И. К. Бейсембетов ректор Зам главного редактора

●

 Физика–математика ғылымдары 

 

ҚазҰТЗУ хабаршысы №2 2016  

 

499 

 

2)  Эллипс фокусының координаталарының берілуі:  X0 :=0;   Y0:=0 

3)   Бірінші туындылардың мәндерін қайтаратын вектор-функцияның берілуі: 

 

4)  Дифференциалдық теңдеулер жүйесінің  шешімі ізделетін нүктелер саны: 

N:=5000 

5)  Дифференциалдық теңдеулер жүйесінің шешімі ізделетін уақыт интервалының оң жағының 

берілуі: 

       T

finish

 :=2.5 

6)  Дифференциалдық теңдеулер жүйесінің шешімі: 

Z:=rkfixed(Z1, 0, T

finish 

,N,D) 

7)  Қозғалыстың кинематикалық сипаттамаларын салу (3-7 суреттер): 

 

 

 

3-сурет.  х=х(t) тәуелділігінің графигі 

4-сурет. v

x

 = v(t) тәуелділігінің графигі 

 

 

 

5-сурет. y=y(t) тәуелділігінің графигі 

6-сурет. v

y

 =v(t) тәуелділігінің графигі 

 

●

 Физико–математические науки

  

 

№2 2016 Вестник КазНИТУ  

                    

500 

3



2



1



0

1

2



1



0

1

2

y=y(x)

Z

3

 

Y0

Z

1

 

X0



 

7-сурет. Центрлік күш өрісіндегі қозғалаған дененің 

траекториясы 

 

8)  Орбитаның эксцентриситетін есептеу 

а) х(t)  және  y(t) тәуелділіктер бар бағанды бөліп алу: 

 

X:=Z

1   

      Y:=Z

3 

 

б) X және Y массивтерінің минимум және максимум мәндерін анықтау: 

 

Min_X:=min(X)           Max_X:=max(X) 

Min_Y:=min(Y)           Max_Y:=max(Y) 

 

в) Эллипстің жарты осьтерінің ұзындығын табу: 

 

a:=

                  b:=

 

a:=1.786                         b:=1.604 

 

г) Эллипстің эксцентриситетін есептеу: 

 

e:=    

 if a b 

       

 if a b 

e = 0.44 

 

 

 

 

3. Кеплердің екінші заңын сандық әдіспен тексеру 

 

Кеплердің екінші заңын еске түсіреміз: Күн жүйесіндегі планеталардың әрқайсысының радиус-

векторының  кеңістіктегі  бірлік  уақыттағы  сызған  ауданы  әрқашан  тұрақты  болады.  Бұл  заңның 

математикалық өрнегі мынандай:  

.                                                               (13) 

 

Мұндағы r – планетаның немесе ЖЖС-нің радиус – векторы,  - полярлық бұрыш [5].  

(13)  теңдеуді  сандық  әдіспен  тексеру  үшін  (9)  және  (10)  дифференциалдық  теңдеулерді  шешу 

кезінде  алынған  аспан  денелерінің  қозғалысының    Z  матрицаға  қатысты  кинематикалық 

сипаттамаларын  пайдаланамыз.  Дифференциалдық  теңдеулер  жүйесіің  шешімдерін  беретін  Z 

матрицаның  өлшемділігі  N5  болады;  матрица  бағандарының  және  жодарының  нөмерлері  нөлден 

басталады; t, x(t), x



(t), y(t), y



(t) шамалар 0, 1, 2, 3, 4 –інші бағандарда орналасады. 

●

 Физика–математика ғылымдары 

 

ҚазҰТЗУ хабаршысы №2 2016  

 

501 

Қозғалыс  теңдеулерінің  шешімі  бірқалыпты  уақыт  торында  іске  асатындықтан  уақыт 

интервалының  бастапқы  және  соңғы  мәндерін  беру  үшін  Z  матрицаның  сәйкес  жолдарын  және 

қолданылатын  нүктелер  санын  (уақыт  интервалының  ұзындығын)  көрсетсек  жеткілікті.  Жоғарыда 

аталған уақыт интервалында радиус-вектор сызатын аудан есептеледі.  

Қозғалыс  теңдеулерін  интегралдауға  қажетті    t  аралықтың  аз  мәні  былайша  табылады: 

t=

,  мұндағы    N  дифференциалдық  теңдеулерді  шешуге  қажетті  нүктелер  саны.  t  уақыт 

аралығындағы  радиус-вектордың  сызатын  ауданы  төбелері  (0,0),  ((Z

1

)

n

,  (Z

2

)

n

),  ((Z

1

)

n+1

,  (Z

2

)

n+1

) 

нүктелерінде орналасқан үшбұрыштың ауданына тең (Сурет 8). 

 

 

 

8-сурет. t уақыт аралығындағы радиус-вектордың сызатын ауданы 

 

 Төбелерінің  координатасы  берілген  ұшбұрыштың  ауданын  Герон  формуласы  көмегімен 

есептеп шығаруға болады. 

S=

                       

 

мұндағы p – 8 суретте көрсетілгіен үшбұрыштың периметрінің жартысы, a,b,c  - үшбұрыштың 

қабырғаларының ұзындығы.  

a=

                                           

b=

                                  

c = 

 

 

Радиус-вектордың сызатын ауданын есептеу үшін MathCAD  қолданбалы программалар пакетін 

қолданамыз.    8  суретте  көрсетілген  үшбұрыштың  ауданын  есептейтін  формула  аналитикалық 

геометрияда мынандай түрде болады: 

S=

 

 

Сондықтан радиус-вектордың сызатын ауданын есептеу алгоритмі мынандай түрде болады: 

1.  Уақыттың бастапқы моментін және уақыт интервалының ұзындығын беру; 

2.  (Z

0

)

n

      уақыт  моментіндегі  орбита  координаталарына  (z0)  сәйкес  мәнді            векторға 

меншіктеу; 

3.  (Z

0

)

n+1

      уақыт  моментіндегі  орбита  координаталарына  (z0)  сәйкес  мәнді            векторға 

меншіктеу; 

4.  [(Z

0

)

n

, (Z

0

)

n+1

]  уақыт интервалында радиус-вектор сызатын S ауданды есептеу; 

5.  [(Z

0

)

0

, (Z

0

)

n+1

]  аралығында аралығындағы радиус-вектор сызатын S ауданды [(Z

0

)

0

, (Z

0

)

n

]  

уақыт интервалында радиус-вектор сызатын белгілі ауданды және  S ауданды қосу арқылы табу. 

6.Радиус-вектор сызған ауданның есептелуі басталатын бастапқы нүктенің нөмері 

 

 

●

 Физико–математические науки

  

 

№2 2016 Вестник КазНИТУ  

                    

502 

N

Start

  900 

7.  Радиус-вектор сызған аудан есептелетін нүктелер саны: 

N

Lengts

 200 

Жоғарыдағы  алгоритм  негізінде  MathCAD  ортасында  жұмыс  жасайтын    программа 

құрастырылады: 

 

S

s

0



K

0



K

i

N





i

N



if

K

i



otherwise

x1

Z

K 1



Z

K 3



0























x2

Z

K 1



1



Z

K 1



3



0























s

x1

x2



0.5



s





i

NStart NStart

NLength







for

s



 

S=0.37887599  

 

Гравитациялық центрлік күш өрісінде қозғалған дененің траекториясын сол дененің радиус-

векторы сызған ауданмен бірге көру үшін 9-суреттегі алгортимді пайдаланамыз. 

 

 

 

9-сурет. Гравитациялық центрлік күш өрісінде қозғалған дененің траекториясын салуға қажетті алгоритм 

 

MathCAD қолданбалы программасы көмегімен табиғаты гравитациялық центрлік күш өрісінде 

қозғалған дененің траекториясын сол дененің радиус-векторы сызған ауданмен бірге беруге болады.   

 

●

 Физика–математика ғылымдары 

 

ҚазҰТЗУ хабаршысы №2 2016  

 

503 

S1

k

0



K

i

NLength





i

NLength

1





if

K

i



otherwise

S

k 0



0



S

k 1



0



S

k 0



Z

K 1





S

k 1



Z

K 3





k

k

1





S

k 0



Z

K 1



1





S

k 1



Z

K 1



3





k

k

1





S

k 0



0



S

k 1



0



k

k

1





S

k 0



Z

K 1



1





S

k 1



Z

K 1



3





k

k

1





i

NStart NStart

NLength







for

S



 

 

Бір  сызбада  табиғаты  гравитациялық  центрлік  күш  өрісінде  қозғалған  дененің  траекториясын 

сол дененің радиус-векторы сызған ауданмен бірге береміз (Сурет 10).   

 

3



2



1



0

1

2



1



0

1

2

Z

3

 

Y0

S1

1

 

Z

1

 

X0



S1

0

 



 

 

10-сурет. Центрлік күш өрісіндегі қозғалаған дененің траекториясын сол дененің радиус-векторы сызған 

ауданмен бірге салу 

 

 

 

 

●

 Физико–математические науки

  

 

№2 2016 Вестник КазНИТУ  

                    

504 

ӘДЕБИЕТТЕР 

[1] Компанец А.С. Курс теоретической физики. Том 1.-М.:1972. – 512 с. 

[2] Кутателадзе С.С. Анализ подобия и физические модели.- Новосибирск: Наука, 1986.- 297 c. 

[3] Клепфиш  Б.Р.  Информационный  подход  к  применению  приема  обезразмеривания  при  изучении 

компьютерного моделирования // Фундаментальные исследования. – 2011. – № 8 – С. 368-372 

[4] Очков В. MathCAD 14 для студентов, инженеров и конструкторов. – Санкт-Петербург. – 2007.- 370 с.  

[5] Мукушев Б.А. Вывод формулы силы гравитации  на основе законов Кеплера // Вестник КазНПУ им. 

Абая 2014, №4 

 

REFERENCES 

[1] Kompaneets A.S. The course of theoretical physics. Tom 1.-M. 1972. - 512 p. 

[2] Kutateladze S.S. Analysis of similarity and physical modeli.- Nauka, 1986.- 297 c. 

[3] Klepfish  BR  Information  approach  to  the  use  of  dimensionless  receiving  the  study  of  computer  modeling                  

// Basic Research. - 2011. - № 8 - P. 368-372 

[4] Othcov V. MathCAD 14 for students, engineers and designers. - St. Petersburg. - 2007.- 370 p. 

[5] Mukushev B.A/ The derivation of the force of gravity on the basis of Kepler's laws // Herald KazNPU. Abaya 

2014, №4 

 

Мукушев Б.А., Исимов Н.Т. 

Исследование закономерностей движения небесных тел с помощью пакета прикладных программ 

MathCAD 

Резюме.  Исследовано  движение  небесных  тел  в  поле  центральной  гравитационной  силы.  Рассмотрены 

дифференциальные уравнения, характеризующие движения двух взаимодействующих тел. Для этих уравнений 

был  использован  прием  обезразмеривания.  Дифференциальные  уравнения  были  решены  в  графическом  виде 

посредством  пакета  прикладных  программ  MathCAD.  Полученные  численные  данные  посредством  пакета 

прикладных программ, относящихся к первому и второму законам Кеплера. 

Ключевые слова: Задача о двух телах, центральная симметрическая сила, обезразмеривание, численные 

методы, пакет прикладных программ Mathcad. 

 

Mukushev B. A., Isimov N. T.  

Investigation of the motion of celestial bodies with the help of the application package MathCAD 

Summary. The article investigates the movements of celesti al bodies in the central gravitational force. Consider 

the  differential  equation.  These  equations  describe  the  motion  of  two  interacting  two  bodies.  For  these  equations, 

dimensionless reception was used. Differential equations are solved graphically through MathCAD. Obtain numerical 

data through MathCAD. These numerical data relate to the first and second laws of Kepler. 

Key words: The problem of two bodies, centrally symmetric force, dimensionless, numerical methods, software 

package MathCAD. 

 

 

ӘОЖ  531.51+519.68 

1

Б.А. Мукушев, 

2

Н.Т. Исимов  

(

1

Шәкәрім атындағы мемлекеттік университетті, Семей, Қазақстан Республикасы 

bazarbek1@rambler.ru 

2

Әл-Фараби атындағы Қазақ ұлттық университеті, Алматы, Қазақстан Республикасы) 

 

ҮШ ДЕНЕ ТУРАЛЫ ШЕКТЕЛГЕН ЕСЕП 

 

Аннотация.  Мақала  екі  аспан  денесінің  қортқы  гравитациялық  өрісіндегі  массасы  аталған  екі  аспан 

денесінен  бірнеше  есе  аз  дене  қозғалысын  зерттеуге  арналған.  Массасы  шамалы  дененің  қозғалысын 

сипаттайтын  дифференциалдық  теңдеу  қорытылған.  Осы  теңдеулерді  шешу  үшін  алдымен  өлшемсіздендіру 

амалы  қолданылған.  Дифференциалдық  теңдеулер  MathCAD  қолданбалы  программалар  пакеті  көмегімен 

шешілген.  Қозғалыстағы  дененің  траекториясын,  гравитациялық  өрістің  потенциалын  және  дененің  толық 

энергиясын сипаттайтын  нәтижелер сандық әдістер көмегімен алынған.  

Түйін сөздер: Үш дене туралы шектелген есеп, тартылыс өрістерінің суперпозициясы, өлшемсіздендіру, 

сандық әдістер, Mathcad қолданбалы программалар пакеті. 

 

Кіріспе 

Аспан  механикасының  іргелі  есептерінің  бірі  –  n  дене  туралы  есеп.  Бұл  есеп  кеңістікте  бір-

бірімен  өзара  Ньютонның  тартылыс  заңы  бойынша  әсерлесетін  n  материалдық  нүктелердің  орнын 

анықтауға  арналған.  Аталған  есеп  материалдық  нүктелердің  алғашқы  орындары  және  алғашқы 

●

 Физика–математика ғылымдары 

 

ҚазҰТЗУ хабаршысы №2 2016  

 

505 

жылдамдықтары  белгілі  болған  жағдайда  олардың  уақыттың  келесі  моменттеріндегі  орнын  табуға 

арналған. Кез-келген n материалдық нүктеден тұратын механикалық жүйенің шексіз үлкен уақыттан 

кейін  қандай  жағдайда  болатынын  біле  алсақ,  онда  Күн  жүйесінің,  ары  қарай  барсақ  бүкіл  әлемнің 

болашағының  қалай  болар  екенін  болжай  алар  едік.  Дегенмен,  осы  уақытқа  дейін  n=1  және    n=2 

дербес  жағдайлар  үшін  ғана  аталған  есеп  толық  шешімін  тапқан.  Ал  n  3  жағдайлар  үшін  есептің 

жалпы аналитикалық шешімі әлі де жасалған жоқ.  

n=1  жағдай.  Бір  дененің  қозғалысы  туралы  есептің  шешімі  Ньютонның  бірінші  заңы  болып 

табылады: Денеге басқа денелер әсер  етпесе немесе басқа денелердің әсері бірін-бірі жойса, онда ол 

дене  тыныштығын  сақтайды  немесе  бірқалыпты  түзу  сызықты  қозғалыста  болады.Шындығында 

кеңістікте тек бір ғана дене болса, онда оған әсер ететін басқа денелер туралы сөз қозғау мағынасыз 

болады.  Егер  дене  қозғалыста  болса      бірқалыпты  түзу  сызықты  қозғалыста  болады.  Айтылған 

тұжырым n=1 есептің толық шешімі. 

n=2  жағдай.  Екі  дене  туралы  есептің  де  толық  шешімін  Ньютон  тапты.  Ньютон  сол  уақытқа 

дейін  жинақталған  планеталардың  қозғалысы  туралы  бақылау  мәліметтеріне  және  Кеплер  заңдарына 

сүйене  отырып  бүкіл  әлемдік  тартылыс  заңын  ашты.  Ол  планеталардың  қозғалысын  сипаттайтын 

белгілі мәліметтерге сүйене отырып, Күн мен планеталардың өзара тартылыс күшінің теңдеуін тапты: 

F=  G

           Мұндағы    G= 6,67 ∙ 10

-11

 н∙м

2

 / кг

2

 – бүкіл әлемдік тартылыс тұрақтысы. 

Осы  күштің  ықпалымен  алғашқы  шарттарға  бағына  отырып,  белгілі  бір  жазықтықта  ортақ 

масса центрі маңайында екі дене конустық  қима деп аталатын қисық бойымен қозғалады. Конустық 

қимаға шеңбер, эллипс, парабола және гипербола жатады.  

  N= 3 жағдай. Жоғарыда айтып кеткендей бұл жағдай үшін жалпы шешім  әзірше жоқ. Демек, 

егер денелердің бастапқы координаталары және жылдамдықтары t=0 уақыт моменті белгілі болса, біз 

уақыттың  кез-келген  моментіндегі      дененің  орнын  дәл  бере  алмаймыз.  19  ғасырыдың  аяғында 

Ж.Лагранж,  К.Якоби,  А.Пуанкаре,  Дж.Биркгоф  және  т.б.  көрнекі  математиктер  аталған  есептің 

жалпы  шешімін  табу  бағытында  еңбек  етіп,  құнды  идеялар  мен  нәтижелерге  қол  жеткізді.  Бірақ, 

есептің  жалпы  шешімі  табылмады.  Кейінірек  Г.Э.Брунсу  және  А.Пуанкаре  үш  дене  туралы  есептің 

шешімін  координаталар  мен  жылдамдықтарды  сипаттайтын  алгебралық  немесе  трансцендентті 

функциялар көмегімен берудің мүмкін емес екендігін дәлелдеді [1,2]. 

 

1.  Үш дене туралы шектелген есептің аналитикалық шешімі 

Аспан  механикасы  және  ғарыш  аппараттарының  қозғалысының  динамикасы  үшін  үш  дене 

туралы  шектелген  есептің  маңызы  өте  зор.  Мұндай  есепте    массасы  m  болатын    аз  массалы    дене 

массалары М

1 

және М

2

 болатын   денелердің тартылыс өрісіндегі қозғалысы қарастырылады. М

1

, М

2

 

  m  деп  есептелгендіктен  массасы  аз  дене  қалған  екі  дененің  қозғалысына  ықпал  жасамайды. 

Сөйтіп,  М

1 

және М

2 

 денелер екі дене есебіндегі көрсетілген орбита бойымен қозғалады. Сонымен үш 

дене  туралы  шектелген  есепті  талдау  кезінде  тек  m  дененің  қозғалысын  зерттеумен  айналысамыз. 

Мысалы,  егер  Күннің  ықпалын  ескермесек,  Жер  және  Ай  трассасында  қозғалған  ғарыш  кемесінің 

қозғалысын  зерттеу    үш  дене  туралы  шектелген  есептің  шешімін  іздеумен  бірдей.  Бұл  жағдайда 

тартылыс центрлері жасайтын өрістер үшін суперпозиция принципі орындалады. 

М

1 

және  М

2

  денелердің  қозғалыс  орбиталарының  формаларына  байланысты    гиперболалық, 

параболалық  және  эллипстік  үш  дене  туралы  шектелген  есептерді  бөліп  алуға  болады.    М

1 

және  М

2

 

денелер  шеңбер  бойымен  қозғалған  кезде  дөңгелек  шектелген  есеп  туралы  сөз  болады.  Егер  аз 

массалы  m  дене  М

1 

және  М

2

  денелердің  қозғалыс  орбиталарының  жазықтығында  болса  жазық 

шектелген  есеп  дейді.  Егер  m дене қозғалыс кезінде М

1 

және М

2

 денелердің қозғалыс орбитасының 

жазықтығынан  шығып  кетсе,  онда  кеңістіктегі  шектелген  есеп  туралы  айтылады.  1  суретте  тік 

бұрышты  координаталар  жүйесіндегі  m  дененің  орны  мен  М

1 

және  М

2

  денелермен  әсерлесуі 

көрсетілген.  

 

●

 Физико–математические науки

  

 

№2 2016 Вестник КазНИТУ  

                    

506 

 

 

1-сурет. Үш дене туралы шектелген есептегі  m дененің орны  

және оған М

1 

және М

2

 тарапынан әсер ететін күштер 

 

1 суреттегі мәліметтерді пайдалана отырып тік бұрышты координаталар жүйесінде   m дененің 

қозғалысын сипаттайтын дифференциалдық теңдеу жазамыз.  

 

m  = - 

(

) - 

(

)                                               (1) 

 

(2)  теңдеуді  сызықтық  әдістермен  шешу  үшін  MathCAD  қолданбалы  программалар  пакетін 

қолданамыз.    Ол  үшін  алдымен  өлшемсіздендіру  (обезразмеривание)  амалын  жасаймыз  [3,4].  Егер 

қашықтықтың  және  уақыттың  өлшем  бірлігі  ретінде  планетаның  орбитасының  радиусы  мен  оның 

шеңбер  бойымен  айналу  периодын  алсақ,  онда  m  дене  үшін  мынандай  өлшемсіз  айнымалыларды 

енгізе  аламыз:  =  /R; 

  = 

/R; 

  = 

/R;    =t/T.  Сонда  радиусы  R  болатын  шеңбер  бойымен 

қозғалған дененің жылдамдығы былайша жазылады: 

 

                                                             (2) 

 

Ал үдеудің шамасы        

                                                                                                       (3) 

Дөңгелек орбитадағы дене қозғалысының жылдамдығы 

 белгілі. 

Егер T=1және R=1 болса, онда 

  болады. (2) және (3) теңдеулерді (1) ге қоямыз. 

 

 

 = - 

(

) - 

(

)                                   (4)      

 

(4) теңдеудің ортақ көбейткіштерін қысқартып, мынандай теңдеу аламыз: 

 

 = - 

(

) - 

(

)                                   (5) 

 

Айналу периодын мына формула бойынша табамыз: 

 

T=

                                                                           (6) 

(6) өрнекті (5) ке қойсақ: 

 

 = - 

(

) - 

(

)                                       (7)   

 

 

жүктеу/скачать 51,43 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: