№1 дәріс. Кіріспе. Математиканың бұлақ-бастаулары (IX ғ. дейін). Курстың объектісі, пәні және оны оқытудың мақсат-міндеттері. Курстың басқа оқу пәндерімен байланысы
жүктеу/скачать 1,12 Mb. Pdf көрінісі
|
4. Дәріс тезистері
| х
санының бүтін бөлігін белгілеуге арналған E( x ) символы енгізді, х санынан артық болмайтын жай сандардың санын өрнектейтін 𝜋 (x) функциясын зерттеді, т.с.с. 4. XVIII ғ. комбинаторика математиканың дербес саласына айнала бастады. Эйлер комбинаторлық сипаттағы бірқатар теориялық-сандық есептерді шешуді жүзеге асырды. Оларда біріншіден, теру және орналастыру ұғымдары пайда болды, екіншіден, комбинаторикаға тудыратын функциялар әдісі енгізілді (1748,1751,1753,1770). Көпмүшені дәрежелеумен байланысты XVII ғ. басталған зерттеулер (Лейбниц, Муавр, т.б.) комбинаторикада жаңа сипаттағы көптеген жұмыстардың пайда болуына әсер етті. XVIII ғ. көптеген математиктер алгебра мен анализдің қуатты құралдары көмегімен көпмүшенің дәрежесінің жіктелуін қорытып шығарды (Маклорен, Эйлер, Бошкович, Гинденбург, т.б.). Я.Бернуллидың «Ұйғару өнері» басылып шықты (1713). Мұнда дәлелденген үлкен сандар заңы ықтималдықтар теориясының қарыштап дамуына үлкен әсерін тигізді. Ықтималдық идеялары мен әдістерін куәгерлік айғақтарды бағалауда, өмірлік ренталарды есептеулерде, өлім-жітім мәселелерінде, өмір мен тауарларды сақтандыруда, т.б. қолдану жүзеге асырылды, математикалық үмітке арналған формула қорытып шығарылды, ер балалар мен қыз балаларын туылу сандарының қатынасы туралы классикалық есеп шешілді (Н. I Бернулли). Құмар ойындарды зерттеуге байланысты біраз кітаптар жарық көрді (Монмор, 1708, т.б.). де Муавр бірқатар іргелі жаңалықтар ашты: Муавр-Лапластың шектік теоремалары деп аталатын аса маңызды теоремаларды дәлелдеді; қалыпты үлестірім заңын қорытып шығарды; терулер санын есептеуді алғаш рет теориялық-ықтималдық көзқарас негізінде жүзеге асырды; өлім-жітім мен өмірлік рента мәселелерінде үздіксіз бірқалыпты үлестірімді жүйелі түрде пайдаланды; құмар ойындарды теориялық-ықтималдық тұрғысынан зерттеді; жаңа аналитикалық аппарат – қайтымды тізбекті жасады (1711,1718, 1730,1738, 1756). Ықтималдықтар теориясының қолданылу аймағы кеңейе түсті. Ол кезде қазіргі «статистикалық мәліметтер» термині жалпы алғанда, халық, өндіріс және саяси жағдайлар туралы деректер деген мағынаны білдіретін және бұл мәселелермен айналысатын ғылым саласы саяси арифметика деп аталды. Тіптен «ықтималдықтар теориясы» деген термин де қолданылмайтын, ол «кездейсоқтық туралы ілім» деп аталатын еді. XVIII ғ. саяси арифметикаға арналған біраз кітаптар да жарық көрді (Арбутнот, Н. ІІ Бернулли, Муавр, Симпсон, Зюсмильх, т.б.). Олардың біразының діни-схоластикалық сипаты басым болды (Арбутнот, Зюсмильх,т.с.с.). Алайда, таза математикалық мазмұндағы кейбір зерттеулерді де атап айтпасқа болмайды (Эйлер, т.б.). Ықтималдықтардың кеңінен қолданылған аймағының бірі – бақылау нәтижелерін түзету туралы ілім. Бұл салада біршама нәтижелер алынды (Котес,1722; Симпсон,1756; Ламберт,1760,1765). Симпсон мен Ламберт еңбектерінде қателер теориясының негізі салынды. Бұл сала бойынша біраз еңбектер жарық көрді (Лагранж, 1775-76; Лаплас, 1774; Д.Бернулли, 1778). Байес бірқатар іргелі нәтижелерге қол жеткізді, ол атақты Байес формуласын тапты (1763-64). Д.Бернулли ықтималдықтар теориясының аса маңызды проблемаларына байланысты көптеген еңбектер жазып, жариялады (1738-1771). Ол дифференциалдық теңдеулерді ықтималдықтар теориясының көптеген формулаларын қорытып шығаруда қолданды, қалыпты үлестірім кестелерін жариялады, «моральдық үміт» ұғымын енгізді, қалыпты үлестірім заңын қорытып шығарды, Муавр-Лапластың шектік теоремасын дәлелдеді, ең көп шындыққа сиятын принципті қолданды, «Петербург парадоксы» деп аталатын есепті ұсынып, оны шешіп берді. Ықтималдықтар бойынша Даламбер бірқатар мақалалар жариялады. Алайда, оның теориялық-ықтималдық көзқарастарында қателіктер мен кемшіліктер орын алды. Оның жұмыстарында классикалық ықтималдықтар теориясының негізгі идеяларының дұрыстығына күмән келтіру, жекеленген зерттеулерді сынау жағына баса мән берілді. Бұл салаға Лаплас өлшеусіз үлес қосты, оның еңбектерінің мазмұнының байлығы сонша, ықтималдықтар теориясы бойынша ашылған көптеген жаңалықтарды Лапластан кездестіруге болады. Сонымен, XVIII ғасырда ықтималдықтар теориясының негізгі бағыттары белгіленіп, оның дамуының классикалық дәуірі аяқталуға бет бұрды. 5. Аналитикалық геометрия бойынша тиянақты зерттеулер жүргізіліп, бірқатар еңбектер басылып шықты (Лагир,1679; Озанам,1687; Лопиталь,1707; Вольф, 1713; Гинэ,1705; Стирлинг, 1717, т.б.). Алайда, бұл еңбектер авторларының барлығының да координаталар туралы декарттық түсініктерден арыла қоймағандығы байқалады. XVIII ғ. бірінші жартысында алгебралық қисықтар мен олардың ерекше нүктелерін зерттеумен байланысты бірнеше еңбектер басылып шықты (1720,1748,Маклорен;1733,Мопертьюи; 1740, Гюаде, Мальв; 1733, Клеро; т.б.). Бірақ, соған қарамастан, оларда аналитикалық геометрия бойынша аса ірі жаңалықтар ашыла қойған жоқ. Аналитикалық геометрияның кең жолға шығып, жүйелі ғылымға айналуына Эйлердің еңбектері үлкен әсерін тигізді. Оның «Шектеусіздер анализіне кіріспе» атты төрт томдық еңбегінің 2-томының негізгі бөлігі жазықтықтағы аналитикалық геометрияға арналды (1748). Аньезидің кітабында аналитикалық геометрияның тыңғылықты және айқын түрдегі баяндалуы келтірілген (1748). Крамер алғаш рет тең құқықта екі координатаны анықтап, ордината осін енгізді, бесіншіге дейінгі реттік қисықтардың классификациясын жасауды жүзеге асырды (1750). XVIII ғ. екінші жартысында жазықтықтағы аналитикалық геометриялық ұғымдар қамтылған көптеген кітаптар жарық көрді (1758,Зегнер;1760,Кестнер; 1772,Варинг; 1764, Клемм; 1798-1799,Лакруа). Координалар әдісін үш өлшемді геометрияда қолдану әрекеттері XVII ғ. қолға алынды (Декарт, Сен-Винцент,т.б). Лагир алғаш рет кеңістікке координата ұғымын қолданды (1679), Парон кейбір беттердің теңдеулерін қорытып шығарды (1705), И.Бернули кеңістіктегі координаталар мен беттің теңдеуі ұғымдарына сипаттама берді (6.02.1715), Эйлер өзара перпендикуляр t,x,y координаталар жүйесін енгізіп, жалпы түрде беттің үш координатамен, ал сызықтың осындай екі координатамен өрнектелетіндігін атап көрсетті (1732). Клероның «Қос қисықтың қисықтары туралы зерттеулер» деген кітабы басылып шықты (1731). Бұл кітап кеңістіктегі аналитикалық геометрияның негіздерінің салынған бастамасы болды. Кеңістікегі аналитикалық геометрияның алғаш рет жүйелі түрде баяндауын Эйлер жүзеге асырды, бұл оның «Шектеусіздер анализіне кіріспесінің» 2- томының «Беттер туралы қосымшаларында» келтірілді. Беттер теориясында біраз жаңалықтар ашылды (Модюи,1763; Тенсо, 1780; т.б.). Монж бен Лагранж кеңістіктегі аналитикалық геометрияның бірқатар аса маңызды есептерін шешіп көрсетті (Монж ,1795; Лагранж ,1775). XVIII ғ. соңында аналитикалық геометрияның оқулықтарын дайындау қолға алынды. Лакруа аналитикалық геометрияны жүйелі түрде баяндауды жүзеге асырды (1797), аналитикалық геометрияның бастауыш курсын жүйеге келтіріп, ұсынды (1798-99). 6. Іргетасын Дезарг қалаған проективтік геометрия XVII ғ. аяғы мен XVIII ғасырда тамыр тарта қоймады, бірлі-жарым нәтижелердің алынуынан (Менелай және Чева теоремалары дәлелдегені сияқты) әрі аса алған жоқ. Бірақ, оны әрі қарай дамытуға тырысқан кейбір математиктер де болды, солардың бірі Лагир еді. Ол «Конустық және цилиндрлік беттердің қималарына арналған жаңа геометриялық әдіс» атты еңбек жазды (1673). Алайда, кітаптың тілі ауыр және сызбалары лайықты болмай шыққандығынан, Лагирдің әрекеті сәтсіз аяқталды. Дезаргтың идеялары мен әдістерін насихаттауға бұл кітаптың айтарлықтай әсері тиген жоқ. Дегенмен, Дезарг әдістері XVIII ғ. кейбір математиктердің еңбектерінде көрініс тапты (Лепуавр,1704; Дж.Майлис,1702; Симпсон,1735; Уокер, 1794). Проективтік геометрия Монждың «Сызба геометриясы» басылып шыққаннан кейін XIX ғ. ғана кең жолға шығып, әрі қарай даму мүмкіндігіне ие болды. XYII ғ. соңына қарай Лейбниц, Ньютон және ағайынды Бернуллилар негізін салған дифференциалдық геометрияның дамуында мынадай жаңа бағыттар пайда болды: 1) жазықтықтағы дифференциалдық геометрия; 2) кеңістік қисықтарының дифференциалдық геометриясы және 3) беттердің дифференциалдық теңдеулері. Бірінші бағыт бойынша қисықтар үйірінің траекториялары туралы, (И.Бернулли,1697), өзара траекториялар туралы (Н.II Бернулли, 1720) есептер қойылды. Осыларға (И.Бернулли,1727; Эйлер, 1727, 1729, 1786) және қисықтық радиусы мен басқа да шамалар арасындағы қатынастарға арналған қатысты мақалалар жарияланды (Эйлер, Фусс, Шуберт, т.б,). Геодезиялық сызықтарды зерттеумен байланысты кеңістік қисықтары дифференциалдық геометриясының бірқатар аса маңызды ұғымдары енгізілді (И.Бернулли, 1698; Эйлер,1732; Клеро, 1731,1735, 1739). Кеңістік қисықтарының дифференциалдық геометриясы бойынша жұмыстар жарияланып (Эйлер,1786; т.б.), сфералық бейнелеу, қисықтың қабыспа жинақтылығы ұғымдары қолданысқа енгізілді, Френе формуласы дәлелденді. Беттердің дифференциалдық геометриясына қатысты Эйлердің аса маңызды еңбектері жарияланды (1760, 1772,1778). Бұл еңбектерінде ол беттер геометриясының бірталай ұғымдарын ғылымға енгізіп, оның күрделі мәселелерін шешіп берді. Диференциалдық геометрияның дамуына Монж өлшеусіз үлес қосты. Оның еңбектері (1785, 1780, 1795) дифференциалдық геометрияның жалпы математика ғылымының ауқымында қалып қоймауына, оның өсіп, өркен жаюына және дербес ғылым саласына айналуына игілікті ықпалын тигізді. Дифференциалдық геометрия Ламберт, Фрезье, Тенсо сияқты XYIII ғ. математиктерінің, Монждың XIX ғ. басындағы Дюпен, Ланкре, Жермен сияқты шәкірттерінің еңбектерінде жеміс бере бастады. XVIII ғ. аяғына дейін сызба геометрия атты ғылым саласы қалыптаса қоймады. Алайда, оның негіздері перспективалар теориясы түрінде XV-XVI ғғ. салынып, XVII ғ. Стевиннің, Дезарттың және Лагирдің жұмыстарында біршама дамытылған еді. XVIII ғ. перспективалар теориясына арналған бірталай еңбектер жарық көрді (Схавесанде, 1711; Тейлор, 1715; Лакайль, 1750; Ламберт, 1759). Қазіргі заманғы сызба геометрия Монждың «Нормаль мектепте» оқыған дәрістерінен бастау алады, осының негізінде ол «Сызба геометрия» атты кітабын бастырып шығарды (1799). Мұнда дифференциалдық геометрия әдістерімен зерттелген нүктелерді, түзулерді және жазықтықтарды, кеңістік қисықтары мен беттерді салудың барлық негізгі есептері шешіліп көрсетілді, перспективалар теориясы баяндалды, проективтік геометрияның бірталай теоремалары дәлелденді. Монж әдісі аса ыңғайлы болуына байланысты қазіргі күнге дейін техникалық сызудағы негізгі әдіс болып есептеледі. XVIII ғ. сызба геометрияның негіздері қамтылған шығарманың тағы бірі ретінде Лакруаның кітабын атап айтуға болады. 7. Бұл дәуірде математиканың қарт еменінің бірі болып табылатын элементар геометрия көптеген жаңалықтармен толыға түсті (Ренольдини, 1668; Де-вилль,1628; Босс, 1665; Коханский, 1685). Д.Бернулли барлық алгебралық квадратталатын айшықтар қанағаттандыратын шартты қорытып шығарды және квадратталатын төртінші айшықты беретін теңдеуді ұсынды (1724). Гиппократ жекеленген үш айшықтарды квадратураландыру жүзеге асырған еді, Крамер осындай айшықтар үшін жалпы теңдеуді тағайындады (1748). Алайда, бұл теңдеулер аса күрделі болғандықтан, ол Гиппократқа белгілі болған үш айшықты ғана таба алды. Қазіргі күнгі белгілі бес квадратталатын айшықтарды алғаш рет Валлениус көрсетіп берді (1766). Я.Бернулли тең бүйірлі үшбұрыш жағдайы үшін Мальфатти есебін шешті (1687). Эйлер элементар геометрияның бірталай жаңа теоремаларын дәлелдеді (1767). Осының барысында элементар геометрияға Эйлер түзуі, Эйлер теоремасы сияқты ұғымдар енді. Ол төрт шар жағдайындағы дөңгелектердің жанасуы туралы Аполлоний есебін зерттеді (1807- 1808), «Кенигсберг көпірлері туралы есепті» шешті (1741). Стюарт элементар геометрияның бірқатар теоремаларын ұсынды (1746). Бірақ олардың кейбірі дәлелдеусіз келтірілді. Чеппл үшбұрышқа іштей және сырттай сызылған дөңгелектердің центрлерінің ара қашықтығы √𝑅(𝑅 − 2𝑟) өрнегіне тең болатындығын тағайындады (1746). XVIII ғ. фигураларды түрлендіру мәселесіне байланысты бірнеше еңбектер басылып шықты (Леклерк,1669; Гинэ,1705; Вильке,1757; Маскерони, 1793). Мопертюи дұрыс көпбұрыштардың туралы бірқатар тамаша теоремаларды дәлелдеді (1729), Мейстер оларды дұрыс жұлдызшалы көпбұрыштарға таратты (1771). Крамер Папп есебін кез келген үш нүкте жағдайына жалпылады (1742), бұл есептің геометриялық шешуін Кастильон тапты (1779). Эйлер мен Фус осы есепті кеңістікте қарастырып шешті (1783). Есептің көпбұрыш жағдайына жалпылануы талданды (Джордано, (1788; Мальфатти,1799). Уоллес үшбұрышқа сырттай сызылған дөңгелектің нүктесінен үшбұрыш қабырғаларына түсірілген перпендикулярлардың табандары бір түзуде жататындығын дәлелдеді (1799). Маскеронидің «Циркуль геометриясы» жарық көрді (1797). Онда циркульдің көмегімен негізгі элементар есептерді салу әдістері берілген. Фусс сырттай және іштей шеңберлер сызуға болатын төртбұрыштар туралы есеппен айналысып (1797), бұл есепті көпбұрыштар үшін жалпылады (1802). Бұл есеп «тұйықталу проблемасына» жататын бірқатар есептердің қойылуына әсер етті (Штейнер, Якоби, Понселе). Параллель түзулер теориясы бойынша бірқатар еңбектер жарық көрді (1680, Борелли;1693,Валлис;1705, Джордано; Саккери, 1733). Параллельдік туралы ілімнің теориялық-логикалық жағы Саккеридің еңбегінде мейлінше тереңірек қарастырылды. Бұл бағытта XVIII ғ. Даламбер еңбектерінің әсері зор болды (1765). Осы еңбектерінде ол параллельдер теориясының элементар геометрияның аса маңызды проблемасы екендігін атап көрсетті. Шынында да кейін параллельдер теориясына арналған зерттеулер саны күрт артқаны байқалады (1763, Клюгель; 1786, Ламберт; 1778,Бертран; 1794,Лежандр; 1798, С.Е.Гурьев, т.с.с.). Осы және т.б. зерттеулердің нәтижелері XIX ғ. евклидтік емес геометриялардың ашылуына үлкен әсерлерін тигізді. 8. ХVII ғ. аяғына қарай тригонометрияның бірқатар жаңа формулалары ашылып, тригонометриядан бай материалдар қоры жинақтала түсті. Осыған байланысты бүкіл тригонометрия курсын алгебралық-аналитикалық негізде құрудың қажеттігі туындады. Осы қажетіктің әсерінен ХVIIІ ғ. басында тригонометрияның жүйелі түрде баяндалуын қамтамасыз ететіндей жаңа сипаттағы еңбектер жарық көрді (Крез, 1720; т.б.). Алайда, оларда қолданылған символика аса ыңғайсыз болды. Осы сияқты кемшіліктер Майердің тригонометрияның аналитикалық баяндалуын жетілдіру мақсатында жазылған мақалаларында да кездеседі (1729,1735,1738). Бірақ осы кемшілігіне қарамастан, Майердің символикасы бірқатар математиктердің ( Д. Бернулли, Герман, Крафт, Молертен, фон Оппель, т.б.) еңбектерінде көрініс тапқанын атап айтуға тиіспіз. Қазіргіге жақын келетіндей символика пайдаланылған кітаптар да болды (Симпсон,1478,онда sin., co.sin., және tang. символдары қолданылды). Эйлердің «Шектеусіздер анализіне кіріспе» атты еңбегінің жарыққа шығуынан тригонометрияның дамуы жаңа кезеңі басталды (1748). Мұнда тригонометриялық функциялардың аналитикалық теориясын құру жүзеге асырылды, кез келген аргументі барлық тригонометриялық функциялардың таңбалары туралы мәселе толығымен шешілді, символиканы енгізілді. Эйлер сфералық тригонометрияға үлкен үлес қосты, ол сфералық тригонометрияны сфералық үшбұрыштардың қабырғаларын сферадағы геодезиялық сызықтар ретінде қарастыра отырып құруды жүзеге асырды (1755). Оның еңбектерінде алғаш рет сфералық тригонометрияның бүкіл жүйесінің толық түрдегі баяндалуы жүзеге асырылды (1755,1782). Эйлердің еңбектерінде жазық және сфералық тригонометрия жаңа түр мен сипатқа ие болды. Одан басқа тригонометрияға айтарлықтай үлес қосқан математиктер: Блек, Мердок, Кастильон, Пенгре, Фишер, Гейнзиус, Даламбер, Боссю, Ламберт т.б. Олардың зерттеу жұмыстарының нәтижесі тригонометриялық функциялардың табиғатын түсінуге сара жол ашты. «Тригонометриялық функциялар» атауын алғаш рет Клюгель қолданды (1770), ол алғашқы болып тригонометриялық функцияларды үшбұрыш қабырғаларының қатынастары ретінде анықтады және өз кітабына әртүрлі тригонометриялық қатарларды енгізді. Ламберт тригонометрияны баяндаудың өзіндік жолын ұсынды (1765), тригонометрияның кейбір негізгі проблемаларын белгілеп берді (1782). тетрагонометрияның негізін салды (1770). Оның идеялары Майердің (1773), Бьернсеннің (1780), Люильенің (1789) еңбектерінде онан әрі дамытыла түсті (1780). Лексель полигонометрияның негізін салды (1775-76). Сфералық тригонометрия мәселелерімен Эйлердің шәкірттері үлкен үлес қосты (Лексель, 1775-76; Головин, 1789; Фусс, 1787; Шуберт; 1801), Тригонометрияның осы дәуірдегі дамуына әртүрлі логорифмдік-тригонометриялық кестелердің жасалуының қолға алынуы игілікті ықпалын тигізді (Гардинер,1705; Локайль мен Лаланд, 1760; Ламберт,1770; Шульц, 1778; т.б.). XVIII ғ.соңына қарай метрлік өлшеуіштер енгізілуіне байланысты үлкен маңызға ие болған бірқатар кестелер басылып шықты (Вега, 1783, 1793, 1794; Гоберт және Иделер,1799; ); Горд, 1800-1801). Тригонометрия бойынша жүргізілген зерттеулер нәтижелері көрініс тапқан бірнеше маңызды оқу құралдары басылып шықты (Мадгон, 1765; Бертран, 1778; Каньоли,1786; Лежандр,1794; Лакруа, 1798 - 99). Сонымен, тригонометрия XVIII ғ. соңына қарай жаңа мазмұн мен сипатқа ие бола отырып, іргелі ғылым ретінде одан әрі кемелдене түсті. жүктеу/скачать 1,12 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|