1 5 4 . Пусть G'(x) = h(x) + д(х),
а
^ х ^
Ь,
где h £
С ^ \ а , b],
h'(x) ^ 0 Vx £ [а, Ь], а д и
/ — функции, заданные в предыдущем примере. Вычислить
о
/
f dG( x )
◄ Поскольку
G
— неубывающая на сегменте
[а, Ь]
функция, равная сумме двух неубыва
ющих на
этом сегменте функций, то, согласно формуле (1), п. 8.5, имеем
ъ
ъ
ь
j
f (x) dG(x) =
j
f (x) dh(x) +
J
f(x)dg(x).
a
a
a
b
b
Поскольку
h
£ C^^[a,
b],
to
f f (x) dh(x)
=
J f (x) h' ( x)dx,
следовательно, получаем
a
a
6
b
b
J
f ( x ) dG(x) =
J
f (x) h' ( x)dx +
J
f{x)dg(x),
a
a
a
b
где
f f ( x ) dg(x)
вычисляется по формуле, полученной в предыдущем примере.
►
a
1 5 5 .
Пусть
/ £ С[а, Ь], р £ R[a,
b],
р(х) ^ 0 Ух £ [а,
6]. Доказать, что
О
О
J
f ( x ) d P( x ) =
J
f{x)p(x)dx,
X
где Р(х) = J p { t ) dt, а ^ х ^ Ь.
а
-4
Рассмотрим произвольное разбиение П сегмента [а, Ь] и составим интегральную сумму
Стилтьеса функции / по функции Р:
7 1 - 1
7 . - 1
1 * + 1
5п(/, P) = X ]/№ )(^(* .+ i)-^(* .)) = X )/(f.) /
£.€[**, *,+i].
i=0
t=0
^
х г
Составим также риманову интегральную сумму интегрируемой на сегменте [а, Ь] функции f p :
it—1
Sn{fp) =
Д г -'
§ 8. Интеграл Стилтьеса
343
и рассмотрим разность
i+i
•Vn(/, Р) - Snifp) = Y ; f ( b ) (
J
p ( z ) d x - p ( b ) A x i \ .
Согласно первой теореме о среднем, имеем
■г-i+i
p( x) dx = Pi Ах,,
J
где го, =
inf
{v ( x ) } , M i =
sup
{р(х)}. Принимая во внимание оценку |/( х ) |
< М,
а ^ х < Ь, М = const, неравенство |/т,-р(£;)1 < w;, где ш, — колебание функции р
на сегменте
[жг, x;+i], а также интегрируемость функции р, получаем, что Ve > О ЭЙ > 0:
71 — 1
|.9П(/, Р ) ~ 5 п (/р )| ^ M ^ u j . A x i K е,
1=0
для каждого разбиения П, для которого ^(П) < S.
ь
Таким образом, 3 lim S„( f , Р) = lim
Sn(fp)
= f
f(z)p(x) dx.
Следовательно,
d(n)—0
d(n)->0
a
b
b
f
€ £(.P)[a, Ь] и /
f (x ) dP(x)
=
J
f(x)p(x)dx.
►
a
a
'
2
1 5 6 . Вычислить
J
xdg(x),rjs,e
- 2
{
x + 2,
если — 2 ^ x ^ —1,
2,
если — 1 < x < О,
x2 + 3,
если 0 0 ^ 2 .
■ 4
Функция д имеет скачки, равные 1, в точках
х
= —1 и
х
= 0,
а
ее
производная
д1
имеет вид
(
1,
если — 2 ^ х <
—1,
д'(х) = < 0,
если - 1 < х < О,
I 2а:, если 0 < х < 2.
Применяя формулу (1), п. 8.5, получаем
£
—
I
£
J
xdg(x) =
J
х dx +
2
J
х2 dx + (—
1)
•
1
+ 0 •
1
= —
ж 2 з
+ з 1
1 5 7 .
Пусть на сегменте
[а, 6]
оси
Ох расположены массы, непрерывно распределенные
и сосредоточенные в
точках
х 3
,
j = 1, п.
Найти статический момент этих масс относительно
начала координат.
■4
Пусть х
ь-.
Ф (х),
а ^
х
< b, — количество массы на сегменте (а, х] С [а, 6], причем
Ф(а) = 0. Тогда Ф —
неубывающая функция. Пусть П
—
произвольное разбиение сегмента
[а, 6] на п частей. Тогда на сегменте [х,, x,+ i]
содержится масса Ф(х;+
1
)
—
Ф(х.)
=
ДФ(х.).
В частности, на сегменте
[ х о ,
Si]
содержится масса
®(xi)
—
Ф(а) ^ 0 (в силу предположе
ния Ф(а) = 0). Считая в каждом случае массу сосредоточенной на
правом конце сегмента
[x'i, x, + i], получим приближенное значение статического момента
dM всей массы относи
тельно начала координат
в
виде
П — 1
dM «
АФ( хг) = Sn(x, Ф),
1
=
0
344
Гл. 4. Определенный интеграл
где х по функции Ф. Переходя к пределу
при й(П) —►
0, получим для вычисления искомого статического момента М формулу
М =
Если х к-» fi(x) — линейная плотность непрерывно распределенной массы, то Ф'(х) = /i(x).
В точках х} , j = 1, m, функция Ф разрывна и в каждой из этих точек ее скачок равен
массе mj.
Применяя формулу (1), п. 8.5, для вычисления интеграла Стилтьеса, находим
М =
►
Полученная формула показывает, что интеграл Стилтьеса позволяет объединить с помо
щью одной интегральной формулы разнородные случаи непрерывно распределенных и сосре
доточенных масс.
Упражнения для самостоятельной работы
166. Пусть / : х (-* sin х,
<р
: х i—
►
х2 — Зх + 5, 0 ^ х ^
167. Пусть f •. х
х3, 0 ^ х ^
<р : х
к, если
1
Вычислить f f ( x ) dip(x).
о
j . Вычислить f f(x)d
о
^
< X ^
<р(0) = 0, к - 1, п.
5
168.
Пусть /
(р
■.
х
[х2], 0
^
х
^ 5.
Вычислить f f(x)d
о
169. Пусть / : ж t—>• х 2, 0 ^ х ^ 1, <
р(х) = 0, если ® € [О, j [ и х € ] j , l ] , <
р ( j ) = 1.
i
Вычислить Jf(x)d(p( x).
о
170. Пусть / : х
х2, 0 ^ х ^ 1, ip(x) = 1, если х 6 ]0, 1[, <р(0) = <р(1) = 0. Вычислить
/ / ( х) d
г
1
г о,
если х - —1,
171. Вычислить J xd
где <р(х) = < 1-
если — 1 < х < 2
1. -1 ,
если 2 ^ х < 3.
2
2
2
172. Вычислить f xd
(x3 + 1 )d
где
- 2
- 2
- 2
ip(x)
x + 2, если — 2 ^ x ^ —1,
2,
если - 1 < x < 0,
3,
если 0 ^ x ^ 2.
173. Пусть / — функция ограниченной вариации на сегменте (0, 2тг] и /(2 т ) = /(0 ).
Доказать, что каждый из интегралов
2тг
2тг
/ / ( * ) cosnxdx,
J
/(x )s in n x dx
о
о
не превосходит v^ ' 2п^ по абсолютной величине.
345
§ 9. Приближенное вычисление определенных интегралов
§ 9. Приближенное вычисление определенных
интегралов
1°. Ф ормула прямоугольников. Если функция у{х) € С ^ [ а , fe]; h = yj—; Xi = а + ih
(i =
0
,
1
, . . . , n ) ;
у(х{) = yt,
t o
0
J
y(x) dx = h (y0 + yi + . .. + yn~
i
) + R n,
где Rn = ^ V ( S ) , a <
b.
2°. Ф ормула трапеций. Если у = у(х) 6 С^2^[а, 6], то при тех же обозначениях имеем
ь
j
у(х) dx
=
h ( —~+2 Уп
+ y i +
У
2
+ ■ ■ ■
+ г / п -
1
^ +
R n
а
где R n = - (ь
у" (у), а ^ 1 ) 4 Ь.
3°. Ф ормула парабол (формула Симпсона). Пусть у = у(х) £ С ^ [ а , 6]. Полагая
п — 2к, можно получить формулу Симпсона
О
/
у(х) dx = - ((уо
+
У
2
к) +
4(г/1 + уз + • • • +
V
2
k - i )
+ 2 (у2 + J/4 + • • • +
У
2
к-з))
+
Rn,
где R n = ~ ^
0)ftV IV)(C), а
^ b .
Примечание. Если имеет место формула
||~ - г||о = Шах|г, - zj| $ Mhn,
где z, — приближенное япачечие вeлпчmп, ?,•. гычисленное по некоторой формуле, то говорят,
что эта формула в некотором классе функций имеет n-й порядок точности (М > 0 — постоянная,
не зависящая от h).
Таким образом, формула прямоугольников имеет в классе у £ С^1) [о, 6] первый порядок точности,
формула трапеций в классе у £ С^2)[п, 6] имеет второй порядок точности, формула парабол
В
классе у £ С(4)[а, Ь] имеет четвертый порядок точности.
Часто вместо нормы || • ||о берут другие специальные нормы, выбор которых зависит от характера
решаемых задач. В дальнейшем отрезок [а, Ь] с выделенными на нем точками ад = а + ih (i —
О, 1 ,..., и) будем называть равномерной сеткой с шагом h; точки деления г, называются узлами
сетки.
158.
Применяя формулу прямоугольников
(п
= 12), приближенно вычислить I =
21Г
J
х sin х dx и результат сравнить с точным ответом.
о
< Рассмотрим равномерную сетку на отрезке [0, 2ж] с шагом h =
тогда I, = *f (* =
О, 1 , 2 , . . . , 12). По формуле прямоугольников, имеем
/
,
ж
\ .ж . .ж
ж2
. . гж
ж2 I т —v
* s.n х dx * - ^
sin
г -
= - ^
ism у = - -
^
cos ,*
1=0
г=0
(б sin 6х •
ж
’36
2 I cos 6х • sin —х
ж
36
sin у х - у cos —х ■ cos 6х) sin |
. о х
sin2 J
346
Гл. 4. Определенный интеграл
1
.V
. .
.
1 1
г cos —
cos Ox sm — х
2
ь_____
&
• 2 *
S1" а
О
/ 1 1
1 1
•
7Г
1
тг
•
1 1
\
* (YCOSj^rsm - - - cos Н ЗШП
7
Г) _
36
• 2 ТГ
sm -
- 1
1
= - у Ctg £ = - у (2 + V3) * -6,2961
* 2 JT
sm -
(взяли ?г » 3,14; ч/З ~ 1,73). Точное значение интеграла I = —
2ж
= —6,28 ... . ►
159.
О помощью формулы трапеций вычислить интеграл
j f - ' r
sin" х dx (и =
6
)
и оценить погрешность формулы.
Ч Построим на отрезке [о,
равномерную сетку с шагом h = уу:
{х; = *
75
;
» = 0, 1, 2, 3, 4, 5, б}. По формуле трапеций
f | 2 + V3 ,
1
12 V
■к ( 2
24 \
т / 2 + чД
1
24
+ ^ £ \ / 7+ cosi? ) =
+
л
/3 , 1 /
v
/
t
I +
л
/
з
, л/15 , ^ , л/13 . \ / 14 — т/З
2
+ V2 I
V2
a / 2 +V/ + a / 2 +
V2
,
= —
(2
+
4
/
3
+ \ / ] 4 -t- v/3 + \/Тб + ч /н + л/Гз + \ / l 4 - ч/З) и
.4 1 4 2
Я
149
. о о
490
Я - Ц - - (3,732 + 3,966 -I- 3,873 + 3,742 + 3,606 + 3,503) я
~ 1,4677.
48 4
48
Оценим погрешность формулы тралении; для отого оценим Яп .
Очевидно,
\R n\
$
max !/"(»,) |.
В нашем случае max
1 — у sin2
х
<■ _17
^ 14'7
н
'
Таким образом, |Д„| ^ :>в ззУ /fT ^ 0,002. ►
160.
С помощью формулы ( чгмпсона вычислить интеграл
' - У г
+ ЯГ
Ч
Деля отрезок [0, 1] на четыре равных части (Л = у ), по формуле Симпсона имеем
I
« £ ((До + Дг) +
4 ( Д 1
+ у.,) + 2дг) «
^ (1
+
0,5
+
3,76471
+
2,56
+
1,6)
=
0,78539.
►
161.
Принимая п — 10 , вычислить константу Каталана
1
G = j
^ £ < i x .
Ч
Построим равномерную сетку с шагом h = 0,1 {х; = ill; i = 0, 1 ,...,1 0 } и вычислим
приближенно
G
по формуле Симпсона
G = ~
((до +
дю) + 4(yi + Дз +
уь
+
Д7 + До) + 2 (
д
2 + Д4 + До + Д а )).
Вычисляя соответствующие значения функции с точностью до пяти знаков после запятой,
получаем
До
= 1; Дю = 0,78540;
д0
+ Дю = 1,78540; Д
1
= 0,99668;
д3
= 0,97152; д5 = 0,92730;
|