§ 1. НераВеНстВа
12
1.34. Упростите выражение:
1) 2a (5a – 7) – 5a (3 – 2a);
2) (2b – 3) (4b + 9);
3) (2c – 6) (8c + 5) – (5c + 2) (5c – 2);
4) 16m
2
– (3 – 4m) (3 + 4m);
5) (2x – 1)
2
+ (2x + 1)
2
;
6) (x – 4) (x + 4) – (x – 8)
2
.
УЧимся Делать нестанДартные шаги
1.35. Все натуральные числа от 1 до 1000 включительно разбиты на
две группы: четные числа и нечетные числа. В какой из групп
сумма всех цифр, используемых для записи чисел, больше и на
сколько?
2.
Основные свойства
числовых неравенств
В этом пункте рассмотрим свойства числовых неравенств, часто
используемые при решении задач. Их называют основными свой-
ствами числовых неравенств.
Т е о р е м а 2.1.
Если a > b и b > c, то a > c.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Поскольку по условию a > b и b > c, то раз-
ности a – b и b – c являются положительными числами. Тогда поло-
жительной будет их сумма (a – b) + (b – c). Имеем: (a – b) + (b – c) = a – c.
Следовательно, разность a – c является положительным числом,
поэтому a > c.
◄
Аналогично можно доказать такое свойство:
если a < b и b < c,
то a < c.
Теорему 2.1 можно проиллюстрировать
геометрически (рис. 2.1): если на координат-
ной прямой точка A (a) лежит правее точки
B (b), а точка B (b) — правее точки C (c), то
точка A (a) лежит правее точки C (c).
Т е о р е м а 2.2.
Если a > b и c — любое число, то a + c > b + c.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим разность (a + c) – (b + c). Имеем:
(a + c) – (b + c) = a – b. Поскольку по условию a > b, то разность a – b
является положительным числом. Следовательно, a + c > b + c.
◄
A
B
C
c
b
a
Рис. 2.1
2. Основные свойства числовых неравенств
13
Аналогично можно доказать такое свойство:
если a < b и c — лю-
бое число, то a + c < b + c.
Поскольку вычитание можно заменить сложением (a – c = a + (–c)),
то теорему 2.2 можно сформулировать так:
если к обеим частям верного неравенства прибавить или из
обеих частей верного неравенства вычесть одно и то же число,
то получим верное неравенство.
С л е д с т в и е .
Если любое слагаемое перенести из одной ча-
сти верного неравенства в другую, изменив знак слагаемого на
противоположный, то получим верное неравенство.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть неравенство a > b + c верно. Вычтем
из обеих его частей число c. Получим: a – c > b + c – c, то есть
a – с > b.
◄
Т е о р е м а 2.3.
Если a > b и c — положительное число, то
ac > bc. Если a > b и c — отрицательное число, то ac < bc.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим разность ac – bc. Имеем:
ac – bc = c (a – b).
По условию a > b, следовательно, разность a – b является поло-
жительным числом.
Если c > 0, то произведение c (a – b) является положительным
числом, следовательно, разность ac – bc является положительной,
то есть ac > bc.
Если c < 0, то произведение c (a – b) является отрицательным
числом, следовательно, разность ac – bc является отрицательной,
то есть
ac < bc.
◄
Аналогично можно доказать такое свойство:
если a < b и c — по-
ложительное число, то ac < bc. Если a < b и c — отрицательное
число, то ac > bc.
Поскольку деление можно заменить умножением
a
c
c
a
=
æ
1
, то
теорему 2.3 можно сформулировать так:
если обе части верного неравенства умножить или разделить
на одно и то же положительное число, то получим верное не-
равенство;
если части верного неравенства умножить или разделить
на одно и то же отрицательное число и изменить знак
неравенства на противоположный, то получим верное нера-
венство.
|
