Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл

338
Гл. 4. Определенный интеграл
Теорема 4 (ф орм ула и н тегр и р о в ан и я по ч ас т я м ). Пусть / : [а, 6] —►
9 ■ [°> Щ —* К
6 
Ь
и существует какой-либо из интегралов Стилтъеса 
J f (x)dg(x), J д{х) df(x). 
Тогда суще-
а
а
ствует и другой интеграл, причем справедлива формула
ь 
ь
J
f ( x )dy(x) = f{x)g(x)\ b
a -
J
g ( x ) d f ( x ) .
(
1
)
8.4. К лассы функций, интегрируемых по Стилтьесу.
Теорема 1. Если функция / непрерывна на сегменте [a, ft], то 
f
£ 5(«)[а, ft]- 
Теорема 
2. 
Если функция 
/
монотонна на сегменте [а, 
Ь], 
а 
а 
£ С[а, 
Ь], то f
€ 
Я(«)[а, 
Ь]. 
Теорема 
3. 
Если 
f £
Я [a, ft], 
а а 
удовлетворяет условию Липшица на [а, 6], то 
f
£
5(cv)[a, 6].
Пусть h : J —г R — функция ограниченной вариации на сегменте J  = [а, Ь], / •' J — К — 
произвольная функция. Согласно теореме 4, § 5, функция h представима на J  в виде
h = а - /3,
где 
« 
и 
)9 — неубывающие на этом сегменте функции.
О п ред елен и е. Полагаем
ь 
ь 
ь
J
/ { х ) д к ( х ) Л
= 
j
f(x)dcy(x) -
J
f ( x ) dp(x),
(
1
)
если f  € 5(о)[а, ft], / € 5(/$)[а, ft], и при этом будем писать / € S(ft)[a, 6].
.Г
Теорема 4• Если f  € R[a, ft], <р 6 Я [о, А], д(х) = уо + / <p(t)dt, а ^ х ^ ft, уо = const, то
а
/ € S(g)[a, ft] и при этом
J
f ( x ) d g ( x ) =
j
f(x)
(
2
)
8.5. Вычисление интеграла С тилтьеса.
Теорема. Пусть f £ ('[а, ft], а функция д кусочно-непрерывна на [a, ft] и имеет инте­
грируемую на этом сегменте производную которая существует в каждой точке непре­
рывности функции у. Пусть а: о = а, 
х\, . . .
, 
х*п 
— b — точки разрыва функции g и ее 
производной у ' . Тогда справедлива формула
J
f ( x ) d g ( x ) =
J
f ( x ) g ' ( x ) d x + f{a)(g(a + 0 ) - g ( a ) ) '
+ т
ш
- g(b - 0 ) ) + J 2
+ 0) - g(xl -  0)). 
(1)
>
0 = 1
8.6. Теорема о среднем и оценка интеграла Стилтьеса.
Теорема 1. Пусть / : [a, ft] —* К, т ^ f ( x ) ^ М Ух £ [a, ft], g : 
[а, 
6] —> R не убывает на 
[а, Ь] и f £ 5(з)[а, Ь]. Тогда справедлива формула
ь
J
f ( x) 
dy{x) = ц(д(Ь) - g(a)), 
(1)
где m ^ p ^ M .

§ 8. Интеграл Стилтьеса
339
С лед стви е. Если f £ С[а, 6], т о Э£ £ [о, 6]:
ь
J  
/(* ) dg{x) = /(£)(jf(6) - з(а)). 
(2)
*• R — функция ограниченной вариации на [о, 6],
J  
/ (x)dg(x)
Теорема 2. Если /
£ 
С[а, 6] и д : [а, 6]
то справедлива оценка
ь
*5 M V (д; а, Ъ),
(3)
где М = max |/(х )|, V(g; а, b) — полная вариация функции д.
1 4 9 . Пусть функция 
су
возрастает на [а, Ь], а ^ х0 ^
Ь, а
непрерывна в точке хо,
ь
} { х
о) = 1 и 
f ( x ) =
0, если 
х ф хо-
Доказать, что /
£
6] и /
f ( x ) d a ( x )
= 0.
а
◄ 
Из 
непрерывности функции « в точке хо следует, что
V e > 0 3 5 > 0 : V x € .S(xo, 5) =*• |«(х) — а(хо)| <
Пусть П — такое разбиение сегмента [а, 6], что гДП) < 
6.
Если точка хо принадлежит 
сегменту [.г;, x;+i] при некотором 0 ^
г
^
п
— 1, то 5 п (/, «) = a(xj+ i) — or(xj) = a(xi+i) —
cv(xo) + cv(xo) — «(г;) < e, S n (/, cv) = 0, следовательно,
0 ^
S n ( f ,
tv) - 5 п (/, 
a) < e
и 
f £
S(a)[a, 6].
Поскольку ,S'n(/, 
«) =
0 при любом разбиении 
П 
сегмента [а, 6], то
6
f
f
da = sup{,Sn(/, 
а)} =
f
/(х ) dre(x) =
J
{П} -
J
0. ►
1 5 0 . 
Функции [jj
: [—1, 1] —> R, j
= 1, 2, 3, определены следующим образом: /?Дх) = 0, 
если х < 
0, 
/3,(х) = 1, если х > 
0, 
Pi(0) =
0, 
/?2(
0) 
= 1, /З3
(0) 
=
Пусть / — ограниченная функция на [—1, 1].
а) Доказать, что / £ »S'(/ii)[— 1, 1] 
/( + 0 ) = /(0 ) и что в этом случае
1
/
f ( x )
сДД(х) = /(0 ).
б) Сформулировать и доказать аналогичный результат для /?2 •
в) Доказать, что 
f £
.Ь'(Дч)[— 1, l] -<=>• / непрерывна в точке х = 0.
г) Пусть / непрерывна в точке 
х.
= 0. Доказать, что
i
l
l
J
f { z ) d f h { x ) = 
j
f ( x ) d p 2(x) = 
J
/ ( х ) # з ( * ) = /(0).
-1 
-1 
-1
а) Необходимость. Если / 6 S(/Ji)[—1, 1], то, согласно свойству 3), теорема 1, п. 8.3,
1
0
1
1
f
6 
0 ] A f £ S(pi)[0,
1] Л 
J f ( x ) d l h ( x )
= у*/■(*) d>9i (ас) + у*/(*) djffi (*) =
i(*),

340
Гл. 4. Определенный интеграл
о
так как / Д х ) ^ М * ) =
о.
-1
Из существования J f ( x ) d p i ( x )  следует, что Ve > 0 существует такое разбиение П сег- 
о
мента [0, 1], что
0 ^ 5 п (/, Pi) ~ Sn ( f , Pi) < е.
Поскольку 
P i ( n +i) 
-
Pi(xi)
= 0, если г ф 0, и 
P i ( x: ) 
- Pi(x0) = 1, то
0 ^ S n ( f ,  f t ) - . S n ( / , j 8 i ) = w o < e ,
(1)
где w0 — колебание функции / на сегменте [то, хч] = [0, хч]. Тогда для любого разбиения П* 
такого, что 4(П*) < (](П), получим неравенство
S i r (/, Pi) - 5п* (/, Pi) = w*0 < е, 
(2)
из которого, согласно критерию Бэра, следует, что функция / непрерывна справа в точ­
ке х = 0:
/С+о) = /(о).
Достаточность. Пусть /(+ 0 ) = /(0 ), т. е. функция / непрерывна справа в точке х = 0. 
Тогда Ve > 0 3 5 > 0: на интервале ]хо, х0 + 6[ колебание uif функции / удовлетворяет 
неравенство Wj < е .
Возьмем произвольное разбиение П сегмента [—1, 1], в которое входит точка х = 0, такое, 
чтобы d(П) < 5. Тогда 0 ^ -S'n(/, Pi) — Sn( f , Pi) < е, следовательно, / € .S(/?i)[—1, 1].
Поскольку при любом разбиении П сегмента [—1, 1], содержащем точку х = 0, выполня­
ются неравенства
1
mi ^ j f {x) dpi (x )  < Mi, 
(3)
где 
m i =
inf {/(x)}, Mi 
=  
sup {/(x)}, и lim 
m i =
lim Mi = 
/ ( 0 ) ,
t o
xl —+° 
*1-*+°
/
f(x) dPi (x) = Д 0).
б) Рассуждая аналогично, получаем
/€ .S ( jf c ) [ - l, 1] «V Д - 0 ) = ДО),
1
и при этом J  /(х)б?/3г(х) = / ( 0 ) .
—1
в) Пусть П — произвольное разбиение сегмента [—1, 1] и точка х = 0 не входит в П. 
Если 0 € ]хj , Xj+i[, то .Ь’п (/, 
рз) 
— ,Чп(/, 
рз)
= w3, где ш3 — колебание функции / на сегменте
[xj, Xj+i]. Следовательно, (w3 -> 0 при ДП) -*■ 0) 
( / ( - 0 ) = ДО) V Д + 0 ) = ДО) V Д - 0 ) =
= ДО) Л /(+ 0 ) = ДО)).
Если точка х = 0 входит в разбиение П и принадлежит сегменту [xjl Xj+i], то Sn ( f , Рз ) -
Sn (f ,
Рз) 
= 
+ w ^ ) ,  где Ц 1) — колебание функции / на сегменте [х3, 0], J ' p  —
колебание функции / на сегменте [0, Xj+i]. Следовательно,
■9п(/> 
Рз) 
~ Sn{f,
Рз)
—►
0 при ДП) —►
0 & lim Д х ) = /(0),
— 
х
—*-0
т. е. / непрерывна в точке 
а: 
= 0. Таким образом, ( / € .9(Д3)[—1, 1]) & ( / непрерывна в 
точке х = 0, и при этом
I
J / { x ) d p 3 ( x ) = m ) .

жүктеу/скачать 16,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: