Поскольку это объединение является множеством
лебеговой меры 0, то функция ftp удовлетворяет критерию Лебега интегрируемости по Ри
ману. ►
1 6 . Доказать, что если ограниченные на сегменте [а, Ь] функции / и ip совпадают всюду
на нем, за исключением лишь множества
X С [а,
Ь] жордановой меры 0, то либо эти функции
интегрируемы на [а,
Ъ) и
ь ь J f ( x ) d x = J tp(x)dx, а а либо они не интегрируемы на [о, 6].
4 Если / б А [а, 6], то, согласно теореме Лебега, множество точек разрыва функции /
имеет лебегову
меру 0. В силу условий примера, множество точек разрыва функции
tp 1акже
имеет лебегову
меру 0, поэтому
<р б
R [а,
Ь ] . Согласно свойству 2), п.
1.6, функция
а =
/ — <р интегрируема на [а, 6], а из примера 14 следует, что |с*| б А [а, 6]. При произвольном раз
биении П сегмента [о,
Ь] каждый сегмент [х,, т.+ i] содержит хотя бы одну точку, в которой
ь И = 0, следовательно, ,9п(|а|) = 0, sup{Sn(/)} =
/|a |< ix = 0,
/|c*(x)|dx =
f \ a \ d x = 0. По-
{ П } “ — a — b b b b b ^
j |«(x)|
dx,
to
J a (
x) dx =
f (/(x ) —
ip(x)) dx = f /(x )
dx —
f tp{x) dx = 0.
