●
Физика–математика ғылымдары
ҚазҰТЗУ хабаршысы №2 2016
479
где
t
s
, получим рекуррентное соотношение для переходных вероятностей:
)
0
,
,
'
'
(
)
0
,
'
'
,
'
(
)
0
,
,
'
(
h
h
n
h
h
i
h
h
in
(6)
Но поскольку процесс непрерывен по глубине проникновения и частица всегда находится на
какой-то глубине, то вместо суммы имеем интеграл, который берется по всей глубине от h' до h.
Таким образом, получаем следующие соотношения:
h
h
h
h
k
n
dh
h
h
k
h
h
n
'
),
0
,
,
'
'
(
1
0
'
'
)
0
,
'
'
,
'
(
)
0
,
,
'
(
(7)
),
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
0
0
0
1
0
h
h
h
d
h
h
h
h
k
h
h
k
n
n
).
1
(
1
n
k
(8)
Или в более простой форме:
0
0
1
0
0
0
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
h
d
h
h
h
h
h
h
n
h
h
n
, (9)
h
h
n
n
dh
h
h
h
h
h
h
'
0
0
0
0
1
0
'
'
,
,
'
'
,
''
,
'
,
,
'
, (10)
где
0
,
,
'
h
h
n
- вероятность испытать частице n соударений, достигнув глубины h -
вероятность перехода за n шагов;
cos
0
;
0
1
,
'
'
,
'
h
h
n
- вероятность испытать частице (n-1)
соударение - вероятность перехода за (n-1) шаг;
0
0
,
,
'
'
h
h
- вероятность того, что частица
достигнет глубины h, не испытав при этом ни одного соударения - вероятность перехода за 1 шаг;
0
'
'
dh
- вероятность того, что частица испытает соударение на глубине h''.
Из (1) получим при n=0 вероятность того, что частица достигнет глубины h, не испытав при
этом ни одного соударения:
0
'
0
0
,
,
'
h
h
a
e
e
h
h
, (11)
где
0
'
h
h
a
.
Используя рекуррентное соотношение (10), получим вероятность того, что частица достигнет
глубины h, испытав при этом одно, два, … n соударений для случая, когда
и
не изменяются
после столкновения [1,2,7]:
0
0
0
'
exp
!
1
'
,
,
'
h
h
n
h
h
h
h
n
n
. (12)
В нашем случае цепь Маркова неоднородна, поскольку переходные вероятности
n
k
k
...
,
1
,
0
,
меняются на каждом шаге k, интенсивность потока не зависит от глубины
проникновения, т.е. все потоки, переводящие систему S из одного состояния в другое, являются
простейшими стационарными пуассоновскими. Данная цепь Маркова не имеет стационарного
режима, поскольку не обладает эргодическим свойством. Простейшая КВФ в предельном случае, а
именно, при
0
'
h
h
переходит в распределение Пуассона.
Рассмотрим случай, когда после соударения частица не изменяет направление своего движения,
интенсивность потока зависит от времени, а следовательно, и от глубины проникновения, т.е. [8]:
1
)
'
'
'
(
1
1
)
(
0
0
kh
E
a
h
. (13)
Но поскольку процесс непрерывен по глубине проникновения и частица всегда находится на
какой-то глубине, то вместо суммы имеем интеграл, который берется по всей глубине от h' до h.
Таким образом, получаем следующие соотношения:
h
h
k
n
k
n
kh
E
a
E
h
h
E
h
h
E
h
h
'
0
0
0
1
0
0
'
dh'
1
)
'
'
'
(
1
1
)
,
,
''
(
)
,
''
,
'
(
)
,
,
'
(
, (14)
●
Физико–математические науки
№2 2016 Вестник КазНИТУ
480
h
h
k
k
n
n
kh
E
a
E
h
h
E
h
h
E
h
h
'
0
0
0
0
1
0
'
dh'
1
)
'
'
'
(
1
1
)
,
,
'
'
(
)
,
'
'
,
'
(
)
,
,
'
(
(15)
Или в более простой форме:
''
1
)
''
'
(
1
1
)
,
,
''
(
)
,
''
,
'
(
,
,
'
'
0
0
0
0
0
1
0
dh
kh
E
a
E
h
h
E
h
h
E
h
h
h
h
n
n
, (16)
где h', h - глубины генерации и регистрации налетающего иона, E
0
- первоначальная энергия
иона,
0
,
,
'
E
h
h
n
- вероятность испытать частице n соударений, достигнув глубины h,
0
1
,
''
,
'
E
h
h
n
- вероятность испытать частице n-1 соударение, пройдя глубину от h' до h'',
0
0
,
,
''
E
h
h
- вероятность того, что частица достигнет глубины h, не испытав при этом ни одного
соударения,
0
, a, E
0
', k – параметры аппроксимации.
Откуда имеем выражение КВФ для ионов в виде [8]:
)
,
,
(
0
E
h
h
n
=
n
n 0
!
1
l
kh
E
h
k
E
0
0
0
exp
h
h
*
n
h
h
ak
kh
E
h
k
E
)
(
ln
0
0
, (17)
n - число взаимодействий.
Энергетический спектр первично-выбитых атомов вычисляется по формуле [8]:
1
0
2
2
)
(
1
,
2
,
1
2
exp
)
(
,
2
,
0
n
n
n
h
k
h
h
h
d
h
E
E
w
h
h
h
n
h
E
E
W
, (19)
где
n
(h') – каскадно-вероятностная функция в модифицированном виде;
2
1
,
– пробеги на
ион – атомное и атом – атомное соударение, соответственно;
k
– целое число, большее единицы; n
0
,
n
1
– начальное и конечное значение числа взаимодействий из области определения каскадно-
вероятностной функции,
h
E
E
w
,
,
2
1
- спектр ПВА в элементарном акте, E
2
– энергия первично-
выбитого атома.
Выражение концентрации вакансионных кластеров при ионном облучении твердого тела имеет
вид [8]:
max
2
2
)
,
2
,
0
(
)
,
0
(
E
c
E
dE
h
E
E
W
h
E
k
C
, (20)
max
2
E
– максимально возможная энергия, приобретенная атомом.
Формулу (19) также можно записать в виде уравнения Колмогорова-Чэпмена, налетающей
частицей является ион. Очевидно, что процесс взаимодействия ионов с твердым телом, образования
первично-выбитых атомов также описывается цепью Маркова.
В выражении для спектра первично-выбитых атомов (19) под знаком интеграла содержится
произведение вероятностей. Перечислим их:
1.
n
h
ak
h
k
E
E
h
ak
h
k
E
E
n
n
h
n
0
0
ln
0
exp
0
1
0
0
0
!
1
)
(
=
ik
,
(21)
ik
– вероятность того, что ион достигнет глубины h' после (n-1)-го соударения при условии,
что произошло предыдущее событие, а именно: на некоторой глубине была генерирована первичная
частица – ион.
2.
km
h
E
E
w
'
,
,
2
0
– условная вероятность того, что образовался первично-выбитый атом с
энергией Е
2
от иона с энергией Е
0
после n-кратного соударения.
●
Физика–математика ғылымдары
ҚазҰТЗУ хабаршысы №2 2016
481
3.
ms
h
h
2
2
/
'
exp
– условная вероятность того, что ПВА, образованный на глубине
h
в n-
кратном взаимодействии иона с веществом достигнет глубины h.
Спектр ПВА
)
,
,
(
2
0
h
E
E
W
есть вероятность того, что от 1-го иона с энергией
0
E
образуется
определенное количество вторичных частиц с энергией
2
E
на глубине h.
В общем случае все функции
ms
km
ik
,
,
представляют собой вероятности перехода для цепи
Маркова, соответственно из i-го состояния в k-е; из k-го в m-е; из m-го в s-е.
Тогда уравнение Колмогорова-Чэпмена запишется в следующем виде:
k
m
ms
km
ik
ij
,
(22)
W
ij
– вероятность перехода из i-го состояния в j-е.
Поскольку состояния системы непрерывны по глубине, то выражение (22) преобразуется в
следующее:
1
0 0
2
0
)
,
,
(
n
n
h
ms
km
ik
ij
h
E
E
W
(23)
Цепи Маркова используются в различных направлениях научных исследований. В химии
ферментативную активность, кинетику Михаэлиса-Ментена, можно рассматривать как цепь Маркова,
где на каждом временном шаге реакция протекает в некотором направлении. В то время как кинетика
Михаэлиса-Ментен довольно проста, гораздо сложные реакционные сети также могут быть
смоделированы с помощью цепей Маркова [9]. В физике рост (и состав) сополимеров могут быть
смоделированы с использованием цепей Маркова. На основе соотношений реактивности мономеров,
которые составляют растущую полимерную цепь, состав цепи может быть рассчитан [10]. Цепи
Маркова используются в области финансов и экономики, чтобы смоделировать различные явления, в
том числе цены на активы и обвала рынка [11,12]. В нашей работе показана связь процессов
взаимодействия частиц с веществом и радиационного дефектообразования в твердых телах,
облученных ионами, с цепями Маркова и Марковскими процессами, т.е. получены рекуррентные
соотношения для каскадно-вероятностных функций, выражения для спектров первично- выбитых
атомов и концентрации радиационных дефектов из цепей Маркова. Аналогично можно показать
связь процессов радиационного дефектообразования в твердых телах, облученных электронами,
протонами, альфа-частицами с Марковскими процессами и цепями Маркова.
Таким образом, процесс взаимодействия частиц с твердым телом и образования радиационных
дефектов в твердых телах, облученных заряженными частицами можно описать цепями Маркова и
Марковскими процессами. В отличие от других, наши исследования используются в радиационной
физике твердого тела. Также можно использовать цепи Маркова и Марковские процессы в
космических исследованиях.
Достарыңызбен бөлісу: |