Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл



Pdf көрінісі
бет127/135
Дата31.10.2022
өлшемі16,21 Mb.
#46579
1   ...   123   124   125   126   127   128   129   130   ...   135
Байланысты:
Anti-Demidovich Lyashko I I i dr Tom 1 Vvedenie v matematicheskij analiz proizvodnaja integral 2001 ru T 358s

§ 8. Интеграл Стилтьеса
341
г) 
Если / непрерывна в точке х = 0, то одновременно выполняются все предыдущие 
случаи и при этом



J
/(*)j
/(*)d&(*) = 
j
/(*)dj83(*) = /(0). ►
-1 
- l
-1
1 5 1 .
Используя обозначения задачи 150, доказать, что 
/?2
€ 5(/?i)[—1, 1] несмотря 
на 
то, 
что lim 6'п(A , /?i) не существует.
ci(II)—*-0
< Интегрируемость функции fa по функции fa следует из случая а) примера 150, причем

(
J
/?2(x)d/?i(x) = #г(0) = 1.
-1
При любом разбиении П сегмента [—1, 1] и произвольном выборе точек 
£ [ж;, ач+г], 
« = 0, н — 1, имеем, если 0 £ 
[х3,
xJ+i]:
1 = 0 
^
Следовательно, lim 5 ц (fa, /?i) не существует. ►
r-\ 
Л(П)-0
Этот пример показывает, что условием а £ С[а, Ь], о котором говорится в теореме пункта 8.2, 
нельзя пренебрегать. 
о '
1 5 2 . Показать, что
з
J
xd([x]-x) =
о
◄ Интегрирующая функция хь-»[ж] — ж , 0 ^ ж ^ 3 , представлена в виде разности неубыва­
ющей функции 
1
и [i], 0 ^ I ^ 3, и возрастающей функции i ь» л, 0 ^ i ^ 3, следовательно, 
согласно определению интеграла Стилтьеса по интегрирующей функции ограниченной вари­
ации, имеем
з
J х
о
<1х.
Функция х к-, [х], 0 ^ х 
3, терпит разрывы первого рода в точках х = 1, х = 2 и х = 3, а 
функция / : х 
х, О ^ х ^ З , непрерывна в каждой точке сегмента [0, 3], поэтому, согласно 
решению примера 151, получаем
з
 
* ф ] = /(1 ) + /(2 ) + /(3 ) = 6.
О
3
Поскольку f х dx =
то окончательно имеем
о
J x d ( [ x ] - x ) = 6 - | = | . ► 
о
153. 
Пусть 
p i
— точки сегмента [a, fe] такие, что 
а = р 0 < p i < . . . < р п = Ь.
Пред­
положим, что функция д : [а, 6] —►
R не убывает на сегменте [а, 6] и постоянна на каждом 
интервале ]р;, p,+i[, i — 0, п — 1. Пусть / : [а, Ь] —<-*К, / £ С'[а, 6]. Вычислить
ь
J f(x)dg(x).


342
Г л. 4. Определенный интеграл
■4 Функция д терпит разрывы первого рода в точках р, , а функция / непрерывна на 
сегменте [а, 6]. На основании решения примера 151 можно утверждать, что / £ 5(jr)[a, b], 
причем 
ь
 / ( * )
=
f(po)(g(po
+
0) 
- д(ро)) +
а
+ ^ / ( р < ) ( ( г ( р < + °) 

a(pi)) + (д(п) - д(р> 
о))) + f ( p n)(g(pn ) - д(рп ~
о)) =
t = l
п—
1
= /(«)(g(pi - °)) + f(b)(g(i>) - з(ь - о))- ►
г = 1


Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   123   124   125   126   127   128   129   130   ...   135




©emirsaba.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет