Қазақстан республикасы жоғары оқу орындарының Қауымдастығы к. Д. Көлекеев К. Ж. Назарова дифференциалдық теңдеулер алматы, 2012

107
Бұдан 
0
0
≠
a
десек, 
,
0
2
2
=
−
n
k
яғни 
n
k
±
=
мəндерін, 
нақты
0
≥
=
n
k
мəндерінде
,
0
,
0
1
2
1
=
=
+
p
a
a
,
)
1
(
2
)
2
(
2
0
2
2
0
2
+
−
=
−
+
−
=
n
a
n
n
a
a
0
2
2
4
2
2
2
4
,
(
4)
2 (
2) 2 2 (
1)(
2) 1 2
a
a
a
a
n
n
n
n
n
= −
= −
=
+
−
+ ⋅
+
+ ⋅ ⋅
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
0
2
2
( 1)
,
2
!(
1)(
2) (
)
p
p
p
a
a
p
n
n
n
p
−
=
⋅
+
+
+
…
…
…
…
…
…
…
…
коэффициенттерін табамыз. Дəл осы сияқты
n
k
−
=
болғанда,
0
2 1
2
2
( 1)
0 ,
.
2
!(
1)(
2) (
)
p
p
p
p
a
a
a
p
n
n
n
p
+
−
=
=
+
+
+
Сонымен
n
k
=
болғандағы теңдеудің шешімін:
2
0
2
0
( 1)
,
2
!(
1)(
2) (
)
p
p n
p
p
x
y
a
p
n
n
n
p
+
∞
=
−
=
+
+
+
∑
тұрақтыны
)
1
(
2
1
0
+
Γ
=
n
a
n
деп, 
∑
∞
=
+
+
+
Γ
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
0
2
)
1
(
!
2
)
1
(
p
n
p
p
p
n
p
x
y
(2)
түрге келтіреміз. Мұндағы,
Γ
- Эйлердің гамма – функциясы,
1
0
( )
,
0, (
1)
( );
x
p
p
e x
dx
p
p
p
p
∞
−
−
Γ
=
>
Γ + = Γ
∫
p
=1 болса, 
0
(1)
1,
x
e dx
∞
−
Γ =
=
∫
ал 
1
+
=
n
p
бүтін мəнінде Г(
n
+1)=
n
!.

108
(2) шешімді əдетте,
)
(
x
J
n
-пен белгілеп, бірінші түрдегі 
n
- 
ретті Бессель функциясы деп атайды.
)
1
(
2
1
,
0
+
−
Γ
=
−
=
−
n
a
n
k
n
мəндерінде бірінші түрдегі 
n
−
ретті Бессель функциясын аламыз:
∑
∞
=
−
−
+
+
−
Γ
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
0
2
)
1
(
!
2
)
1
(
)
(
p
n
p
p
n
p
n
p
x
x
J
. (3)
n 
- бүтін емес болса 
( ),
( )
n
n
J
x
J
x
−
шешімдері сызықты 
тəуел сіз; 
n 
- бүтін болса, бұл шешімдер сызықты тəуелді 
( ) ( 1)
( ),
n
n
n
J
x
J
x
−
= −
басқа сызықты тəуелсіз шешімдер іздесті-
ріледі. Бұндай шешімдер ретінде жалпыланған қатарларды ln 
x
-ке көбейтіп, алынған немесе белгілі бір шешімнің көмегімен 
теңдеудің ретін төмендету жолымен құрылған шешімдерді қа-
былдауға болады. Осы тəсілдердің бірімен тұрақты көбейткіші 
арнайы таңдалып,
)
(
x
J
n
-тен сызықты тəуелсіз етіп құрылған кез 
келген шешім, екінші түрдегі Бессель функциясы аталып,
)
(
x
Y
n
- деп белгіленеді.
Əдетте,
π
ν
π
ν
ν
ν
ν
sin
)
(
cos
)
(
lim
)
(
x
J
x
J
x
Y
n
n
−
→
−
=
(4)
түрінде қарастырылады, 
n
- бүтін.
)
(
x
Y
n
Нейман (немесе Вебер) 
функциясы деп аталады.
Сонымен Бессель теңдеуінің жалпы шешімі
⎩
⎨
⎧
+
+
=
−
,
)
(
)
(
,
)
(
)
(
)
(
2
1
2
1
x
Y
C
x
J
C
x
J
C
x
J
C
x
y
n
n
n
n
(5)
Бессель функциялары зерттелген, мəндерінің арнайы кесте-
лері құрылған. Сондықтан есептің шешімі бұл функцияларға 
келтірілсе, мəселе толық айқындалған деп түсінеміз.
Қолданыста жиі кездесетін

109
0
)
(
2
2
2
2
=
−
+
′
+
′′
y
n
x
m
y
x
y
x
(6)
теңдеуін, 
x
1
=
mx
алмастыруымен
2
2
2
1
2
2
1
1
1
,
dx
dy
dy
dy
d y
d y
m
m
dx
dx dx
dx
dx
dx
=
=
=
қарастырылған Бессель теңдеуіне келтіреміз:
2
2
2
2
1
1
1
2
1
1
(
)
0.
d y
dy
x
x
x
n
y
dx
dx
+
+
−
=
Онда бұл теңдеудің жалпы шешімі
1
2
1
2
( )
( ),
( )
( )
( ),
n
n
n
n
C J mx
C J
mx
y x
C J mx
C Y mx
−
+
⎧
= ⎨
+
⎩
(7)
1-мысал.
2
2
16
9
0.
36
x y
xy
x
y
⎛
⎞
+
+
−
=
′′
′ ⎜
⎟
⎝
⎠
Теңдеудің жалпы 
шешімін табу керек.
Шешуі. Теңдеуде 
2
16
4 2
,
36
6 3
n
n
=
= =
бүтін емес, 
m
2
=9, 
m
=3
болғандықтан 
( )
1 2/3
2
2/3
(3 )
(3 ).
y x
C J
x
C J
x
−
=
+
2-мысал.
(
)
2
2
5
9
0.
x y
xy
x
y
+
+
−
=
′′
′
Теңдеудің жалпы шеші-
мін табу керек.
Шешуі. 
5
=
m
, 
−
=
3
n
бүтін.
( )
( )
( )
1 3
2 3
5
5
.
y x
C J
x
C Y x
=
+
3-мысал.
Теңдеудің 
0
9
1
4
2
2
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
′
+
′′
y
x
y
x
y
x
0
=
x
нүктесінде үздіксіз жəне 
y
(0,3)=2 шартын орындайтын 
шешімін табу керек.
n - бүтін емес;
n - бүтін

110
Шешуі: Жалпы шешімі 
( )
( )
( )
1 1/3
2
1/3
2
2 .
y x
C J
x
C J
x
−
=
+
Функция 
J
–
1/3
(2
x
) 
x
=0 нүктесінде үзілісті, онда 
y
(
x
) шешімі
0
=
x
нүктесінде үздіксіз болуы үшін 
;
0
2
=
C
y
(
x
)=
C
1
J
1/3
(2
x
).
Екінші шарт бойынша 
y
(0,3)=2, яғни 
.
)
6
,
0
(
2
3
/
1
1
J
C
=
Бессель функциялары кестесінен
,
700
,
0
)
6
,
0
(
3
1
=
J
онда
,
857
,
2
1
≈
C
.)
2
(
857
,
2
)
(
3
1
x
J
x
y
≈
Қолданыста периодты шешімдері қарастырылатын диффе-
ренциалдық теңдеулер кездеседі.
Теңдеудің 
( )
( )
(
)
1
...,
,
,
,
−
′
=
n
n
x
x
x
t
F
x
оң жағындағы функция 
F
аргументі 
t
бойынша периодты бол-
маса, периодты шешім қарастырылмайды. Периодты шешім 
іздестірілуі үшін функция 
F 
аргумент 
t
бойынша периодты не-
месе 
t
-дан тəуелсіз болуы керек.
Теңдеудің
( )
2
,
x
a x
f t
+
=
′′
(8)
(
)
( )
f t
T
f t
+
=
периодты шешімін қарастырайық.
Шешімді Фурье қатарының қосындысы түрінде іздестіреміз:
егер
l
T
2
=
болса, онда:
( )
0
1
cos
sin
;
2
n
n
n
A
n
n
x t
A
t
B
t
l
l
π
π
∞
=
⎛
⎞
=
+
+
⎜
⎟
⎝
⎠
∑
(9)
егер
π
2
=
T
болса, онда:
( )
(
)
0
1
cos
sin
.
2
k
k
k
A
x t
A
kt
B
kt
∞
=
=
+
+
∑
(10)
Функция 
f
(
t
) периоды 
T 
болса,
t
T
t
π
2
1
=
алмастыруымен
f
(
t
1
) 
периоды 
π
2
функция ете аламыз.
Берілген теңдеудегі (8) функция 
f
(
t
) 
π
2
=
T
периодты, үздік-
сіз жəне Фурье қатарына жіктелетін делік:

111
0
1
( )
( cos
sin )
2
k
k
k
a
f t
a
kt
b
kt
∞
=
=
+
+
∑
(11)
Онда шешімді (10) екі рет мүшелеп дифференциалдап, тең-
деуге қоямыз
(
)
(
)
2
2
0
1
1
cos
sin
cos
sin
2
k
k
k
k
k
k
A
k
A
kt
B
kt
a
A
kt
B
kt
∞
∞
=
=
⎡
⎤
−
+
+
+
+
≡
⎢
⎥
⎣
⎦
∑
∑
(
)
0
1
cos
sin .
2
k
k
k
a
a
kt
b
kt
∞
=
≡
+
+
∑
Бұдан:
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎬
⎫
−
=
=
−
−
=
=
−
=
=
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0
0
0
0
2
,
)
(
,
,
)
(
,
,
2
2
k
a
b
B
b
B
k
a
k
a
a
A
a
A
k
a
a
a
A
a
A
a
k
k
k
k
k
k
k
k
(12)
Сонымен,
0
2
2
2
1
cos
sin
2
k
k
k
a
a
kt
b
kt
a
a
k
∞
=
+
+
−
∑
(13)
қатары теңдеуді (8) қанағаттандырады. Бұл қатар жинақты, 
екі рет мүшелеп дифференциалданады, 
f
(
t
) - үздіксіз функция 
болғандықтан, біркелкі жинақты. Онда қатардың қосындысы
x
(
t
) 
бар жəне теңдеудің периодты шешімі.
a
санының бүтін 
n
санынан айырымы аз жəне 
0
≠
n
a
немесе
0
≠
n
b
болса
,
2
2
n
a
a
A
n
n
−
=
2
2
n
a
b
B
n
n
−
=
коэффициенттерінің 
кемінде біреуі шексіз өсуімен, резонанс басталады.
Егер 
n
a
=
жəне 
n
n
b
a
,
коэффициенттерінің əйтеуір біреуі нөл 
емес болса, теңдеудің периодтық шешімдері жоқ. Себебі теңдеудің 
оң жағындағы резонанстық қосылғыштарға
cos
sin
n
n
a
nt
b
nt
+
жалпы шешімде периодты емес
cos
sin
n
n
a
nt
b
nt
+
қосылғыш 
сəйкес. Демек, 
n
a
=
мəнінде периодты шешім резонанстық 
қосылғыштар 
cos
sin
n
n
a
nt
b
t
+
жоқ кезінде, яғни

112
( )
( )
2
2
1
1
cos
0,
sin
0
n
n
a
f t
ntdt
b
f t
ntdt
π
π
ο
ο
π
π
=
=
=
=
∫
∫
(14)
болғанда ғана бар. Соңғы 
n
a
=
, 
0
=
=
n
n
b
a
жағдайға периодты 
шешім бар, 
n
k
≠
коэффициенттері (12) формулалармен, ал
n
A
жəне
n
B
коэффициенттері кез келген сандар. 
4-мысал.
Теңдеудің периодты шешімін анықтаңыз
t
x
x
2
cos
9
=
+
′′
Шешуі. Периодты шешім болу шарты (14)
3
=
n
болғанда 
орындалмайды:
2
2
2
2
0
0
cos sin3
0,
cos
cos3
0.
t
tdt
t
tdt
π
π
=
⋅
≠
∫
∫
Демек, периодты шешімі жоқ.
5-мысал.
Теңдеудің периодты шешімін анықтаңыз
2
2
cos
k
kt
x
x
k
∞
=
+ =
′′
∑
.
Шешуі. Оң жағында резонансқа ықпал етуші мүшелері 
t
b
t
a
sin
cos
1
1
+
жоқ болғандықтан, периодты шешімі 
x
(
t
)=
1
2
2
2
2
cos
cos
sin
(1
)
k
kt
C
t
C
t
k
k
∞
=
=
+
+
−
∑
бар, мұндағы 
2
1
,
C
C
еркін тұ-
рақтылар.

жүктеу/скачать 1,36 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: