●   Ф И З И К О - М А Т Е М А Т И Ч Е С К И Е   Н А У К И

●

 Физико–математические науки

  

 

№2 2016 Вестник КазНИТУ  

                    

460 

воспринимаемую нашими органами чувств и изучаемую  средствами отдельных наук, и абстрактный 

мир человеческих идей, где властвуют математические законы. 

Прежде  чем  переходить  к  конкретным  примерам  решения  задач  на  оптимизацию,  дадим 

некоторые рекомендации методического плана. 

Первый этап. Составление математической модели. 

1)  Проанализировав  условия  задачи,  выделим  оптимизируемую  величину,  т.е.  величину,  о 

наибольшем или наименьшем значении которой идёт речь. Обозначьте её буквой 

y

 (или S, V,  R, t - 

в зависимости от фабулы). 

2) Одну из участвующих в задаче неизвестных величин, через которую сравнительно нетрудно 

выразить оптимизируемую величину, примем за независимую  переменную, и обозначьте её буквой 

x

  (или  какой-либо  иной  буквой).  Установим  реальные  границы  изменения  независимой 

переменной  (в  соответствии  с  условиями  задачи),  т.е.  область  определения  для  искомой 

оптимизируемой величины. 

3) Исходя из условий задачи, выразим 

y

 через 

x

. Математическая модель задачи представляет 

собой функцию 

 

x

f

y 

 с областью определения X, которую нашли на втором шаге. 

Второй этап. Работа с составленной моделью. 

На  этом  этапе  для  функции 

 

x

f

y 

,

X

x 

,  найдем  наибольшей  или  наименьшей  значении 

величины  у  в  зависимости  от  того,  что  требуется  в  условии  задачи.  При  этом  используются 

теоретические установки, которые были даны в пункте 1.  

Третий этап. Ответ на вопрос задачи. 

Здесь следует дать конкретный ответ на вопрос задачи, опираясь на результаты, полученные на 

этапе работы с моделью. 

Т е п е р ь   р а с с м о т р и м   н е с к о л ь к о   з а д а ч   п р и к л а д н о г о   х а р а к т е р а .  

Задача  1.  Прочность  балки  прямоугольного  сечения  пропорциональна  произведению  её 

ширины  на  квадрат  высоты.  Какое  сечение  должна  иметь  балка,  вытесанная  из  цилиндрического 

бревна радиусом 

R

, чтобы её прочность была наибольшей? 

Решение. Первый этап. Составление математической модели. 

 

1)  Оптимизируемая  величина  -  прочность 

балки,  поскольку  в  задаче  требуется  выяснить,  когда 

прочность  балки  будет  наибольшей.  Обозначим  ее 

буквой у. 

2)  Прочность  зависит  от  ширины  и  высоты 

прямоугольника,  служащего  осевым  сечением  балки. 

Объявим  независимой  переменной  ширину  балки, 

обозначим  её  буквой 

x

.  Поскольку  осевое  сечение 

представляет  собой  прямоугольник,  вписанный  в 

окружность  радиусом 

R

  (рис.  1),  то 

R

x

2

0





  - 

таковы  реальные  границы  изменения  независимой 

переменной: 





R

X

2

;

0



. 

 

 

Рис. 1. Прямоугольник, вписанный в 

окружность радиусом 

.

R

 

 

3) Высота 

h

 прямоугольника связана с его шириной соотношением 

2

2

2

4R

h

x





 (по теореме 

Пифагора). Значит, 

2

2

2

4

x

R

h





. 

Прочность балки 

y

 пропорциональна произведению 

2

xh

, т.е. 

2

h

x

k

y 

 (где коэффициент 

k

 - 

некоторое положительное число). Значить, 





2

2

4

x

R

x

k

y





, где 





R

x

2

;

0



. 

Математическая модель задачи составлена.  

 

 

 

 

●

 Физика–математика ғылымдары 

 

ҚазҰТЗУ хабаршысы №2 2016  

 

461 

Второй этап. Работа с составленной моделью. 

На этом этапе для функции 





2

2

4

x

R

x

k

y





,





R

x

2

;

0



 надо найти у

наиб

. 

Замечание  1.  В  дальнейшем  мы  будем  обозначать  у

н аиб.

  и  у

н аим . 

соответственно 

наибольшее и наименьшее значения величины у.  

Имеем:  

;

4

3

2

x

k

x

R

k

y





 

.

3

4

2

2

x

k

R

k

y







 

Найдем критические точки. Приравняв производную нулю, получим: 

.

3

2

,

3

2

;

0

3

4

2

1

2

2

R

x

R

x

x

k

R

k











 

Заданному интервалу 





R

2

;

0

 принадлежит лишь точка 

1

x

, причем 

3

2

1

R

x 

 - точка максимума 

функции. Значит, по известной теореме математического анализа 

 

3

3

16

3

2

y

3

1

наиб.

kR

R

f

x

f



















 (здесь 

 





2

2

4

x

R

kx

x

f





. 

Третьи этап. Ответ на вопрос задачи. 

В задаче спрашивается, какое сечение должна иметь балка наибольшей прочности. Мы 

выяснили,  что  ширина 

x

  прямоугольника,  служащего  осевым  сечением  наиболее  прочной 

балки, равна 

3

2R

. Найдем высоту: 

.

3

8

3

4

4

4

2

2

2

2

2

2

R

R

R

x

R

h











 

Значит, 

3

2

2

2

R

h 

, а потому 

2



x

h

. 

Ответ:  сечением  балки  должен  служить  прямоугольник,  у  которого  отношение  высоты  к 

ширине равно 

2

. 

Замечание 2. Квалифицированные мастера приходят к такому же результату, опираясь на свой 

опыт,  но  разумеется,  они  принимают  указанное  отношение  равным  1,4  (приближенное  значение 

иррационального числа 

2

 как раз равно 1,4 ). 

Задача 2. В степи, на расстоянии 9 км к северу от шоссе, идущего с запада на восток, находится 

поисковая партия. В 15 км к востоку от ближайшей на шоссе к поисковой партии точки расположен 

райцентр.  Поисковая  партия  отправляет  курьера-велосипедиста  в  райцентр.  Каков  должен  быть 

маршрут следования курьера, чтобы он прибыл в райцентр в кратчайший срок, если известно, что по 

степи он едет со скоростью 8 км/ч, а по шоссе - со скоростью 10 км/ч? 

Р е ш е н и е .   Первый этап. Составление математической модели. 

 

Сделаем 

чертеж. 

На 

рисунке              

2  точка 

P

  означает  местонахождение 

поисковый  партии,  прямая 

l

  -  шоссе, 

B

- 

райцентр, 

9

,





PA

l

PA

км, 

15



AB

км, 

PMB

- 

маршрут 

следования 

курьера, 

причем  положение  точки 

M

  между 

A

  и 

B

 пока неизвестно.  

 

 

Рис. 2. Местонахождение поисковый партии.

 

 

 

 

●

 Физико–математические науки

  

 

№2 2016 Вестник КазНИТУ  

                    

462 

1) Оптимизируемая величина – время 

t

 движения курьера из 

P

 в 

B

; надо найти 

..

наим

t

 

2) Пусть 

x

AM 

. По смыслу задачи точка М  может занять любое положение между 

A

 и 

B

, 

не исключая самих точек 

A

 и 

B

. Значит, реальные границы изменения 

x

 таковы: 

15

0



 x

. 

3) Выразим 

t

 через 

x

. Имеем: 

2

2

2

81 x

AM

PA

PM









. Этот путь велосипедист едет 

со  скоростью  8км/ч,  значит,  время 

1

t

,  затраченное  на  этот  путь,  выражается  формулой 

8

81

2

1

x

t





. Далее, 

x

MB



 15

. Этот путь велосипедист едет со скоростью 10км/ч, значит, время 

2

t

,  затраченное  на  этот  путь,  выражается  формулой 

10

15

2

x

t





.  Найдем  суммарное  время 

t

, 

затраченное на весь путь: 

.

10

15

8

81

2

x

x

t









 

Итак, 





15

;

0

,

10

15

8

81

2











x

x

x

t

. 

Это математическая модель задачи.  

Второй этап. Работа с составленной моделью. 

4) Для функции 

10

15

8

81

2

x

x

t









надо найти наименьшее значение на отрезке 





15

;

0

. 

Находим 

t

: 

 

.

10

1

81

8

1

10

1

2

81

2

1

8

1

2

2





















x

x

x

x

t

 

Производная 

t

 существует при всех 

x

. Найдем точки, в которых 

0





t

. Имеем:  





;

81

16

25

;

81

4

5

;

0

10

1

81

8

2

2

2

2

x

x

x

x

x

x















 

.

12

3

4

;

9

16

;

81

16

9

2

2















x

x

x

 

 

Значение 

12



x

 принадлежит отрезку [0; 15]. 

Составим  таблицу  значений  функции,  куда  включим  значения  функции на  концах  отрезка  и в 

найденной критической точке: 

 

x

 

0 

12 

15 

t

 

40

105

 

40

87

 

40

306

5

 

 

Следовательно, 

t

наим .

40

87



 (поскольку 

306

5

87 

). 

Третий этап. Ответ на вопрос задачи. 

Так как 

t

наим

 достигается при 

12



x

, то велосипедисту надо ехать по такому маршруту РМВ, 

чтобы расстояние между точками А и М по шоссе было равно 12 км. 

 

З а д а ч а   3 .  Бак,  имеющий  вид  прямоугольного  параллелепипеда  с  квадратным  основанием, 

должен вмещать 500 литров жидкости. При какой стороне основания площадь поверхности бака (без 

крышки) будет наименьшей? 

Р е ш е н и е .   Первый этап. Составление математической модели. 

 

●

 Физика–математика ғылымдары 

 

ҚазҰТЗУ хабаршысы №2 2016  

 

463 

1)  Оптимизируемая  величина  -  площадь 

поверхности  бака,  поскольку  в  задаче  требуется 

выяснить,  когда  эта  площадь  будет  наименьшей. 

Обозначим оптимизируемую величину буквой S. 

2) 

Площадь 

поверхности 

зависит 

от 

измерений 

прямоугольного 

параллелепипеда. 

Объявим 

независимой 

переменной 

сторону 

квадрата,  служащего  основанием  бака;  обозначим 

её буквой 

x

. Ясно, что 

0



x

. Других ограничений 

нет, значит, 





 x

0

. Таковы реальные границы 

изменения независимой переменной: 











;

0

X

. 

3) Если 

h

 - высота бака, то 

h

x

V

2



, откуда 

находим: 

2

x

V

h 

. 

 

Рис. 3. Измерение прямоугольного 

параллелепипеда

 

На рисунке 3 изображён прямоугольный параллелепипед, указаны его измерения. Поверхность 

бака состоит из квадрата со стороной 

x

 и четырёх прямоугольников со сторонами 

x

 и 

2

x

V

. Значит, 

.

4

4

2

2

2

x

V

x

x

x

V

x

S













 

Итак, при 

500



V

 















;

0

,

2000

2

x

x

x

S

. 

Математическая модель задачи составлена. 

Второй этап. Работа с составленной моделью. 

На  этом  этапе  для  функции 















;

0

,

2000

2

x

x

x

S

, надо  найти 

S

наим

.  Для  этого  нужна 

производная функции: 

;

200

2

2

x

x

S







 





.

1000

2

2

3

x

x

S







 

На промежутке 









;

0

 критическая точка только одна: 

0





S

 при 

.

10



x

 

Заметим,  что  при 

10



x

  выполняется  неравенство 

0





S

,  а  при 

10



x

  выполняется 

неравенство 

0





S

.  Значит, 

10



x

  -  единственная  критическая  точка,  причём  точка  минимума 

функции на заданном промежутке, а потому согласно известной теореме математического анализа, в 

этой точке функция достигает своего наименьшего значения. 

Третий этап. Ответ на вопрос задачи. 

В  задаче  спрашивается,  какой  должна  быть  сторона  основания,  чтобы  бак  имел  наименьшую 

поверхность. Мы выяснили, что сторона квадрата, служащего основанием такого бака, равна 10дм. 

Ответ: 10дм. 

 

ЛИТЕРАТУРА 

[1] Каданер Э.Д. Динамическое моделирование экономических систем. – Пермь: 2012, -279c. 

[2] Яглом И.М. Математические структуры и математическое моделирование. – М.: Наука, 2007. - 247c. 

[3] Пененко  В.В.,  Алоян  А.Е.  Модели  и  методы  для  задач  окружающей  среды.  –  Новосибирск:  Наука, 

2011. - 159c. 

REFERENCES 

[1] Kadaner ED Dynamic modeling of economic systems. Perm, 2012, - 279c. 

[2] I.M. Yaglom. Mathematical structures and mathematical modeling. // - Moscow: Nauka, 2007. - 247c. 

[3] Penenko V.V., Aloyan A.E. Models and methods for environmental problems. - Novosibirsk: Nauka, 2011. - 

159c. 

 

●

 Физико–математические науки

  

 

№2 2016 Вестник КазНИТУ  

                    

464 

Сатыбалдиев О.С. 

Кейбір қолданбалы есептерді шешудегі математикалық модельдердің рөлі 

 Түйіндеме.  Инженер-технологтар  өндіріс  жұмыстарын  ұйымдастырғанда  сол  өндірістен  көп  өнім  алу 

жағдайларын  ойластырады;  конструкторлар  космос  корабліне  қажетті  приборларды  жасағанда,  сол 

приборлардың массасы ең кіші болатындай мүмкіндіктерді қарастырады; экономистер заводқа қажетті шикізат 

қорларын жоспарлағанда оны тасуға кететін шығындардың ең аз болуын қадағалайды және т.б. Осыларға ұқсас 

есептер үйлесімділік есептері деп аталады. Бұл мақалада қарапайым үйлесімділік есептері қарастырылып, олар 

математикалық модельдеудің үш кезеңі арқылы шешіледі. Атап айтқанда: 1) математикалық модельдерді құру; 

2) құрылған модельмен жұмыс істеу; 3) есептің талабына жауап беру.   

Кілттік  сөздер:  математикалық  модель,  үйлесімділік,  қолданбалы  есептер,  қоршаған  орта, 

математикалық заңдылықтар  

 

Satybaldiyev O. 

On the role of mathematical models for some applied problems. 

Summary. Technological engineers are trying to organize production, to release as much as possible products; 

designers are trying to construct a device for the spacecraft so that the weight of the device was the lowest; economists 

try to plan connections with plant sources of raw materials so that transport expenses were minimal, etc. Problems of 

this  kind  are  a  common  name  –  optimization  problems.  In  this  paper  the  problems  of  optimization  are  considered. 

Optimization  problems  are  usually  considered  like  that:  1)  working  out  the  mathematical  model;  2)  work  with  the 

model; 3) answer to the problem. 

Key words:  mathematical model, optimization, applied problems, environment, mathematical laws.  

 

 

 

УКД:006.03 

 

жүктеу/скачать 51,43 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: