Байланысты: Anti-Demidovich Lyashko I I i dr Tom 1 Vvedenie v matematicheskij analiz proizvodnaja integral 2001 ru T 358s
§ 8. Интеграл Стилтьеса 341 г)
Если / непрерывна в точке х = 0, то одновременно выполняются все предыдущие
случаи и при этом
1
1
1
J /(*)/?!(*) =
j /(*)d&(*) =
j /(*)dj83(*) = /(0). ►
-1
- l
-1
1 5 1 .
Используя обозначения задачи 150, доказать, что
/?2
€ 5(/?i)[—1, 1] несмотря
на
то,
что lim 6'п(A , /?i) не существует.
ci(II)—*-0
< Интегрируемость функции faпо функции fa следует из случая а) примера 150, причем
1
( J /?2(x)d/?i(x) = #г(0) = 1.
-1
При любом разбиении П сегмента [—1, 1] и произвольном выборе точек
£ [ж;, ач+г],
« = 0, н — 1, имеем, если 0 £
[х3, xJ+i]:
1 = 0
^
Следовательно, lim 5 ц (fa, /?i) не существует. ►
r-\
Л(П)-0
Этот пример показывает, что условием а £ С[а, Ь], о котором говорится в теореме пункта 8.2,
нельзя пренебрегать.
о '
1 5 2 . Показать, что
з
J xd([x]-x) = о
◄ Интегрирующая функция хь-»[ж] — ж , 0 ^ ж ^ 3 , представлена в виде разности неубыва
ющей функции
1
и [i], 0 ^ I ^ 3, и возрастающей функции i ь» л, 0 ^ i ^ 3, следовательно,
согласно определению интеграла Стилтьеса по интегрирующей функции ограниченной вари
ации, имеем
з
J х о
X <1х. Функция х к-, [х], 0 ^ х
3, терпит разрывы первого рода в точках х = 1, х = 2 и х = 3, а
функция / : х
х, О ^ х ^ З , непрерывна в каждой точке сегмента [0, 3], поэтому, согласно
решению примера 151, получаем
з
J * ф ] = /(1 ) + /(2 ) + /(3 ) = 6.
О
3
Поскольку f х dx =
то окончательно имеем
о
J x d ( [ x ] - x ) = 6 - | = | . ►
о
153. Пусть
p i — точки сегмента [a, fe] такие, что
а = р 0 < p i < . . . < р п = Ь. Пред
положим, что функция д : [а, 6] —►
R не убывает на сегменте [а, 6] и постоянна на каждом
интервале ]р;, p,+i[, i — 0, п — 1. Пусть / : [а, Ь] —<-*К, / £ С'[а, 6]. Вычислить
ь J f(x)dg(x).
342
Г л. 4. Определенный интеграл
■4 Функция д терпит разрывы первого рода в точках р, , а функция / непрерывна на
сегменте [а, 6]. На основании решения примера 151 можно утверждать, что / £ 5(jr)[a, b], причем
ь
J / ( * )
=
f(po)(g(po +
0)
- д(ро)) +
а
+ ^ / ( р < ) ( ( г ( р < + °)
-
a(pi)) + (д(п) - д(р> - о))) + f ( p n)(g(pn ) - д(рп ~
о)) =
t = l
п—
1
= /(«)((“ + о) - з(а)) + ^f(p0(g(pi + °) -
g(pi - °)) + f(b)(g(i>) - з(ь - о))- ►
г = 1