№1 дәріс. Кіріспе. Математиканың бұлақ-бастаулары (IX ғ. дейін). Курстың объектісі, пәні және оны оқытудың мақсат-міндеттері. Курстың басқа оқу пәндерімен байланысы
жүктеу/скачать 1,12 Mb. Pdf көрінісі
|
4. Дәріс тезистері
|
6. XVIII ғ. дейін математиктер жекелеген вариациялық есептерді қарастырып, оларды өзіндік әдістермен шешті. Математиктердің ерекше назарын аударған есеп И.Бернулли ұсынған брахистохрона жайындағы есеп еді (1696). Бұл есепті Ньютон, Лейбниц, ағайынды Бернулли және Лопиталь шешіп бере алды. Я.Бернулли брахистохрона туралы есептің жалпы түрін, изопериметрлік есепті тұжырымдап, шешуге ұсынды (1697). Соңғы есепті Я.Бернуллидың өзі шешіп берді («АЭ»,1700-1701). И. Бернулли геодезиялық сызықтар туралы есепті ұсынып (1697), оны шешіп көрсетті (1698). Осы сияқты есептер XVIII ғасырдың басында математикалық анализдің вариациялық есептеулер атты саласының пайда болуына алып келді. Вариациялық есептеулердің қарапайым жалпы есебін былайша тұжырымдауға болады: берілген екі 𝐴(𝑎, 𝑐) және 𝐵(𝑏, 𝑑) нүктелері арқылы өтетін барлық 𝑦(𝑥) қисықтары ішінен 𝐽 = ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ )𝑑𝑥 𝑏 𝑎 интегралы максимумға немесе минимумға ие болатындай қисықты табу керек. Бұл есепті шешудің жалпы әдісін Эйлер жасады (1726-44), оның еңбектерінде (1736) алғаш рет вариациялық есептің жалпы түрдегі қойылуы пайда болды. Эйлер осы бағыттағы зерттеулерін жалғастырып, аса маңызды шығармасын жариялады (1744). Ол өз әдісі арқылы бірқатар вариациялық есептерді шешіп көрсетті (серпімді пластинканың иілуі, ғимараттар бағандарының кризистік жүктемесі, кедергісіз ортадағы және сұйықтықтағы қозғалыс туралы есептер). Мұнда ол механикадағы аса маңызды мәселелердің бірі - ең аз әсер принципінің математикалық тұжырымдалуын келтірді. Алайда, Эйлер әдісінің негізгі кемшілігі, оның тым күрделілігінде еді. Қарапайым функционалдың экстремумын табу есебі жағдайының өзінде Эйлер теңдеуін алу үшін аса қиын есептеулерді жүргізуге тура келді, ал жалпы түрдегі вариациялық есептерді шешу барысында есептеулер тіптен күрделене түседі. Сондықтан бұл әдістің математикалық аппаратын жетілдіру қажеттігі туындады. Бұны Лагранж жүзеге асырып, вариация әдісін ұсынды (1755). Ол вариациялық есептеулер бойынша зерттеулерін механика саласындағы жұмыстарымен тығыз байланыста жүргізіп (1762), вариация әдісі арқылы механиканың жаңа есептерін шешті. 1788 ж. Лагранж механика есептерін шешудің негізінде ең аз әсер принципі мен вариация әдісін үйлестірудің жатқандығын атап көрсетті. Эйлер өз жұмыстарында (1766) жаңа әдісті вариациялар әдісі, ал интегралдардың экстремумдарын зерттейтін математикалық пәнді вариациялық есептеулер деп атады. Вариациялық есептеулердің дамуының алғашқы кезеңдерінде қарастырылған вариациялық есептерде механикалық және геометриялық пайымдаулар Эйлер теңдеуін шешу барысында алынатын қисықтың абсолют экстремум екендігін анықтауға мүмкіндік жасады. Алайда, кейін келе осы көзқарастың дұрыстығына шүбә туғызатын вариациялық есептер пайда бола бастады. Ең бастысы, Эйлер теңдеуін қанағаттандыратын қисықтың беретін экстремумының абсолют экстремум болып табылатындығы туралы түсінік жоққа шығарылды. Өйткені, XVIII ғасырда салыстырмалы экстремум мағынасы әлі де айқындала қоймаған еді. Сонымен, қорыта айтқанда, экстремумның бар болуының жалпы критерийі туралы мәселе XVIII ғ. шешімін таппады. 7. Шекті айырмаларды есептеу дегеніміз функция аргументі немесе аргументтері тең қашықтықта орналасатын интервалдарға өзгергенде функцияның қабылдайтын мәндері арасындағы қатынастарды зерттеу болып табылады. Шекті айырмаларды есептеу және интерполяциялау мәселелерімен математиктер аса көлемді сандық кестелерді құрастыра бастаған кезден-ақ істес болған еді. Алайда, шекті айырмаларды есептеудің дербес математикалық ғылым ретіндегі негізгі XVII ғ. аяғы мен XVIII басында Ньютонның еңбектерінде салынды. Айырмаларды қайталап құруды пайдалана отырып, ол өз еңбектерінде алты интерполяциялық формуланы алған болатын (1687,1711). Шекті айырмалар теорияларын қалыптастыруда Тейлордың еңбектерінің маңызы зор болды (1711). Ол шекті айырмалар теориясын бірқатар аса маңызды жаңалықтармен байытты. Онда басқа да мәселелермен қатар интерполяциялау мен тізбектерді қосындылаумен байланысты бірқатар есептер де қарастырылады, Тейлордың атын шығарған функцияның дәрежелік қатарға жіктелуі туралы жалпы теорема келтіріледі. Тейлордың еңбектері бірнеше математиктердің шекті айырмалар теориясымен жүйелі түрде айналысуына ықпал етті (Николь, де Монмор, Стирлинг, де Ланья, т.б.). Осының барысында шекті айырмалар теориясы бойынша айтарлықтай ғылыми нәтижелер алынды. Функцияларды қосындылау мен рекуренттік қатарлар теориясының жаңа есептері шекті айырмалар теориясы мен интерполяция мәселелеріне Эйлердің де назар аударуына түрткі болды (1755). Ол айырмалар үшін Δ у, Δ 2 y , Δ 3 y , ... таңбаларын ұсынып, қазіргі күнге дейін қолданылып жүрген негізгі символиканы енгізді, шекті айырмалар теориясының негіздерін алғаш рет айқын және жүйелі түрде баяндап берді. Эйлер мынадай екі мәселені шешті: 1) мүшелерінің шекті Δ 𝑘 айырмалары қандай да k мүшесінен бастап тұрақты болатын арифметикалық қатарлардың жалпы мүшесін табу; 2) қатарлардың «қосындыланған мүшелерін» табу. XVIII ғ. екінші жартысында функциялық тәуелділіктің жуық түрде өрнектелуіне қатысты жаңа көзқарастарға байланысты интерполяция мәселесінің жаңаша қойылуы пайда болды. Интерполяция мәселесін осы тұрғыда зерттеу барысында Лагранж айтарлықтай нәтижелерге қол жеткізді (интерполяциялық көпмүшеліктердің өрнектелулері, 1798, қазіргі күні Лагранж формуласы деп аталатын формула, 1795). Бұл дәуірде шекті айырмалы теңдеулер теориясының негізі салынды (Тейлор, 1730; Эйлер, 1753). Бұл дифференциалдық теңдеулер үшін бастапқы берілгендері бар есептердің шешімінің бар және жалғыз ғана болуы туралы аса күрделі мәселені айырмалы теңдеулер арқылы оңай шешуге қолайлы жағдай туғызды. Алайда, шекті айырмалы теңдеулер басқа да мәселелерге байланысты кездесіп отырды. XVIII ғ. сызықтық емес айырмалы теңдеулерді шешуде бірқатар нәтижелер алынды (Лаплас,1776; Монж,1786; Трамблей,1803; Шарль,1788; Лорньа, 1782). Сонымен қатар XVIII ғ. аяқ шенінде дифференциалдық айырмалы теңдеулерді зерттеу мәселесі қолға алына бастады (Кондорсе, 1774; Лаплас, 1782; Лорньа, 1788). Мұндай теңдеулерде белгісіз функциялардың айырмаларымен бірге олардың дифференциалдары немесе туындылары да қамтылады. Дифференциалдар шектеусіз аз айырмалар болып саналғандықтан оларды аралас айырмалы теңдеулер деп те аталады. жүктеу/скачать 1,12 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|