Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

202
Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
_С 
< Пусть П — “извилистость” трапеции. Тогда, согласно опре­
делению, имеем (рис. 55):
L
П =
2
- A s ’
D  где S -
В С + 2 а
Так как
Р и с . 55
то, обозначая А В = х, получим
П(х) =
ИД sin a; L = 2А В  + В С  + 2а. 
2а — В С — 2А В cos а,
2
а + х(1 — cos а)
(
1
)
у / * \ / (
2
а — х cos а ) х sin а 
Исследуя функцию П(х) на экстремум, находим, что она имеет минимум при .
г «
х = a sec —.
2
Из (
1
) получаем В С  = 2a tg
2
; так как половина высоты трапеции г = | sin <т равна рассто­
янию от точки 0( а, г) до стороны А В ,  то в найденную трапецию можно вписать окружность 
радиуса г. ►
197. 
Какой сектор следует вырезать из круга радиуса R, чтобы из оставшейся части 
можно было свернуть воронку наибольшей вместимости?
◄ Если под а  понимать центральный угол оставшегося сектора, то объем конуса V  равен
Д
3
24л-2
! \ / 4л
-2
— « 2.
Исследование этой функции от а на экстремум показывает, что максимум ее достигается
при
а = 2т\ ! - .
198. 
Два корабля плывут с постоянными скоростями и и v по прямым линиям, соста­
вляющим угол в между собой.
Определить наименьшее расстояние между кораблями, если в некоторый момент рассто­
яния их от точки пересечения путей были соответственно равны а и Ъ.
Рис. 
56
< По теореме косинусов имеем
г
2
= (а + гit)2 + (b + vt)2 — 
2
(а -f ut)(b + vt)
(рис. 56), где г — расстояние между кораблями в произвольный момент 
времени t.
Исследуя функцию r2(t) на экстремум, находим, что
г'(<0) =
0
; 
t 0
(bu + ею) cos в — аи — bv 
и2 — 
2
«
1
> cos в -f v2
Подставляя to в r2(t), получим
_
|ub — va\sin в
min 
V u 2 — 2uv cos в -f v2 
Если и поменять на - и , то в силу тождеств
sin(a- — в) = sin в и соз(я- — в) = — cos в
lud+val sin в
получим rm
in 
=
/ ;
*
•у
u J —2 u v  cos 
0
-f v
2
199. 
Светящаяся точка находится на линии центров двух непересекающихся шаров 
радиусов R  и г ( R > г) и расположена вне этих шаров.
При каком положении точки сумма площадей освещенных частей поверхностей шаров 
будет наибольшей?

§ 12. Задачи на максимум и минимум функции
203
◄ Найдем сумму площадей освещенных частей поверхностей как функцию расстояния х. 
Имеем (рис. 57)
S  = 2
tt
R ( R  - ®0) = 2wR2 ( l - j ' )  ;
5i = 2ят2 ^1 — 
( a ^ r + x),
где a — расстояние между центрами шаров.
Исследовав функцию S  + S\ = / на экстремум, находим значение х, при котором дости­
гается максимум этой функции; при этом
а
а ^ г + х = г +
---------- з~,
1 + (£ )5
откуда а ^ г -f RyJ — .
Если же производная / '( х ) <
0
, то максимальное значение функции / ( х) достигается при 
xi 
= 
а 
— 
г;
 
при этом выполняется неравенство
а < г -f R \  —.
г
Рис. 57
Рис. 59
2 0 0
. 
На какой высоте над центром круглого стола радиуса а следует поместить элек­
трическую лампочку, чтобы освещенность края стола была наибольшей?
◄ Под освещенностью I  понимается величина
1 = к
sin 
<р
г
2
’
угол, изобра-
где г — расстояние от источника света до точки наблюдения, к = const, <р 
женный на рис. 58. Имеем
' м = —
(а2 +
х
2)2
откуда наводим высоту ®о, при которой достигается максимум функции 1{х): х 0 = -щ. ►
201
. 
К реке шириной а м построен под прямым углом канал шириной b м. Какой 
максимальной длины суда могут входить в этот канал?
А Длина корабля I, как следует из рис. 59, равна
Ь 
а 
—------
1
-------- •
sm <р 
cos ip
Исследовав на экстремум функцию /, получаем, что минимальное значение она 
приним ает 
При
з 
[ Ъ
v  = arctg у —.
Таким образом, максимально возможная длина корабля равна
з
I
1 \  
2
о, а ф Ъ з I 
м. ►