Практикум по алгебре
R , ϕ и ψ линейные отображения V в R
жүктеу/скачать 0,63 Mb. Pdf көрінісі
|
- Бұл бет үшін навигация:
- § 6. Кольца 1. а ) Пусть 〈 R
| R
, ϕ и ψ линейные отображения V в R . Доказать , что если Ker ϕ ⊂ Ker ψ , то существует α∈ R такое , что ψ = αϕ . 16. Доказать , что линейный оператор ϕ является подобием тогда и только тогда , когда любой ненулевой вектор является собственным вектором оператора ϕ . 17. Зная , что 2 λ является собственным значением оператора ϕ 2 , доказать , что или λ , или – λ является собственным значением линейного оператора ϕ . 18. Доказать , что свободный член характеристического многочлена невырож - денного линейного оператора отличен от нуля . 19. Доказать равносильность следующих трех утверждений : а ) матрица А невырожденная ; б ) A = M ( ϕ ), для некоторого линейного оператора ϕ , причем Ker ϕ = θ ; в ) матрица А не имеет собственного значения , равного нулю . 20. Доказать , что если матрица А имеет простую структуру , то простую струк - туру будут иметь матрицы A , A ∗ , A –1 ( если А невырожденная матрица ). 21. Доказать , что собственные значения и характеристические многочлены мат - риц A и t Α совпадают . 22. Доказать , что если А и В – n × n - матрицы и хотя бы одна из этих матриц не - вырожденная , то матрицы АВ и ВА подобны . 23. Система векторов { a 1 , a 2 , …, a k } линейно независима над полем Z p . Доказать , что эта система векторов , рассматриваемая над Q , также линейно независима . 24. Найти dim End V и dim Hom ( V 1 , V 2 ), если dim V = n , dim V 1 = s , dim V 2 = t . 25. Доказать , что в n - мерном пространстве для каждого линейного оператора ϕ существует ненулевой многочлен f ( x ) степени < n 2 такой , что f ( ϕ ) = 0. 26. Доказать , что множество решений системы линейных уравнений является пол - ным прообразом некоторого элемента при некотором линейном отображении . 27. Привести пример линейного оператора , имеющего только два инвариант - ных подпространства . 86 Изобразить на диаграмме Эйлера - Венна следующие классы объектов . Ответ объяснить . В задачах 29–31 все пространства конечномерные про - странства над полем R , причем в задаче 31 размерность пространства ≥ 2. 28. А — множество всех линейных операторов векторных пространств . B — множество всех инъективных линейных операторов . С — множество всех сюръективных линейных операторов . D — множество всех автоморфизмов векторных пространств . Е — множество всех линейных операторов конечномерных векторных про - странств . 29. А — множество всех линейных операторов с ненулевым ядром . B — множество всех инъективных линейных операторов . С — множество всех проектирований . D — множество всех сюръективных линейных операторов . Е — множество всех линейных операторов дефекта 1. 30. А — множество всех линейных отображений , сохраняющих линейную не - зависимость . В — множество всех сюръективных линейных отображений . С — множество всех инъективных линейных отображений . D — множество всех линейных отображений , имеющих положительный де - фект . Е — множество всех линейных отображений , сохраняющих линейную зависи - мость . 31. А — множество всех линейных операторов над R , не имеющих действи - тельных собственных значений . B — множество всех автоморфизмов . С — множество всех вырожденных линейных операторов . D — множество всех линейных операторов с ненулевым ядром . Е — множество всех линейных операторов , имеющих базисы , состоящие из собственных векторов . § 6. Кольца 1. а ) Пусть 〈 R ; ⊕ , ⊗ 〉 — алгебра , где ⊕ — обычное сложение чисел , а операция ⊗ определяется следующим образом : a ⊗ b = ≠ = . если , 0 , если , b a b a a Является ли эта алгебра кольцом ? б ) Тот же вопрос , если ⊗ определяется так : a ⊗ b = a . 2. а ) Доказать , что множество верхних треугольных матриц с коэффициентами из поля Р образует подкольцо в кольце всех квадратных матриц данного порядка над полем Р . б ) Верно ли , что каждый ненулевой элемент этого кольца является либо де - лителем нуля , либо делителем единицы ? 87 3. а ) Показать , что любую абелеву группу ( G ; +) можно превратить в кольцо , определив умножение o на G следующим образом : a o b= 0. б ) Как устроены идеалы этого кольца ? 4. Пусть 〉 〈 o ; А полугруппа , содержащая более одного элемента , где операция o определяется следующим образом : x o y = x для любых x , y ∈ A . Доказать , что нельзя так определить операцию + на А , чтобы алгебра 〈 A ; +, o 〉 являлась кольцом . 5. Ассоциативное кольцо со свойством ( ∀ a )( a 2 = a ) называется булевым коль - цом . Доказать : а ) булево кольцо коммутативно ; б ) в булевом кольце выполняется тождество – a = a ; в ) булево кольцо является целостным кольцом тогда и только тогда , когда состоит лишь из двух элементов . 6. Пусть А — кольцо с единицей e , A 1 — подкольцо в А с единицей e 1 , причем e 1 ≠ e . Доказать , что e 1 делитель нуля в кольце А . Привести пример такого кольца А . 7. Доказать , что в кольце квадратных матриц порядка n над полем Р , где n ≥ 2, всякий ненулевой элемент является либо делителем нуля , либо делителем единицы . 8. Показать , что в кольце Z /(6) не всякое уравнение ax = b разрешимо . 9. Найти истинностные значения следующих высказываний : а ) подкольцо кольца с единицей может не содержать единицы ; б ) подкольцо кольца без единицы может иметь единицу ; в ) подкольцо некоммутативного кольца может быть коммутативным ; г ) подкольцо коммутативного кольца может быть некоммутативным ; д ) подкольцо кольца с единицей 1 может иметь единицу e ≠ 1. 10. Доказать , что коммутативное кольцо является целостным кольцом тогда и только тогда , когда в нем вы - полняется закон сокращения . 11. Доказать , что в кольце Z p , где p — простое число , отличное от 2, каждое уравнение x ( p –1)/2 = 1; x ( p –1)/2 = –1 имеет в точности ( p –1)/2 решения . 12. Понятие конечной цепной дроби и ее подходящих дробей можно определить для любого евклидова коль - ца . Какие свойства при этом сохраняются без изменения ? Можно ли как - либо изменить формулировки ос - тавшихся свойств , чтобы их основное содержание сохранилось при этом переносе ? 13. Является ли идеалом кольца n × n – матриц над R подмножество I , состоящее из матриц , у которых или пер - вый столбец , или первая строка нулевые ? 14. Доказать , что в кольце R [ x , y ] подмножество I , состоящее из многочленов с нулевым свободным членом , является идеалом , но не является главным идеалом . 15. Доказать : ( a ) + ( b ) = (1) ⇒ ( a ) I ( b ) = ( a )( b ). 16. Доказать , что коммутативное и ассоциативное кольцо с единицей является полем тогда и только тогда , когда это кольцо имеет только два идеала ( какие ?). 17. Образуют ли идеал необратимые элементы кольца жүктеу/скачать 0,63 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|