Я. П. Сысак, ведущий научный сотрудник отдела алгебры и топологии Института математики нан украины

27
О некоторых способах доказательства неравенств
Применив теорему о почленном умножении неравенств, получим:
a
b
b
a
a
b
b
a
+




+




1
1
4
l
æ
.
Отсюда  a
b
b
a
+




+




1
1
4
l . 
◄
метод геометрической интерпретации
П р и м е р    4   
 Докажите неравенство
99 101
98 102
2 198
1 199
100
4
2
æ
æ
æ
æ
+
+
+
+
<
...
.
π
Р е ш е н и е. Рассмотрим четверть окружности радиуса 1 с цен-
тром O. Впишем в нее ступенчатую фигуру, составленную из 99 
прямоугольников, так, как показано на рисунке 3.1. Имеем:
  OA
A A
A A
1
1
2
98
99
1
100
=
=
=
=
...
.  
Площадь первого прямоугольника 
S
OA AA
OA
OA
1
1
1
1
1
2
2
2
1
1
1
100
1
100
99 101
100
=
=
−
=
−
=
æ
æ
æ
.
Для второго прямоугольника имеем: 
S
2
2
2
1
100
2
100
98 102
100
1
=
− 

 =
æ
 и т. д. 
S
99
2
2
1
100
99
100
1 199
100
1
=
− 

 =
æ
.
Площадь ступенчатой фигуры мень-
ше площади четверти круга, то есть 
99 101
100
98 102
100
1 199
100
4
2
2
2
æ
æ
æ
+
+
+
<
...
.
π
Отсюда  следует  доказываемое  не-
равенство. 
◄
Упражнения
1.
 Докажите неравенство:
1)  (
)
,
a b
a
b
+
+




1
1
4
l  если a > 0 и b > 0;
O
A
A
1
A
2
A
98
A
99
Рис. 3.1

§ 1.  НераВеНстВа
28
2)  (
) (
) (
)
,
a b b c a c
abc
+
+
+ l 8
 если  a l 0,   b l 0  и  c l 0;
3)  (
) (
)
,
a
b a b
a b
3
3
2 2
4
+
+
l
 если  a l 0  и  b l 0;
4)  (
) (
)
,
ab
a b
ab
+
+
1
4
l
 если  a l 0  и  b l 0;
5)  (
) (
) (
)
,
a
b
c
abc
+
+
+
2
5
10
80
l
 если  a l 0,   b l 0  и  c l 0;
6)  a b
a
b
+ + +
1
1
4
l ,  если  a > 0 и b > 0;
7) (
) (
) ... (
)
,
1
1
1
2
1
2
+
+
+
a
a
a
n
n
l
 если a
1
, a
2
, ..., a
n
 — положитель-
ные числа, произведение которых равно 1.
  4.
  неравенства с одной переменной
Рассмотрим  задачу.  Одна  из  сторон  параллелограмма  равна 
7 см. Какой должна быть длина соседней стороны, чтобы периметр 
параллелограмма был больше 44 см?
Пусть искомая сторона равна x см. Тогда периметр параллело-
грамма равен (14 + 2x) см. Неравенство 14 + 2x > 44 является мате-
матической моделью задачи о периметре параллелограмма.
Если в это неравенство вместо переменной x подставить, напри-
мер, число 16, то получим верное числовое неравенство 14 + 32 > 44. 
В таком случае говорят, что число 16 является решением неравен-
ства 14 + 2x > 44.
О п р е д е л е н и е.
 
Р е ш е н и е м   н е р а в е н с т в а   с   о д н о й   п е р е -
м е н н о й
  называют значение переменной, которое обращает его 
в верное числовое неравенство.
Так, каждое из чисел 15,1; 20;  10 3  является решением не-
равенства 14 + 2x > 44, а число 10 не является его решением.
З а м е ч а н и е.  Определение  решения  неравенства  аналогично 
определению корня уравнения. Однако не принято говорить «ко-
рень неравенства».
О п р е д е л е н и е.
 
Р е ш и т ь  н е р а в е н с т в о
 означает найти все его 
решения или доказать, что решений не существует.
Все  решения  неравенства  образуют  множество  решений  не-
равенства.  Если  неравенство  решений  не  имеет,  то  говорят,  что 
множеством его решений является пустое множество. Напомним, 
что пустое множество обозначают символом ∅.
Таким образом, можно сказать, что 
решить неравенство озна-
чает найти множество его решений.

4.  Неравенства с одной переменной
29
Например,  в  задаче  «решите  неравенство  x
2
 > 0»  ответ  будет 
таким: «все действительные числа, кроме числа 0».
Очевидно,  что  неравенство  |  x  | < 0  решений  не  имеет,  то  есть 
множеством его решений является пустое множество.
Определение.
 Неравенства называют 
равносильными
, если 
они имеют одно и то же множество решений.
Приведем несколько примеров.
Неравенства x
2
0
m  и  x m 0  равносильны. Действительно, каж-
дое из них имеет единственное решение x = 0.
Неравенства  x
2
1
> −  и  x > −2  равносильны, так как множе-
ством решений каждого из них является множество действительных 
чисел.
Поскольку каждое из неравенств  x
< −1 и 0x < –3 решений не 
имеет, то они также являются равносильными.
1.  Что называют решением неравенства с одной переменной?
2.  Что означает решить неравенство?
3.  Что образуют все решения неравенства?
4. Когда множеством решений неравенства является пустое множество?
5.  Какие неравенства называют равносильными?
Упражнения
4.1.°
 Какие из чисел –4; –0,5; 0; 
1
3
;  2 являются решениями нера-
венства:
1)  x
>
1
6
;  
4)  x
2
9 0
− m ;
2)  x m5;  
5)  x
− >
1 1;
3) 3x > x – 1;  
6) 
1
1
x
> ?
4.2.°
 Какое  из  данных  чисел  является  решением  неравенства 
(x – 2)
2
 (x – 5) > 0:
1) 3; 
2) 2; 
3) 6; 
4) –1?
4.3.°
 Является ли решением неравенства  6
1 2 7
x
x
+
+
m
 число:
1) –0,1;         2) –2;        3) 0;        4) –1;         5) 2?

§ 1.  НераВеНстВа
30
4.4.°
 Назовите любые два решения неравенства x + 5 > 2x + 3.

 4.5.° Является ли число 1,99 решением неравенства x < 2? Су-
ществуют  ли  решения  данного  неравенства,  которые  больше 
1,99? В случае утвердительного ответа приведите пример такого 
решения.

 
4.6.°
  Является  ли  число  4,001  решением  неравенства  x > 4? 
Существуют  ли  решения  данного  неравенства,  которые  мень-
ше 4,001? В случае утвердительного ответа приведите пример 
такого решения.
4.7.°
 Множеством решений какого из данных неравенств является 
пустое множество:
1) (x – 3)
2
 > 0; 
3) (x – 3)
2
 < 0;
2)  (
)
;
x
− 3
0
2
l
 
4)  (
)
?
x
− 3
0
2
m
4.8.°
 Какие из данных неравенств не имеют решений:
1) 0x > –2; 
2) 0x < 2; 
3) 0x < –2; 
4) 0x > 2?
4.9.°
 Множеством решений какого из данных неравенств является 
множество действительных чисел:
1) 0x > 1; 
2) 0x > 0; 
3) 0x > –1; 
4) x + 1 > 0?
4.10.°
  Решением  какого  из  данных  неравенств  является  любое 
действительное число:
1) x
2
 > 0; 
2) x > –x; 
3) 
−x
2
0
m ;  
4)  x l 0?
4.11.
•
  Среди  данных  неравенств  укажите  неравенство,  решением 
которого является любое действительное число, и неравенство, 
не имеющее решений:
1) 
x
x
2
2
1
0
+
l ;  
2) 
x
x
2
2
1
1
1
+
+
< ;  
3) 
x
x
2
2
1
1
1
−
−
l ;  
4) 
x
x
2
2
1
0
+
l .
4.12.
•
 Решите неравенство:
1) 
2
2
2 0
x
+ > ;  
  7) 
x
x
+
−




2
2
2
0
l ;
2) (x + 2)
2
 > 0; 
  8)  x
x
x
+
<
+
1
1
2
2
2;
3)  (
)
;
x
+ 2
0
2
m  
  9)  x
x
l
−
2
;
4) 
x
x
+
+
>
2
2
0;  
10) | x | > –x
2
;
5) 
x
x
+
+
>
2
2
2
3
;  
11) | x | > x;
6) 
x
x
+
−



 >
2
2
2
0;  
12)  x
x
l
− .

5.  решение линейных неравенств с одной переменной
31

 
4.13.
 •
 Найдите множество решений неравенства:
1) | x | > 0; 
4)  x m
−1;
2)  x m 0;  
5) | x | > –3;
3) | x | < 0; 
6) 
1
3
x
> − .  
4.14.
•
 Равносильны ли неравенства:
1) 
1
1
x
<  и x > 1; 
3) (x + 5)
2
 < 0 и | x – 4 | < 0;
2)  x
x
2
l  и  x l1;  
4)  x m 0  и  x
4
0
m ?
Упражнения Для пОвтОрения
4.15. Решите уравнение:
1) 9 – 7 (x + 3) = 5 – 6x;
2) 
x
x
+
−
−
=
3
2
4
7
1;
3) (x + 7)
2
 – (x – 2)
2
 = 15;
4) 5x – 2 = 3 (3x – 1) – 4x – 4;
5) 6x + (x – 2) (x + 2) = (x + 3)
2
 – 13;
6) (x + 6) (x – 1) – (x + 3) (x – 4) = 5x.
4.16.  Велосипедист  проехал  от  села  к  озеру  и  вернулся  обратно, 
потратив на весь путь 1 ч. Из села к озеру он ехал со скоростью 
15  км/ч,  а  возвращался  со  скоростью  10  км/ч.  Найдите  рас-
стояние от села до озера.
  5.
  решение линейных неравенств с одной 
переменной. Числовые промежутки
Свойства числовых равенств помогали нам решать уравнения. 
Аналогично свойства числовых неравенств помогут решать нера-
венства.
Решая уравнение, мы заменяли его другим, более простым урав-
нением,  равносильным  данному.  По  аналогичной  схеме  решают 
и неравенства.
При замене уравнения на равносильное ему уравнение исполь-
зуют  теоремы  о  переносе  слагаемых  из  одной  части  уравнения 
в другую и об умножении обеих частей уравнения на одно и то же 
отличное от нуля число.

жүктеу/скачать 4,65 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: