұғымына кәдімгі кеңістікте векьорларды сандар сипаттау жолымен де келуге болады.

Векторлық алгебрадан белгілі векторларға қолданылатын амалдардың евклид базасын енгізу арқылы оңай іске асыруға болады. Кез келегн векторын осы базис арқылы жіктеуге болады:

және векторларға қолданылатын амалдарды, олардың проекцияларына қолдануға болады.

Көп жағдайларда векторлардың (1) –жіктелу арқылы берілуі геометриялық тәсілге қарағанда ыңғайлырақ болып келеді.

Енді векторлары дегеніміз, қандай векторлар соған тоқталайық.

Кейбір жағдайларда, есепте бағыттардың табиғи санау жүйесі бар болған жағдайда, векторларды есептің берілгендерімен бірге сипаттауға болады. Бірақ көпшілік жағдайда есептеудің мұндай абсолютті жүйелері жасанды түрде болады, немесе мүлдем болмайды.

Сонда алғашқы көзқарас бойынша парадокс болады:

Біз толық анықталған вектордың проекцияларын пайдаланамыз, ал ол проекциялар базисты таңдап алуға байланысты, бірақ ол базис қалай таңдап алынған, оған мән берілмейді.

Бұл қиындықтан шығу үшін бір базисті ғана таңдап алмай, олардың барлығы тең құқылы деп есептеп, базисінің әрбір таңдауына (1)–формулаға сәйкес мәндері сәйкес келеді.