Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл
§ 8. Интеграл Стилтьеса
жүктеу/скачать 16,21 Mb. Pdf көрінісі
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Гл. 4. Определенный интеграл
| 336
§ 8. Интеграл Стилтьеса 8.1. Верхний и нижний интегралы С тилтьеса. Критерий интегрируемости. Пусть / : 3 —г R, J = [о, Ь], — ограниченная на сегменте 3 функция, а : 3 —> ■ К — неубывающая на этом сегменте функция, П = {а = хо, xi, ... , х п = 6} — произвольное разбиение сегмента J . Образуем верхнюю и нижнюю интегральные суммы Гл. 4. Определенный интеграл n —1 n — 1 Sn( f , «) = Mi A«i, Sn( f , «) = Да,', i=0 i=0 где Mi = sup {/(x)}, nii = inf {/(x)}, Ao;i = or(xi+i) — •+1 и введем в рассмотрение числа J fdai = inf ( Sn( f , a)}, f d n = sup{Sn(/, a)}, J {n} - которые называются соответственно верхним и нижним интегралами Стилтьеса. О п ред елен и е. Если f f da = f f da, то общее значение верхнего и нижнего интегралов назовем интегралом Стилтьеса функции / по функции а (или относительно функции а ) и обозначим его ь J f( x) da( x) . а Множество всех функций / , интегрируемых по Стилтьесу относительно функции а на сегменте [«, Ь], обозначим / € S(cv)[a, Ь]. Из этого определения следует, что при «(х) = х интеграл Стилтьеса совпадает с интегра лом Римана функции / на сегменте 3 . _ В общем случае функция а может быть разрывной на 3 . Функцию cv называют инте грирующей функцией. Теорема (критерий интегрируемости). / € .S’(tv)[a, 6] -Ф> Ve > О ЭП : 0 ^ 5 п (/, «) — 5 п (/, о) < е. 8.2. И нтеграл С тилтьеса как предел интегральной суммы. Пусть П — произвольное разбиение сегмента 3 , <^(П) = шах Аас, . На каждом сегменте [х;, x.-fi] возьмем произвольную точку С и образуем сумму П —1 •Ьп(/, «) = У 1/($.-) Аог,-, ,=о которую назовем интегральной суммой Стилтьеса. Полагаем liui Sai f, cv)d= f , если < ( ( П ) ~ 0 Ve > 0 38 > 0 : УП А с?(П) < 6 |5 п (/, cv) - J\ < £• Теорема. Если: 1) при <2(П) ^ 0 3 1шг5п(/, «), то / € S(«)[a, 6] и lim Sa (/, d(n)_o f ( x) da(x); a |