§14. Дифференциалдық теңдеулерді қатарлар

102
2
,
(0) 0,
y
y
xy
y
y
xy
y
= − −
− = −
−
=
′′′
′
′′
′
′
′′
′′′
(4)
(4)
3
,
(0)
3,
y
y
xy
y
= −
−
= −
′′
′′′
(5)
(4)
(5)
4
,
(0) 0,
y
y
xy
y
= −
−
=
′′′
(6)
(4)
(5)
(6)
5
,
(0) 5 3,
y
y
xy
y
= −
−
= ⋅
(7)
(5)
(6)
(7)
6
,
(0) 0,
y
y
xy
y
= −
−
=
(8)
(6)
(7)
(8)
7
,
(0)
7 5 3,
y
y
xy
y
= −
−
= − ⋅ ⋅
Туындылар тізбегі 
(2 )
1
(0)
( 1) 1 3 (2
1),
n
n
y
n
+
= −
⋅
−
(2 )
(0)
2 !
n
y
n
=
1
( 1)
2
!
n
n
n
+
−
=
⋅
болғандықтан, есептің шешімі
∑
∞
=
+
⋅
−
=
1
2
1
.
!
2
)
1
(
)
(
n
n
n
n
x
n
x
y
2. 1-теорема.
Дифференциалдық теңдеудің 
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
0
x
f
y
x
P
y
x
P
y
x
P
=
+
′
+
′′
(3)
функциялары 
0
1
2
( ), ( ),
( )
P x
P x
P x
жəне 
)
(
x
f
0
x
- нүктесі төңі-
регінде аналитикалық жəне 
0
)
(
0
0
≠
x
P
болса, онда теңдеудің 
дəрежелік қатармен жазылатын
∑
∞
=
−
=
0
0
)
(
)
(
k
k
k
x
x
a
x
y
(4)
шешімі бар.
Теорема тұжырымы бойынша сызықтық теңдеудің шешімін 
(4) жазып, коэффициенттерін
…
,
2
,
1
,
0
,
=
k
a
k
анықталмаған ко-
эффициенттер əдісімен табады.
2-мысал.
Теңдеуді дəрежелік қатармен интегралдау керек:
.
0
)
0
(
)
0
(
,
=
′
=
=
+
′
−
′′
y
y
x
y
y
x
y
Шешуі. Шешімді 
∑
∞
=
=
0
)
(
k
k
k
x
a
x
y
түрінде іздестіреміз.

103
+
+
+
+
+
+
=
k
k
x
a
x
a
x
a
x
a
a
x
y
3
3
2
2
1
0
)
(
,
.
0
)
0
(
,
0
)
0
(
1
0
=
=
′
=
=
a
y
a
y
Демек 
∑
∞
=
=
2
)
(
k
k
k
x
a
x
y
шешімін теңдеуге қоямыз:
2
1
2
2
2
(
1)
,
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k k
a x
x
ka x
a x
x
∞
∞
∞
−
−
=
=
=
−
−
+
=
∑
∑
∑
2
2
2
2
(
1)
.
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k k
a x
ka x
a x
x
∞
∞
∞
−
=
=
=
−
−
+
=
∑
∑
∑
Соңғы теңдікті 
(
)
(
)
2
2
2
1
1
k
k
k
k
K
K
k k
a x
k
a x
x
∞
∞
−
=
=
−
−
−
=
∑
∑
түрге 
кел ті ріп, “анықталмаған” каэффициенттер əдісімен 
k
a
-ларды та-
бамыз.
Бірінші қосындысының екі қосылғышын бөліп жазып, қо сын-
дыларды біріктірсек,
(
)(
)
(
)
2
3
2
2
1 2
1 2 3
2
1
1
k
k
k
k
a
a x
k
k
a
k
a
x
x
∞
+
=
⎡
⎤
⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
+
+
+
− −
=
⎣
⎦
∑
теңдігі шығады.
Онда: 
;
!
3
1
3
2
1
,
0
3
2
=
⋅
=
=
a
a
;
0
,
0
3
4
4
2
4
=
=
−
⋅
a
a
a
;
!
5
2
2
3
4
5
2
4
5
2
,
0
2
4
5
3
5
3
5
=
⋅
⋅
⋅
=
⋅
=
=
−
⋅
⋅
a
a
a
a
;
0
,
0
3
5
6
6
4
6
=
=
−
⋅
a
a
a
;
!
7
!
2
2
6
7
4
,
0
4
6
7
2
5
7
5
7
⋅
=
⋅
=
=
−
⋅
a
a
a
a
;
0
,
0
5
7
8
8
6
8
=
=
−
⋅
a
a
a
;
!
9
!
3
2
8
9
6
,
0
6
8
9
3
7
9
7
9
⋅
=
⋅
=
=
−
⋅
a
a
a
a

104
. . . . . . . . . . . .
1
0,
2
2 (
1)! ,
2
1
(2
1)!
n
k
k
n
a
n
k
n
n
−
=
⎧
⎪
=
−
⎨
=
+
⎪
+
⎩
Сонымен теңдеудің шешімі:
∑
∞
=
+
−
∈
+
−
=
1
1
2
1
.
,
)!
1
2
(
)!
1
(
2
)
(
n
n
n
R
x
x
n
n
x
y
3. Сызықтық теңдеудің жоғарғы ретті туындысының коэф-
фициенті 
x
0
нүктесінде нөлге айналса, келесі теореманы қол-
дануға болады
2-теорема
. Егер дифференциалдық теңдеудің
0
)
(
)
(
)
(
2
1
0
=
+
′
+
′′
y
x
P
y
x
P
y
x
P
(4)
коэффициенттері 
0
1
2
( ), ( ),
( )
P x
P x
P x
x
0
-нүктесі төңірегінде 
ана литикалық жəне 
0
x
нүктесі 
)
(
0
x
P
функциясы үшін 
s
ретті,
)
(
1
x
P
функциясы үшін 
1
−
s
-ден кем емес ретті, ал 
)
(
2
x
P
функциясы үшін 
2
−
s
-ден кем емес ретті нөлдері болса, онда
(4) теңдеудің шешімі 
x
0
- нүктесі төңірегінде бар жəне жалпыланған
∑
∞
=
−
−
=
0
0
0
)
(
)
(
)
(
k
k
k
r
x
x
a
x
x
x
y
қатары түрінде жазылады, мұндағы 
0
0
≠
a
жəне 
.
R
r
∈
3-мысал.
Теңдеудің жалпы шешімін жалпыланған қатар тү-
рінде табу керек
2
0.
xy
y
xy
+
+
=
′′
′
Шешуі. 
0
=
x
нүктесі төңірегінде 
2-теорема
шарттары орын-
далатындықтан, шешімді:
∑
∑
∞
=
∞
=
+
=
=
0
0
,
k
k
r
k
k
k
k
r
x
a
x
a
x
y
түрінде жазып

105
1
2
0
0
1
(
)
,
(
)(
)
,
k r
k r
k
k
k
k
y
a k
r x
y
a k
r k
r
x
∞
∞
+ −
+ −
=
=
=
+
=
+
+ −
′
′′
∑
∑
теңдеуге қоямыз
2
1
0
0
0
(
)(
1)
2
(
)
0.
k r
k r
k r
k
k
k
k
k
k
x
a k
r k
r
x
a k
r x
x
a x
∞
∞
∞
+ −
+ −
+
=
=
=
+
+ −
+
+
+
=
∑
∑
∑
1
1
1
0
0
0
(
)(
1)
2 (
)
0.
k r
k r
k r
k
k
k
k
k
k
a k
r k
r
x
a k
r x
a x
∞
∞
∞
+ −
+ −
+ +
=
=
=
+
+ −
+
+
+
=
∑
∑
∑
Қосылғыштарды 
x
-тің дəрежелері бойынша топтастырамыз:
[
]
1
1
0
1
2
0
(
1)
(
1)(
2)
(
2)(
3)
r
r
r
a r r
x
a r
r
x
a r
r
a x
−
+
+
+
+
+
+
+
+ +
+
[
]
[
]
2
3
3
1
4
2
(
3)(
4)
(
4)(
5)
r
r
a r
r
a x
a r
r
a
x
+
+
+
+
+ +
+
+
+ +
+
[
]
[
]
4
5
5
3
6
4
(
5)(
6)
(
6)(
7)
0.
r
r
a r
r
a x
a r
r
a
x
+
+
+
+
+ +
+
+
+ +
+
=
…
Коэффициенттерді “анықталмаған коэффициенттер” əдісімен 
табамыз:
0
1
(
1) 0 , (
1)(
2) 0.
a r r
a r
r
+ =
+
+ =
Бұл теңдіктерден кез 
келген 
0
,
0
1
0
≠
≠
a
a
мəндерінде 
1
−
=
r
екендігін анықтай-
мыз. Теңдеудің жалпы шешімі екі параметрден (тұрақтыдан) 
тəуел ді болатындықтан, қатардың қалған коэффициенттерін 
1
2
0
1
,
a
C
a
C
=
=
тұ рақтыларымен есептейміз
,
2
1
1
2
⋅
−
=
C
a
,
!
3
2
3
C
a
−
=
,
!
4
4
3
1
2
4
C
a
a
=
⋅
−
=
,
!
5
5
4
2
5
5
C
a
a
=
⋅
−
=
,
!
6
6
5
1
4
6
C
a
a
−
=
⋅
−
=
,
!
7
7
6
2
5
7
C
a
a
−
=
⋅
−
=
. . . . . . . . . . . . . .
Сонымен теңдеудің жалпы шешімі:

106
.
sin
cos
)
!
7
!
6
!
5
!
4
!
3
!
2
(
2
1
7
2
6
1
5
2
4
1
3
2
2
1
2
1
1
x
x
C
x
x
C
x
C
x
C
x
C
x
C
x
C
x
C
x
C
C
x
y
+
=
+
⋅
−
⋅
−
−
+
+
−
−
+
=
−

жүктеу/скачать 1,36 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: