Практикум по алгебре

91 
12.
Простым
или
составным
элементом
является
многочлен
2
x
5
+ 18
x
2
+ 6 
в
кольце
Z
[
x
]? 
В
кольце
Q
[
x
]? 
13.
Те
же
вопросы
для
многочлена
3
x
6
– 12
x
+ 18. 
14.
f
(
x
) 
=
(
x
2
– 
3
x
+ 2)(
x
2
+
3
x
+ 2).
а
) 
Верно
ли
, 
что
f
(
x
)
∈
Q
[
x
]? 
б
) 
Приводим
или
неприводим
f
(
x
) 
над
Q
? 
15.
Те
же
вопросы
для
многочлена
(
3
x
2
– 3
x
+ 
3
)(
3
x
2
+ 3
x
+ 
3
). 
16.
Приводим
или
неприводим
над
Q
многочлен
x
3
+ 6
x
2
– 8
x
– 12? 
17.
Привести
пример
факториального
кольца
, 
не
являющегося
кольцом
глав
-
ных
идеалов
. 
18.
Числа
a
, 
b
и
c
различные
. 
Сколько
корней
имеет
многочлен
2
2
2
2
)
)(
(
)
)(
(
)
)(
(
)
)(
(
)
)(
(
)
)(
(
x
b
c
a
c
b
x
a
x
c
a
b
c
b
a
x
c
x
b
c
a
b
a
c
x
b
x
a
−
−
−
−
−
+
−
−
−
−
+
−
−
−
−
? 
19.
Доказать
, 
что
если
〈
P
; +, 
⋅〉
— 
поле
, 
то
в
мультипликативной
группе
〈
P
*
; 
⋅〉
для
любого
n 
∈
N
существует
не
более
одной
подгруппы
порядка
п
. 
20.
Доказать
, 
что
если
Р
конечное
поле
, 
состоящее
из
n
элементов
, 
то
x
n
– 
x =
∏
∈
−
P
a
a
x
)
(
. 
21.
f
, 
g
∈
R
[
x
], deg 
f
=
deg 
g
=
n
, 
f
(
x
0
) 
=
g
(
x
0
), (
∀
k
)(
f 
(
k
)
(
x
0
) 
=
g
(
k
)
(
x
0
), 
k
=
n
1,
.
Доказать
, 
что
f
=
g
. 
22.
Пусть
R
n
[
x
] — 
векторное
пространство
всех
многочленов
над
R
, 
степень
ко
-
торых
не
превосходит
n
, 
a
∈
R
. 
Доказать
, 
что
многочлены
1, 
x
–
a
, (
x
–
a
)
2
, …, (
x
–
a
)
n
составляют
базис
этого
пространства
. 
23.
Составить
многочлен
f
∈
Q
[
x
], 
для
которого
: 
а
) 
2
+ 
3
является
корнем
; 
б
) 
3
2
+ 2 
является
корнем
. 
Приводимы
или
неприводимы
над
Q
получившиеся
многочлены
? 
24.
Верно
ли
, 
что
Q
(
π
) 
=
Q
(
π
2
)? 
25.
Доказать
, 
что
если
α
алгебраический
элемент
над
полем
Р
и
ϕ
его
мини
-
мальный
многочлен
, 
то
ϕ
не
имеет
кратных
корней
ни
над
каким
расшире
-
нием
поля
Р
. 
26.
Пусть
α
∈
C
\
R
. 
Верно
ли
, 
что
R
(
α
) 
=
C
? 
27.
Существует
ли
поле
, 
содержащее
поле
комплексных
чисел
в
качестве
собст
-
венного
подполя
? 
28.
Пусть
ϕ
неприводимый
многочлен
степени
n
над
полем
Z
p
. 
а
) 
Доказать
, 
что
Z
p
[
x
]/(
ϕ
(
x
)) 
является
конечным
полем
. 
б
) 
Найти
число
элементов
этого
поля
. 

92 
29.
а
) 
Доказать
, 
что
Q
(
2
+
3
) 
=
Q
(
2
)(
3
) . 
б
) 
Какова
степень
этого
поля
над
Q
? 
в
) 
Указать
какой
-
нибудь
базис
этого
поля
над
Q
. 
30.
Найти
все
автоморфизмы
поля
Q
(
2
+
3
). 
31.
Найти
все
корни
многочлена
x
4
+ 4
x
3
+ 32
x
2
+ 12
x
+ 87, 
зная
, 
что
один
из
корней
этого
многочлена
равен
–2 – 5
i
. 
32.
Доказать
, 
что
если
f 
∈
R
[
x
] 
и
не
имеет
действительных
корней
, 
то
все
значе
-
ния
соответствующей
многочленной
функции
имеют
один
и
тот
же
знак
. 
Верно
ли
обратное
утверждение
? 
33.
Решить
в
R
уравнение
(
x
– 1)(
x
– 3)(
x
+ 5)(
x
+ 7) 
=
297. 
34.
В
R
[
x
] 
найти
вид
всех
таких
многочленов
, 
которые
делятся
на
свою
произ
-
водную
. 
35.
Пусть
α
1
, 
α
2
, …, 
α
n
–
1
– 
корни
многочлена
x
n
– 1, 
отличные
от
1. 
Чему
равня
-
ется
(2 – 
α
1
)(2 – 
α
2
) … (2 – 
α
 n
–
1
)? 
36.
g
∈
R
[
x
] — 
многочлен
4-
й
степени
, 
такой
, 
что
g
~ (1) 
=
g
~ (
–
1) 
и
g
~ (2) 
= g
~ (
–
2). 
Доказать
, 
что
g
~
четная
функция
. 
Указания
 
Иногда
нам
будут
требоваться
результаты
или
способы
рассуждения
из
предыдущих
задач
. 
При
ссылках
на
задачи
из
другого
параграфа
будет
упот
-
ребляться
двойная
нумерация
, 
если
же
задача
содержится
в
этом
же
параграфе
, 
то
будет
указываться
только
ее
номер
. 
§ 2 
 
2. 
Использовать
результаты
задачи
1. 
3. 
Поискать
эти
слагаемые
, 
используя
результаты
задачи
1. 
4–5. 
Аккуратно
перемножить
и
сравнить
. 
6. 
Взять
X
=
t
e
k
, 
k
∈
n
1,
. 
8. 
Использовать
следующие
факты
: 
а
) 
каждую
квадратную
матрицу
с
помощью
элементарных
преобразований
строк
и
столбцов
можно
при
-
вести
к
диагональному
виду
; 
б
) 
всякое
элементарное
преобразование
можно
реализовать
умножением
на
соответствующую
матрицу
элементарных
преобразований
(
элементарную
матрицу
). 
9. 
Как
находится
обратная
матрица
? 
10. 
Как
связаны
между
собой
строки
такой
матрицы
? 
13. 
Поработать
с
данными
равенствами
. 
15. 
Использовать
матрицы
элементарных
преобразований
. 
16. 
Использовать
равенство
t
A
=
–
A
. 
17. 
Использовать
связь
ранга
матрицы
с
порядком
ненулевых
миноров
. 
18. 
Использовать
разложение
определителя
по
элементам
строки
или
столбца
и
похожее
свойства
определите
-

93 
ля
. 
19. 
Использовать
свойства
определителя
произведения
матриц
и
определителя
транспонированной
матрицы
. 
20. 
Использовать
теорему
об
определителе
произведения
матриц
и
задачу
17. 
21. 
Показать
невозможность
других
случаев
. 
26. 
Воспользоваться
теоремой
об
определителе
произведения
матриц
. 
28. 
Нельзя
ли
здесь
применить
теорию
геометрических
преобразований
? 
32. 
Использовать
связь
корней
из
произвольного
комплексного
числа
и
корней
из
единицы
, 
а
также
свойства
первообразных
корней
. 
33. 
Использовать
условие
равенства
комплексных
чисел
в
тригонометрической
форме
. 
35. 
Каков
модуль
правой
части
равенства
?
36. 
Обозначить
z
+ 3 – 2
i 
через
w
. 
§ 3 
4. 
Использовать
теорему
Лагранжа
и
теорему
о
подгруппах
циклической
группы
. 
7. 
Рассмотреть
две
возможности
:
а
) 
группа
содержит
элемент
бесконечного
порядка
;
б
) 
все
элементы
группы
имеют
конечный
порядок
. 
8. 
Написать
одну
подстановку
под
другой
. 
9. 
Поделить
с
остатком
k
на
n
. 
10. 
Пусть
n
=
|
H
|, 
a
∈
H
. 
Показать
, 
что
a
n
=
1. 
11. 
Рассмотреть
две
возможности
: 1) 0 
∈
S
и
2) 0 
∈
S
. 
В
первом
случае
показать
, 
что
S
\{0} – 
группа
(
если
это
множество
≠
∅
). 
12. 
Каков
наименьший
по
абсолютной
величине
элемент
Н
? 
15. 
Пусть
a
∈
H
1
I
H
2
. 
Каков
порядок
а
(
использовать
задачу
9 
и
указание
к
задаче
10)? 
17. 
Сравнить
с
задачей
2.26. 
19. 
Воспользовавшись
изоморфизмом
, 
свести
задачу
к
группе
〈
n
1
; 
⋅〉
. 
Все
элементы
z
∈
H
обладают
свойством
z
n
 =
1. 
20–21. 
Использовать
задачу
9. 
22. 
б
) 
Методом
от
противного
. 
23. 
Использовать
теорему
об
эпиморфизмах
. 
24. 
б
) 
Указать
такую
подгруппу
. 
Показать
, 
что
любой
элемент
a
∈

жүктеу/скачать 0,63 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: