Қазақстан республикасы жоғары оқу орындарының Қауымдастығы к. Д. Көлекеев К. Ж. Назарова дифференциалдық теңдеулер алматы, 2012

159
Бұл теңдеудің сипаттамалық түбірлері 
i
k
k
±
=
±
=
,
1
бол-
ғандықтан, жалпы шешімі:
.
sin
cos
)
(
4
3
2
1
1
t
C
t
C
e
C
e
C
t
x
t
t
+
+
+
=
−
Онда: 
.
sin
cos
)
(
4
3
2
1
2
t
C
t
C
e
C
e
C
t
x
t
t
−
−
+
=
−
Енді бастапқы шарттарды ескере отырып алынған
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
−
+
−
=
−
+
=
+
+
−
=
+
+
2
2
,
2
,
2
4
2
1
3
2
1
4
2
1
3
2
1
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
теңдеулер жүйесінен тұрақтыларды 
4
3
2
1
,
,
,
C
C
C
C
анықтай мыз:
.
2
,
0
2
4
3
1
=
=
=
=
C
C
C
C
Сонымен, бастапқы шарттарды орындайтын дербес шешім
.
2
)
(
,
2
)
(
2
1
t
t
e
t
x
e
t
x
=
=
2. Интегралданатын комбинациялар табу əдісі
Теңдеулер жүйесін 
i
i
n
dx
f t x
x
i
n
dt
1
( , , ..., ),
1,
=
=
шешу, 
ин тег ралданатын комбинациялар құру əдісімен де орындалатын 
мүмкіндіктер көп кездеседі.
Берілген теңдеулер жүйесінің оңай интегралданатын салдары 
0
)
...,
,
,
(
1
=
Φ
n
x
x
t
d
немесе айнымалыларды алмастырып, инте-
гралданатын түрге келтірілген бір белгісізді дифференциалдық 
теңдеу 
интегралданатын комбинация
деп аталады.
Интегралданатын комбинацияның шешімі
1
1
)
...,
,
,
(
C
x
x
t
n
=
Φ
теңдеулер жүйесінің бірінші интегралы деп аталады.
Сонымен, теңдеулер жүйесінің (2) шешімін 
)
(
t
x
i
n
i
,
1
=
қойғанда, С-ның бір мəнінде тепе-теңдік беретін
C
x
x
t
n
=
Φ
)
,
...
,
,
(
1
(6)
теңдігін жүйенің бірінші интегралы деп атайды.

160
Егер жүйенің интегралдық сызықтары бойында ол тұрақ ты-
ларға айналса, əдетте, 
)
,
...
,
,
(
1
n
x
x
t
Φ
функциясы да бірінші ин-
теграл деп аталады.
Егер 
k
интегралданатын комбинациялар табылса, онда 
k
бі-
рінші интегралдар аламыз:
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
=
Φ
=
Φ
=
Φ
.
)
,
...
,
,
(
,
)
,
...
,
,
(
,
)
,
...
,
,
(
1
2
1
2
1
1
1
K
n
K
n
n
C
x
x
t
C
x
x
t
C
x
x
t
…
…
…
…
…
(7)
Бұл интегралдар тəуелсіз болса, яғни əйтеуір бір анықтауыш 
0
)
,
...
,
,
(
)
,
...
,
,
(
2
1
2
1
≠
Φ
Φ
Φ
k
j
j
j
k
X
X
X
D
D
болса (мұндағы 
k
j
j
j
X
X
X
,
...
,
,
2
1
k
функциялары
n
x
x
x
,
,
,
2
1
…
функцияларынан алынған), онда 
белгісіз 
k
функцияны қалғандары арқылы өрнектеп, теңдеулер 
жүйесіне (2) қою нəтижесінде белгісіздерінің санын азайтамыз. 
Егер 
n
k
=
жəне барлық интегралдар тəуелсіз болса, онда барлық 
белгісіз функциялар осы (7) жүйеден анықталады.
7-мысал
. Теңдеулер жүйесін шешу керек:
dx
dy
y
x
dt
dt
,
.
=
=
Шешуі: Теңдеулерді мүшелеп қосу нəтижесінде бір интеграл-
данатын комбинация аламыз:
d x y
d x y
x y
dt
dt
x y
(
)
(
)
+
+
= + ⇔
=
+
t
x y
t
C
x y C e
1
1
ln
ln ,
.
+ = +
+ =
Бірінші теңдеуден екіншісін мүшелеп шегерсек, екінші инте-
гралданатын комбинация шығады:
t
d x y
d x y
x y
dt
dt
x y
x y
t
C
x y C e
2
2
(
)
(
)
(
)
,
ln
ln ,
.
−
−
−
= − − ⇒
= −
−
− = − +
− =

161
Сонымен екі теңдік алдық: 
t
e
C
y
x
1
=
+
жəне 
,
2
t
e
C
y
x
−
=
−
ал бұлардан бастапқы жүйенің 
шешімін табамыз: 
(
)
(
)
,
2
1
,
2
1
2
1
2
1
t
t
t
t
e
C
e
C
y
e
C
e
C
x
−
−
−
=
+
=
немесе
.
,
2
1
2
1
t
t
t
t
e
C
e
C
y
e
C
e
C
x
−
−
−
=
+
=
8-мысал
. Функция 
z
t
xy
2
2
= +
теңдеулер жүйесінің
dx
dy
y
t
y
dt
dt
x
2
,
−
= −
=
бірінші интегралы бола ма? 
Шешуі: Теңдеулер жүйесін ескере отырып, функцияның толық 
туындысын есептегенде, туынды мəні нөлге айналса, функция 
жүйенің бірінші интегралы болғаны.
Сонымен
dz
dy
dx
y
t
t
x
y
t
x
y
y
dt
dt
dt
x
2
2 2
2
2 2
2 ( ) 0;
−
= +
+
= +
⋅
+
⋅ − =
Демек, функция теңдеулер жүйесінің бірінші интегралы.
9-мысал
. Теңдеулер жүйесінің жалпы шешімін жəне берілген 
шартты орындайтын дербес шешімін табу керек:
dy
x
dz
x
dx
yz
dx
y
y
z
2
,
;
(0)
(0) 1.
=
=
=
=
Шешуі: Теңдеулер жүйесін: 
dy
x
z
dx
y
dz
x
y
dx
y
,
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪
=
⎪⎩
түріне келтіріп, бірінен-бірін шегерсек, 
0
=
−
ydz
zdy
неме-
11–684

162
се 
dz
dy
z
y
1
1
0
−
=
теңдігі шығады. Бұл интегралданатын ком- 
бинацияның бірінші интегралын 
y
C
z
1
=
теңдеулер жүйесінің 
бірінші теңдеуіне қойып, екінші интегралданатын комбинация 
аламыз.
dy
x
C y
C y dy
xdx
dx
y
2
1
1
,
.
=
=
Интегралдау нəтижесінде 
.
2
3
2
1
2
3
C
C
x
y
+
=
Бастапқы шарттардың орындалуын талап етсек,
:
0
=
x
,
1
)
0
(
1
C
z
=
=
.
2
1
,
2
3
1
)
0
(
2
2
−
=
+
=
=
C
C
y
Сонымен, жүйенің жалпы шешімі:
;
,
2
3
1
2
1
2
3
y
C
z
C
C
x
y
=
+
=
дербес шешімі: 
.
,
2
1
2
3
2
3
y
z
x
y
=
−
=
Интегралданатын комбинациялар табуда теңдеулер жүйесін 
симметриялы түрде жазып,
n
n
n
n
n
n
dx
dx
dx
dt
t x
x
t x
x
t x
x
t x
x
1
2
1
1
2
1
1
0
1
( , , , )
( , , , )
( , , , )
( , , , )
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
=
=
=
=
…
…
…
…
(8)
i
n
i
n
n
t x
x
f t x
x
i
n
t x
x
1
1
0
1
( , , , )
( , , , )
,
1, ,
( , , , )
ϕ
ϕ
=
=
…
…
…
тең бөлшектердің
γ
ϑ
ϑ
ϑ
=
=
=
=
n
n
u
u
u
2
2
1
1
қасиетін 

163
γ
ϑ
α
ϑ
α
ϑ
α
α
α
α
=
+
+
+
+
+
+
n
n
n
n
u
u
u
2
2
1
1
2
2
1
1
(9)
пайдалану тиімді. Мұндағы 
n
α
α
,
,
1
…
сандары көбіне, бөлшектің 
(9) алымы бөлімінің толық дифферинциалы болатындай немесе 
бөлімі нөлге айналатындай етіп таңдалады.
10-мысал
. Теңдеулер жүйесінің жалпы шешімін табу керек:
dx
tx
dy
ty
dt
t
x
y
dt
t
x
y
2
2
2
2
2
2
2
2
,
.
=
=
−
−
−
−
Шешуі: Жүйені симметриялық түрде жазсақ,
dt
dx
dy
t
x
y
tx
ty
2
2
2
2
2
=
=
−
−
Теңдеуді 
dx
dy
tx
ty
2
2
=
интегралдасақ, 
x
y
C
1
ln
ln
ln
=
+
немесе 
.
1
C
y
x
=
Симметриялы жүйеден (9) қасиет бойынша, 
tdt
xdx
ydy
dx
t t
x
y
tx
ty
tx
2
2
2
2
2
(
) 2
2
2
+
+
=
−
−
+
+
немесе 
tdt xdx ydy
dx
t t
x
y
tx
2
2
2
,
(
)
2
+
+
=
+
+
ал бұдан 
t
x
y
x
C
2
2
2
2
ln(
) ln
ln
,
+
+
=
+
.
2
2
2
2
C
x
y
x
t
=
+
+
Сонымен, жүйенің жалпы шешімі: 
.
,
2
2
2
2
1
C
x
y
x
t
C
y
x
=
+
+
=

жүктеу/скачать 1,36 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: