Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл
жүктеу/скачать 16,21 Mb. Pdf көрінісі
|
Anti-Demidovich Lyashko I I i dr Tom 1 Vvedenie v matematicheskij analiz proizvodnaja integral 2001 ru T 358s
- Бұл бет үшін навигация:
- У праж нения для сам остоятел ьн ой р аботы
- § 12. Задачи на максимум и минимум функции 1 8 9 .
| х
2 ^ 0 , т. е. |х| < 1 . Нули функции: x i ,2 = при —y j < x < 1 функция у = х + \ / а ( 1 — х 2) положительна, а при —1 < х < \ J отрицательна; при — 1 < х < функция у — х — sja (1 — х 2) отрицательна, а < х < 1 — положительна. 198 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной при Находим производную у' = 1 ± > / а ( 1 - х2) Отсюда следует, что функция у = х + ^ /а ( 1 — х2) достигает при х = максимума, равного л/а + 1 , а функция у = х — \ / а { 1 — х2) достигает при х = — минимума, равного —V о, + 1 . Точки х — ± 1 являются точками “стыка” этих ветвей. Из выражения для второй производной У ( 1 - х 2) у / а { 1 - х 2) вытекает, что график первой ветви функции выпуклый вверх, а второй — вниз (рис. 48). При изменении а от 0 до -foo получим семейство эллипсов, проходящих через точки ( - 1 , 1) и (1, 1) (рис. 49); Рис. 49 б) а < 0 . Область определения функции — |х| > 1. Асимптоты у — Ацх + 6 ; у — к2х + Ь, х ± \ / —оТа :2 — 1 ) __ где fci,а = lim — *---- -------- = 1 ± 6 = 0 . I-.+ 00 х График изображен на рис. 50. ► а' 1 8 8 . у = хе а . ◄ Рассмотрим два случая: а > 0 и а < 0 . 1. а > 0. Функция положительна при х > 0 и отрицательна при х < 0. Находим производную 199 §11. Построение графиков функций по характерным точкам Отсюда следует, что при х — а достигается максимум, равный ~ . Далее, У П е откуда следует, что в точке х = 2а имеется перегиб функции у, причем при х < 2 а график X 9 функции выпуклый вверх, а при х > 2а — вниз. Так как хе_ “ —*■ 0 при х —► +оо, то прямая у = 0 является асимптотой графика функции при х —* -foo. 2 . Если а < 0 , то, как легко видеть, этот случай сводится к предыдущему, если в нем заменить у на —у, а х на —х. График семейства изображен на рис. 51, 52. ► У праж нения для сам остоятел ьн ой р аботы Построить графики следующих функций: 404. а) / ( х ) = sup {sin х, cos х, tg х}; б) /( х ) = inf {sinx, cosx, tgx}. 405. x = tcost , y = tsi nt , z = t. 406. x = acost, у = acos2<, £ = cos3t. Найти геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют следующим урав нениям: 407. ( l — х 2 — |1 — х2\)2 4- у2 = 0. 408. (2 - х 2 - |1 - х 2\ - | 1 - у| - |у|) ( 2 - у2 - |1 - у2\ - |1 - х| - |х |) = 0. 409. х 2 + у 2 + 9 - |х 2 4- у2 - 1| - |2 - у\ - \у + 3| - |х| - |5 - х| = 0. 410. 2 - у - |1 - х - у| - |1 + х - у| - |у| = 0. § 12. Задачи на максимум и минимум функции 1 8 9 . Доказать, что если функция /( х ) неотрицательна, то функция F( x) = с / 2 (х) (с > 0 ) имеет в точности те же точки экстремума, что и функция / ( х ) . ◄ Для определенности предположим, что в точке х 0 функция /( х ) достигает максимума. Тогда существует такое 6 > 0 , что для всех х из окрестности 0 < |х — х0| < 6 справедливо неравенство /( х ) < /(х о ). Т ак как /( х ) ^ 0 и с > 0 , то из последнего неравенства следует: c f 2(х) < с / 2 (хо), т. е. F( x) < -F(xo). Последнее означает, что в точке х 0 функция F( x) достигает максимума. В случае минимума поступаем аналогично. ► 190. Доказать, что если функция <р(х) монотонно возрастает в строгом смысле при —оо < х < + о о , то функции f ( x ) и p ( f ( x ) ) имеют одни и те же точки экстремума. ◄ Пусть в точке хо достигается максимум функции / ( х ) . Тогда при всех х из окрестности О < |х — Хо| < 8 справедливо неравенство /( х ) < /(х о ) = /о- Так как функция р ( х ) монотонно возрастает в строгом смысле, то из неравенства / < /о следует неравенство ¥>(/) < что и требовалось доказать. Аналогично, предположив, что в точке хо функция р (/(х )) достигает 1 максимума, придем к выводу, что функция /( х ) также достигает максимума. ► 191. В каких системах логарифмов существуют чи сла, равные своему логарифму? ◄ Пусть у — основание искомой системы логарифмов. Тогда согласно условию имеем logj, х = х (х > 0 , у > 0 , у ф 1 ). 1 откуда у — х~х . Функция у уже исследована нами в примере 174. Из 1 него следует, в частности, что у не превышает утах = е ё , т. е. во всех системах с основанием у ( 0 < у < ее } у ф 1 ) 192. в данный круговой сегмент, не превышающий полукруга, вписать прямоугольник с наибольшей площадью. 4 Пусть высота прямоугольника х, ширина 2 у. Если обозначить через 2 « дугу сегмента, а через 2<р — дугу, стягиваемую стороной пря моугольника, то получаем, что у = i? sin ^ ; х = ОЕ — O B = R(costp — cos а) (рис. 53). Следо вательно, площадь прямоугольника равна S = 2 ху = 2R2 sin ^(cos tp — cos a). Приравнивая нулю производную S'(tp) = 2 R 2 ( 2 cos 2 p — cos p cos tv — l ) = 0 , жүктеу/скачать 16,21 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|