Қазақстан республикасы жоғары оқу орындарының Қауымдастығы к. Д. Көлекеев К. Ж. Назарова дифференциалдық теңдеулер алматы, 2012

121
11. 
2
16
.
IV
x
y
y
x
e
−
=
−
12. 
.
1
)
(
)
(
2
2
=
′′
+
′′′
y
y
13. 
6
4
6
4
1.
d x
d x
dt
dt
−
=
14. 
4
2
2
4
2
2
3.
d x
d x
x
t
dt
dt
−
+ = −
15. 
4
0;
y
xy
+
=
′′
дəрежелік қатар арқылы интегралдаңыз.
16. 
2
2
1
9
0;
25
x y
xy
x
y
⎛
⎞
+
+
−
=
′′
′ ⎜
⎟
⎝
⎠
Бессель теңдеуіне келтіріп 
интегралдаңыз.
17. 
,
1
)
(
2
=
′
+
′′
y
y
.
1
)
0
(
,
0
)
0
(
=
′
=
y
y
18. 
.
2
)
0
(
,
1
)
0
(
,
3
=
′
=
=
′′
y
y
y
y
19. 
.
sin
1
1
x
y
y
−
=
+
′′
20. 
2
2
2
0 .
d u
du
r dr
dr
+
=
21. Жердің тарту күшімен шексіз биіктіктен құлаған дененің, 
жер бетіне түскендегі жылдамдығын табу керек. Жер радиусы 
6400 км деп есептелсін.
22. Ауа кедергісі жылдамдығының квадратына пропорцио-
нал жəне 
∞
→
t
жылдамдық шегі 75 м/сек деп, бастапқы жыл-
дамдықсыз құлаған дененің қозғалыс заңын табу керек.
23. Ұзындығы 6м шынжыр столдан сырғып түседі. Қозға лыс
басталғанда шынжырдың 1 метрі салбырап тұрған. Шынжыр 
столдан қанша уақытта сырғып түседі? (кедергі ескерілмейді)
24. Шынжыр тегіс шегеге ілінген. Қозғалыс басталарда шын-
жырдың шегенің бір жағында 8 м, екінші жағында 10 м бөлектері 
болған. Шынжыр шегеден қанша уақытта сырғып түседі? (Кедергі 
ескерілмейді)

122
25. Пойыз жазық тегістікте қозғалады. Пойыздың салмағы 
P
, 
паровоздың тарту күші 
F
, қозғалыстағы кедергі күші 
ϑ
b
a
W
+
=
(
a,b
- тұрақтылар), 
ϑ
- пойыздың жылдамдығы; 
s
- жүріп өткен 
жол. Пойыздың қозғалыс заңын 
0
=
t
болғанда, 
0
=
s
жəне
0
=
ϑ
деп табу керек.
26. Салмағы 
P
кг жүк пружинаға ілініп, оны 
a
см керген. Со-
нан соң, пружина жəне 
A
см керіліп, бастапқы жылдамдықсыз қоя 
берілген. Ортаның кедергісін ескермей, пружинаның қозғалыс 
заңын табу керек.
27. Бірдей екі жүк пружинаға ілінген. Біреуі үзіліп түсті деп, 
екіншісінің қозғалыс заңын табу керек. Жүктердің біреуі арқылы 
пружина 
a
см созылады деп есептелсін.
28. Массасы 
m
материалдық нүкте 
O
центрінен қашықтығына 
пропорционал күшпен итеріледі. Ортаның кедергісі қозғалыс
жылдамдығына пропорционал. Қозғалыс заңын табу керек.
29. Теңдеудің 
π
2
периодты шешімін табу керек
( ) 2 ( )
( ),
x t
x t
f t
+
=
′′
π
π
π
≤
<
−
−
=
t
t
t
t
f
,
)
(
3
2
. Шешімді əрі
қарай периодты жалғастыру керек.
30. 
.
1
)
(
2
2
x
y
y
y
y
y
+
′
=
′
+
′′
31. 
.
)
(
)
(
2
3
y
y
y
y
y
′′
+
′
=
′′
′
32. 
.
3
sin
)
(
9
)
(
t
t
t
x
t
x
=
+
′′
33. 
.
2
shx
y
y
y
=
+
′
+
′′
34. 
.
x
e
y
y
=
−
′′′
35. 
2
2
cos .
x
y
y
y
xe
x
−
+
=
′′
′
36. 
.
1
6
)
1
(
2
=
−
′′
−
y
y
x
Тиісті біртекті теңдеудің жеке шешімі 
көпмүшелік түрінде.
37. Теңдеудің 
0
2
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
y
u
x
u
шешімін 
)
(
2
2
y
x
u
u
+
=
деп 
табу керек.

123
38. Теңдеудің 
1
2
2
2
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
z
u
y
u
x
u
шешімін 
u=u
(
x
2
+
y
2
+
z
2
) 
деп табу керек.
39. Материалды нүкте сұйыққа жай батады. Сұйықтың кедер-
гісі бату жылдамдығына пропорционал деп қозғалыс заңын табу 
керек.
40. Қозғалыс теңдеуін 
( )
( , , ),
mx t
f t x x
=
′′
′
оң жағындағы функ-
ция тек 
x
-тен немесе тек 
x
′
-тен тəуелді деп, интегралдау керек:
а) 
( )
( );
mx t
f x
=
′′
ə) 
( )
( )
mx t
f x
=
′′
′
.
41. 
.
3
3
)
3
(
)
4
(
)
5
(
)
6
(
x
y
y
y
y
=
−
+
−
42. 
.
cos
2
)
2
(
)
4
(
t
x
x
x
=
+
+
43. 
).
1
ln(
cos
2
)
1
(
)
1
(
2
x
y
y
x
y
x
+
=
+
′
+
+
′′
+
44. Теңдеудің периодтық шешімін анықтау керек:
4
1
sin
( ) 2 ( ) 2 ( )
.
n
nt
x t
x t
x t
n
∞
=
+
+
=
′′
′
∑
45. Теңдеудің периодты шешімін анықтау керек:
1
2
( ),
x
a x
a x
f t
+
+
=
′′
′
2
1
,
a
a
- тұрақтылар,
)
(
t
f
үздіксіз, 
π
2
периодты функция, Фурье 
қатарына жіктелетін,
.
0
,
0
2
1
≠
≠
a
a
46. Жуықтап, периодты шешімін анықтау керек.
,
)
(
cos
3
2
x
t
x
x
′
+
=
+
′′
μ
μ
- кіші параметр.
47. 
;
0
3
=
+
′
−
′′
y
y
x
y
x
теңдеуді интегралдау керек, егер
x
y
=
1
жеке шешім болса.
48. Фундаменталды шешімдер жүйесі 
x
y
x
y
1
,
2
1
=
=
бойын-
ша сызықтық біртекті теңдеуді табу керек.

124
49. 
.
3
)
4
(
t
x
x
=
+
50. 
.
1
)
(
3
+
′′
+
′′
=
y
y
x
51. 
5
10
25
2
.
t
t
x
x
x
te
−
+
+
= +
′′
′
52. 
2
( )
0.
xyy
x y
yy
−
−
=
′′
′
′
53. 
.
2
)
4
(
x
e
y
y
=
−
54. 
.
2
)
2
(
)
4
(
)
6
(
x
e
x
y
y
y
+
=
+
+
55. 
.
0
)
(
5
6
2
)
3
(
)
4
(
)
2
(
=
−
y
y
y
56. 
ln .
y
xy
y
x
′
=
′′
′
57. 
.
cos
3
sin
x
x
y
y
⋅
=
+
′′
58. 
1
)
1
(
,
1
)
1
(
,
2
3
=
′
=
=
′′
y
y
y
y
59. 
.
)
(
2
y
y
y
y
′
=
′
−
′′
Жауаптары жəне нұсқаулары:
1. 
3
5
sin
10.
x
y
e
x
=
+
2. 
.
2
cos
2
cos
3
1
sin
cos
2
1
t
t
t
t
C
t
C
x
−
+
+
=
3. 
(
)
2
3
1
2
y
C
C x
C
−
=
+
.
4. 
.
sin
2
1
sin
cos
sin
cos
2
2
1
x
x
x
x
C
x
C
y
−
+
+
=
5. 
.
3
1
3
2
2
1
+
+
=
x
C
x
C
y

125
6. 
.
2
1
cos
sin
2
1
chx
x
C
x
C
y
+
+
=
7. 
.
1
1
2
1
+
+
=
C
x
C
y
8. 
.
4
1
2
)
(
2
2
2
1
2
+
+
+
+
=
t
t
t
e
e
t
t
C
C
e
x
9. 
2
1
1
2
2
1
1
1
ln 1
.
C
x
y
C x
C
C
C
+
= −
+
+
+
10. 
.
)
(
1
2
2
2
1
2
1
C
t
C
x
C
+
=
+
11. 
2
2
2
1
2
3
4
1
2
2
16 15
cos
sin
.
x
x
x
x
y
C e
C e
C
x
C
x
e
−
=
+
+
+
−
+
12. 
.
)
cos(
3
2
1
C
x
C
C
x
y
+
+
−
=
13. 
4
3
2
1
2
3
4
5
6
.
24
x
x
x
y
C e
C e
C x
C x
C x
C
−
=
+
+
+
+
+
−
14. 
.
1
)
(
)
(
2
4
3
2
1
t
t
C
C
e
t
C
C
e
x
t
t
+
+
+
+
+
=
−
15. 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+
−
⋅
⋅
⋅
−
+
−
⋅
⋅
⋅
+
⋅
−
=
…
k
k
x
x
x
C
y
k
k
k
3
)
1
3
(
6
5
3
2
4
)
1
(
6
5
3
2
4
3
2
4
1
3
6
2
3
0
.
)
1
3
(
3
7
6
4
3
4
)
1
(
7
6
4
3
4
4
3
4
1
3
7
2
4
1
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+
+
⋅
⋅
⋅
−
+
−
⋅
⋅
⋅
+
⋅
−
+
+
k
k
x
x
x
x
C
k
k
k
16. 
1 1/5
2
1/5
(3 )
(3 ).
y
C J
x
C J
x
−
=
+
17. 
.
x
y
=
18. 
.
1
2
1
4
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
x
y

126
19. 
1
2
cos
sin
1
cos
sin ln sin .
y
C
x
C
x
x
x
x
x
=
+
+ +
−
20. 
.
2
1
C
r
C
u
+
=
21. Есептің дифференциалдық теңдеуі 
2
2
2
d r
k
dt
r
=
не-
месе 
2
,
d
k
dr
r
ϑ
ϑ
=
r 
- жер центрінен денеге дейінгі аралық, 
ϑ
- жыл дамдық, 
k
=–6400
2
g
. Жауабы 
V
≈1 
км/сек
.
22. Қозғалыс теңдеуі 
2
2
2
.
d x
dx
g
k
dt
dt
⎛ ⎞
= − + ⎜ ⎟
⎝ ⎠
Жауабы: 
2
75 ln
.
75
g
x
ch
t
g
=
23. Қозғалыс теңдеуі 
2
2
(
1)
d s
k s
dt
=
+
, 
2
2
(
1).
6
d s
g
s
dt
=
+
Жауабы: 
6 ln(6 35).
t
g
=
+
24. 
3 ln(9 80).
t
g
=
+
25. 
2
(
) 1
.
bg
t
p
F
a
F
a p
s
t
e
b
b g
−
⎛
⎞
−
−
=
−
−
⎜
⎟
⎝
⎠
26. 
.
cos
t
a
g
A
x
=
27. 
.
cos
t
a
g
a
x
=
28. Қозғалыс теңдеуі 
.
0
,
0
2
2
1
>
=
−
′
+
′′
k
x
k
x
k
x

127
Жауабы: 
k
k
k
k
k
t
k
t
x C e
C e
2
2
1
1
1
1
2
2
2
4
2
4
1
2
.
⎛
⎞
⎛
⎞
− +
−
− −
+
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
=
+
29. 
2
3
1
( 1) sin
12
.
(
2)
n
n
nt
x
n
n
∞
=
−
=
−
∑
30. 
(
)
2
2
2
2
1
2
1
1
ln
.
y
C x
x
x
x
x
C
=
+
+
+
+
+
+
31. 
.
4
,
1
2
1
x
C
y
C
e
C
y
x
C
−
=
+
=
32. 
2
1
2
1
1
cos3
sin3
cos3
sin3 .
12
36
x
C
t
C
t
t
t
t
=
+
−
+
33. 
.
8
1
4
1
2
2
1
x
x
e
x
x
C
C
e
y
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
=
−
34. 
1
2
1
2
3
3
3
1
cos
sin
.
2
2
3
x
x
x
y
C e
e
C
x
C
x
xe
−
⎛
⎞
=
+
+
+
⎜
⎟
⎝
⎠
35. 
2
1
2
cos
sin
( cos
sin )
.
4
4
x
x
x
xe
x
x e
x
y
e C
x
C
x
=
+
+
+
36. 
3
2
3
1
2
1
1
(
)
4 6
3(
)ln
.
1
6
x
y
C x
x
C
x
x
x
x
⎡
⎤
+
=
−
+
−
+
−
−
⎢
⎥
−
⎣
⎦
37. 
.
)
ln(
2
2
2
1
C
y
x
C
u
+
+
=
38. 
.
2
2
2
2
1
C
z
y
x
C
u
+
+
+
=
39. Қозғалыс теңдеуі 
!
mx
mg
kx
=
−
′′

128
Жауабы: 
2
2
1
.
k
t
m
mg
m g
x
t
e
k
k
−
⎛
⎞
=
−
−
⎜
⎟
⎝
⎠
40. а) 
0
0
0
2
0
2
( )
x
x
x
dx
t
t
x
f x dx
m
ϑ
− =
+
∫
∫
b) 
∫
∫
′
=
=
−
=
−
ϑ
ϑ
ϑ
ϑ
ϑ
ϑ
ϑ
ϑ
ϑ
ϑ
0
0
.
,
)
(
;
)
(
0
0
x
f
d
m
t
t
f
d
m
x
x
41. 
3
4
2
2
1
2
3
4
5
6
(
)
.
2
24
x
x
x
y
C
C x
C x
e C
C x
C x
=
+
+
+
+
+
−
−
42. 
.
cos
8
1
sin
)
(
cos
)
(
2
4
3
2
1
t
t
t
t
C
C
t
t
C
C
x
−
+
+
+
=
43. 
).
1
ln(
sin
)
1
ln(
)
1
ln(
sin
)
1
ln(
cos
2
1
x
x
x
C
x
C
y
+
+
+
+
+
+
=
44. 
2
2
2
4
1
(2
)sin
2 cos .
[(2
) 4 ]
n
n
nt
n
nt
x
n
n n
∞
=
−
−
=
−
+
∑
45. 
2
0
2
1
2
2
2 2
2
1
2
1
(
)
cos
2
(
)
n
n
n
n
a
a n
x
nt
a
n
a
a n
α
α
β
∞
=
⎡ −
−
−
=
+
+
⎢
−
+
⎣
∑
2
1
2
2
2
2 2
2
1
(
)
sin
,
(
)
n
n
a n
n
a
nt
n
a
a n
α
β
⎤
−
−
+
⎥
−
+
⎦
n
n
β
α
α
,
,
0
- Фурье коэффициенттері, функция
).
(
t
f
46. 
cos
(1 3cos2 ).
2
24
t
x
t
μ
=
+
+
47. 
1
1
2
.
x
y
C x
C xe
−
=
+

129
48. 
.
0
2
=
−
′
+
′′
y
y
x
y
x
49. 
2
2
sin
2
2
cos
2
1
2
2
t
C
t
C
e
x
t
+
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+
=
.
2
2
sin
2
2
cos
3
4
3
2
2
t
t
C
t
C
e
t
+
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+
+
−
50. 
3
6
5
4
3
1
1
2
3
3
3
1
1,
.
8
10
16
6
x
t
t
y
t
t
t
C
t
C t
C
⎛
⎞
= + +
=
+
+
+
+
+
+
⎜
⎟
⎝
⎠
51. 
3
5
5
1
2
2
2
(
)
.
6
(5 ln 2)
t
t
t
t e
x
C
C t e
−
−
=
+
+
+
+
52. 
.
2
1
2
x
C
e
C
y
=
53. 
+
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+
+
+
=
−
x
C
x
C
e
e
C
e
C
y
x
x
x
2
3
sin
2
3
cos
4
3
2
/
2
1
2
2
5
6
3
3
2
2
63
/
cos
sin
.
x
x
e
e
C
x
C
x
−
⎛
⎞
+
+
+
⎜
⎟
⎝
⎠
54. 
(
)
(
)
cos
4
3
2
1
C
x
C
x
C
x
C
y
+
+
+
=
.
4
1
6
sin
3
6
5
x
e
x
x
C
C
x
+
+
+
+
55. 
(
)
8
1
2
3
4
.
y
C x
C
C x
C
=
+
+
+
56. 
.
1
2
2
1
1
1
1
C
C
C
x
e
y
x
C
+
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−
=
+
9–684

130
57. 
1
2
sin 2
sin 4
cos
sin
.
6
30
x
x
y
C
x
C
x
=
+
−
−
58. 
.
2
1
−
−
=
x
y
59. 
.
1
1
2
1
C
e
C
y
x
C
+
=

жүктеу/скачать 1,36 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: