5.
СИММЕТРИЯЛЫҚ
ИНТЕГРАЛДЫҚ ТЕҢЦЕУЛЕР
§ 5.1. Симметриядық ядролар және олардың кейбір қасиеттері
L2[a,b] кеңістігінде
(р{х) = Ц К (х, s)(p{s)ds + / (х)
a
интегралдық теңдеуін қарастырайық. Егер нақты ядро K ( x , s ) - K ( s , x ) шартын
қанағаттандырса, оны симметриялық ядро деп атайды. Мысалы, K(x,s) =
= co s(x + s),
ЛГ(
х
,
а
)
=
х
5Ч-З
х
2
а
2
симметриялық ядролар. Комплекстік
^ ( х , ^ )
ядро-
сы АГ(х,у) = АГ(х,у) шартын қанағаттандырса, оны симметриялық эрмиттік ядро
деп атайды. Ядросы симметриялық ядро болатын интегралдық теңдеуді симме-
триялық интегралдық тендеу деп айтады.
Егер K (x,s) симметриялық эрмиттік ядро болса, онда бұл ядроның қайталан-
ған ядроласы симметриялық болады. Расында, қайталанған ядро анықтамасы
бойынша
К 2 (х, у) = J К (х, /) К (t, s)dt = \K {t, s)K (x, t)dt =
x)dt =
a
a
a
= \ K ( s , t ) K (it, x)dt = K 2 (s, x).
a
Дэл осылай жалпы жағдай үшін де бұл қасиеттің орынды екенін оңай көруге
болады.
Егер K (x ,s) симметриялық эрмиттік ядро болса, онда Фредгольм операторы
ь
К ( р - \ K(x,s)(p(s)ds
а
өзіне түйіндес, яғни K ( x ,s ) = К болады. Расында
К 'ф = \K(s,x)(p(s)ds = J K(x,s)(p{s)ds = К<р.
Біз бұдан былай нақты а р г у м е н т симметриялық ядроларды қарастырамыз.
79
|
