Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл

Гл.  2.  Дифференциальное исчисление функций одной переменной

жүктеу/скачать 16,21 Mb. Pdf көрінісі бет 61/135 Дата 31.10.2022 өлшемі 16,21 Mb. #46579

Гл.  2.  Дифференциальное исчисление функций одной переменной ◄ На каждом из сегментов [x;_i, х,], i = 1, п, выполнены все условия теоремы Ролля для  функции / , следовательно, существует не меньше п точек £, б ]х 0, х„[ таких, что /'(£>) = 0.  Для функции / ' на каждом из сегментов [£;, £j+i], j  = 1 , п —  1 , выполнены все условия  теоремы Ролля, поэтому существует, по меньшей мере, п — 1 точка ?/fc €]хо, хп[ такая, что  f"(Vk) = 0, к = 1, п — 1. Продолжая рассуждать таким же образом, приходим к выводу, что  в п — (» — 2) = 2 точках интервала ]х0, х„[ / (п_1)(0 ) = 0, » = 1, 2. Применяя теорему Ролля к  функции / (п_1) на сегменте [Ci, £ 2 ], получаем, что существует хотя бы одна точка £ ё ]х 0, х„[  такая, что /1"1(£) = 0. ► 8 3 . Доказать, что если все нули многочлена Р„(х) = а0х п + at x n~l + . . . + ап,  а0 ф 0, с действительными коэффициентами а*,, к = 0, п, действительны, то его последовательные  производные Р„, Р " , . .. , Р^”'~'^ также имеют лишь действительные нули. ◄ Предполагая, что все нули различные, по теореме Ролля получаем, что Р Ц х) имеет « — 1  действительный нуль; Р " (х) будет иметь уже п —2 действительных нуля и т. д. Но так как при  дифференцировании многочлена степень многочлена уменьшается на единицу, то получается,  что все нули производных будут действительны. Если какой-то нуль многочлена кратный, то  он же будет нулем и для производной от многочлена, т. е. также действительным. ► 8 4 . Доказать, что у многочлена Лежандра Рп(х) = 1 dn 2"п! <1хй « * - 1)") все нули действительны и заключены в интервале ] — 1, 1[. ◄ Многочлен Unix) = (х2 — 1)" имеет на сегменте [—1, 1] 2п действительных нулей: xi = Х 2 — . .. = х„ = — 1; Xn+i = 1 , 1+2 — . .. — Х 2 п — 1 • Согласно предыдущей теореме, многочлен  Рп(х) имеет п действительных нулей, расположенных, по теореме Ролля, в интервале ] — 1, 1[,  что и требовалось доказать. ► 8 5 . Доказать, что у многочлена Чебышева—Лагерра М * ) = ^ ( х - о все нули положительны. ◄ Рассмотрим функцию ip : х ь-* х пе~х . Поскольку  <р(х) = 0, то  существует х —►-foo такая точка С £]0, + оо[, что «//(О) = 0 (см. пример 81). Очевидно, у/(0) = lim р' (х) = 0, я —* + с о поэтому, в силу теоремы Ролля н на основании решения примера 81, найдутся точки  £2 £]0, £i[  и  £3 €]£ i , +оо[ такие, что уз"(£;)  = 0,  i = 2, 3. Кроме того, уз"(0)  =  0. Таким образом,  р "   обращается в нуль в трех точках полуоси х ^ 0. Поскольку lim = 0 X— »+ ОО при j  = 0, n — 1, то, применяя теорему Ролля и пользуясь п — 3 раза результатом решения  примера 81, получаем, что функция  обращается в нуль в п + 1 точках, лежащих на полуоси х ^ 0, причем одна из этих точек х = 0. Эти точки являются концами  п  отрезков,  на каждом из которых  к функции  1 pin~U применима теорема Ролля, поэтому существует, по  меньшей мере, к таких точек щ  > 0, что  = 0. Очевидно, yjlnl(0) ф 0. Поскольку Ь п { х ) = e x ip in \ x ) есть многочлен n -й степени, имеющий  п нулей, то его нули  — точки  i j k ,  причем i]k > 0,  жүктеу/скачать 16,21 Mb. Достарыңызбен бөлісу: