Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл

248
Гл. 3. Неопределенный интеграл
1 3 5 . в каком случае интеграл / Р ^ j ех dx, где Р  ^ j = а 0 + ^ - + - - - + ^ - и
«о, a j , . . . , ап — постоянны, представляет собой элементарную функцию?
◄ Используя обозначения примера 134 и интегрируя по частям, получаем
/ р ( 1 ) e*dx = 
J
 
(ао + ^ + . . . + J l )
e*dx =
х
. 
i* / .с\ 
^ 2
х
, 
1
* / а:\ 
0>Z
 
&3 •• / х \
=
аое +
“ 4 
h
(е ) 
- — е 
+
«2 li (е ) - — - —
+ _ h (е )
&П
(п — l)*"
(и — 1)(п — 2)хп
+
ап
(га — 1)! х 
(га — 1)!
-и ( О .
Отсюда следует, что если
, “а . аз ,
Й1 + ТГ+ ¥ +
+
= о,
(и - 1)!
то данный Интеграл есть элементарная функция. ►
Найти интегралы:
1 3 6 . j  ( l - I ) ' ?X dx.
4 Используя обозначения примера 134 и интегрируя по частям, получаем
/ ( * - ! ) е/г'
dx
= / 0 -
\
+ i ) е* ^ = е* - 411 (е*)-
-хе*
+ 411 (е*}=е* 0 - й + с ’
I / 0 . ►
Упражнения для самостоятельной работы
Найти интегралы от следующих трансцендентных функций:
119- / ^ I T T F -
120- /
н
^ -
121. / c h 4xdx.
122. ( ch2x sli2x dx. 
123. / а f 
. d x .
J
J x 2 —
 З. т+ 2
§ 6. Разные примеры на интегрирование функций
Найти интегралы:
1 3 7 . I ---- ^ — 5-.
J
1 + х4 + х8
4  Представляя знаменатель в виде 1 + х4 + х8 = (х4 + I)2 — х4 = (х4 + х2 + 1)(х4 — х2 + 1), 
разложим подынтегральную функцию на простые дроби:
1 - х2
1
1
X2 + 1
■
+
1 + х4 + х8 
2 у х4 + х2 + 1 
х4 — х2 + 1 
Интегрируя последнее выражение почленно, получаем
/
*2 + 1
d x _ [  
- / ^ arct« l ^ f + ^
SSn x -
/ *‘ + * 4 1
J
(x -  I ) 2 + 3 
l 0,
если x / 0 ,
если x = 0,
[
dx = -
j
J  x4 + x2 + 1 
J
d(x + ^)
In
+ хл/
3
+ 
1
Итак, искомый интеграл равен
Kt(;
arct8 7 v r + ^ ln
(x + 1 ) 2 - 3 
2^
f sgn x ) + C,
x2 — xV3 + 1
х 2 + х \ / з + 1
х 2 —х л /з + 1
+
1 3 8
• 7 = / ( i
dx
+ sin x)2
если x ^ 0, 
если x = 0. ►

§ 6. Разные примеры на интегрирование функций
249
◄ Пользуясь результатом примера 131, находим 
dx 
[ 
d (  f - x )
J
 
(2 + sm x)2 
J (o
(2 + c° s ( f - x ) )
С ПОЛ
j __ 1 
cos x 
2 f  
3 2 + sin x 
3 у
dx
2 + sin x ’
последний интеграл вычислим с помощью универсальной подстановки t — tg - , 2nx — х < х <
х + 2гах, 
jj
€ Z
o
,
dx 
2 
2 tg f — 1
Из условия / ( х + 2пх — 0) = / ( х + 2их + 0), аналогично тому как мы поступали при решении 
примера 125, находим
•2тг
С'„ = —у=п + С, 
С = Со, 
2мх — х < х < х + 2пх.
V3
Таким образом, 
dx
'W
1 
cos х 
4 
2 t g - + l
4 
Гх + x l , 
/<,
, 
, , = ----------:------ 1-----т= a rc tg ----- -- —- Н-----— -------- + С, 
х ф 
2пх 
+
х;
(2 + sin х)2 
3 2 + sin х 
ЗдД 
л/3 
Зл/3 1- 2х J
l(2wx + x ) =
lim 
1(х). ►
X — 2 п т г + 7Г
1 3 9 , .
J
|x |d x .
◄ При 
х 
> 0 имеем 
аналогично при 
х
<
О
/
У
х dx ” — + C j;
х dx = - — + С2 ■
В точке х = 0, согласно определению первообразной, должно С\ = С2 = С, где 
С 
произвольная постоянная. Поэтому при всех 
х 
имеем
/
2 
I I
17 
Х 
^1 
Х\Х\ 
^
Щ dx = — sgn х + С — 
+ С. ►
1 4 ° . / (p(x)dx, где tp(x) — расстояние числа х до ближайшего целого числа.
◄ Из условия задачи <р(х) — |х — п|, п — | ^ х < n + 1, и g Z o , поэтому
I(x) = J ip(x) dx = i ( x — n)|x — n| + C’n, 
n — i < x < n +
Из непрерывности первообразной получаем
/ ( ? t + I _ ° ) = / ( w + l ) i
т. е. - + ('п — ~g +
> On+i — (-'п + ^ , откуда С'п = — + С', где С1 = Со —- произвольная
постоянная.
Поскольку 
?
j
^
х + ^ 
+ 1
, 
то 
п
— 
[ж
■+ ^] • Окончательно находим
/(х) =
i 
(X -
41 \
11
1
О
X Н-----
2J )
х
—
b + d
+ 4
r
+
2 j
+ С. ►
1 4 1 .
J [х]| sin хх| dx.

250
Гл. 3. Неопределенный интеграл
Ч По определению целой масти имеем
[х]| sin тгх| — (—l) " n sin жх, 
n ^ x < r a + l, 
п €
Поэтому
I
 
[х]| sill 7Гх| 
dx 
= -----------
п COS ЖХ 
+ С'„, 
П 
^
X 
< 
п 
+ 1.
Из непрерывности первообразной в точках х = п + 1 получаем равенства
■ (-l)n+1
-----
------n cos 
7П: -)- C„
_
'(_l)"+ 2
---------- (n + 1) COS 7ГX +
C„+
1
7Г
;С = П+1
7Г
откуда 
Gn+i = Сп +
2п+-1 ■
Решая это уравнение, получаем 
С„ 
=
С +
— , 
С
— 
Со 
- Поэтому
/<
х]| siii7rx| dx =
(-1 )
П-J- 1
■
cos irx + n
+ C, 
n ^ x < n + 1.
Поскольку x изменяется в указанных пределах, то всегда м = [х]. Таким образом, окон­
чательно имеем
J [ x ]\sin 7гх| dx = — ([x] — (—1)1*1 cos Tx) _|_
где 
C  
— произвольная постоянная. ►
1 4 2 .
Пусть /(x ) — монотонная непрерывная функция и / -1 (х) — ее обратная функция. 
Доказать, что если 
j
 
/(х ) 
dx = F( x)
+ 
С,  
то
J r \ x ) d x  = х / _1(х) - F { r \ x ) )  + С.
Ч В силу условия теоремы, справедливо равенство
x = f ( r \ x ) ) = F ' ( f - \ x ) ) .
Интегрируя его по / -1 (х), получаем
J
х d ( f ~ 1 
(х)) 
= F ( f _1 
(х)) 
+ С,
J x d { r \ x ) ) = x f - \ x ) - J f - \ x ) d x = F ( r \ x ) ) + C. ►
Упражнения для самостоятельной работы
Пользуясь различными методами, найти следующие интегралы:
124. 
Г , а* , - е ~ dx. 
125. 
Г - / 1а* - dx. 
126. 
Г .со\* dx. 
127. 
/ -----
J  
+ l
)2
^ V c o s
3
2 х  
J v c o s
3
2 х
J  s i n x v c o s 2 a ;
откуда
128. f  tgxVcos~2xdx. 
129. f § + ~ § d x .  
130. f
(.
t
sin i + c o s
x)
l o l
f ___ x d x
J 
( si a x ~ x c o s x P ■
1 3 2 - / Ш
г
7 -  
133- 
/ c o 7 * ( a c o . T )
• 
134. / . * ( ! + In.)d*. 
135. f 3
- ^ P ~ d x .
136. /
dx. 
137. / ( |x + l | - | l - x | ) d x .
138. / ^ ( l - x V T ) - 1 ^ .
139.
+[*]’
x > 0.
x

251
§ 7. И нтегрирование вектор-функций и 
функциональных матриц
§ 7. Интегрирование вектор-функцнн
Теорема 1. Вектор-функция F = (F i, Fi, . . . , Fm) является первообразной вектор- 
функции f = (/i, /
2
, 
f m) на интервале X  € М тогда и только тогда, когда на этом 
интервале функции Fi являются первообразными функций 
i = 1, т.
Теорема 2. Аналогично, функциональная матрица В  = (bij) является первообразной 
на интервале. X функциональной матрицы А = (aij) тогда и только тогда, когда на этом 
интервале функции bij являются первообразными функций aij, i = 1, т , j  = 1, n.
Найти интегралы от вектор-функций:
143’ 
I
i v T ^ '
Т Т ^ ’ T + l ^ ) dx-
М Если неопределенный интеграл указанной вектор-функции обозначим символом I, то, 
согласно теореме 1,
dx
1(* ) - ( / 
- 7 ^ + с^ I ^ г ^ + С2’ I Т Г ^ + Сз’ J I T ^ + Gi) -
= ^arcsinx, arcsin 
arctgx, i a r c t g ^ ' + C , |i | ^ 1,
v r
где C g I
1 4 4 .
постоянный вектор. ►
dx.
f f  1 
x 
xm 1
J
1 
+ X ’ 
1 
+
X2 
’ " " ’ 
1 
+ X r
◄ Аналогично предыдущему примеру
I 
( x )
= (In (1 +
x | ,
In \ / l  +
X 2 , 
. . . , In 7 l +
X m )
+ C. ►
1 4 5 . / (
cost
, cos2x, 
cosmx)dx.
M Имеем
/<
sin 2x
(cos x, cos 2x, . . . , cos m i) dx = (sh. 
2 
Найти интегралы от функциональных матриц:
sin 
mi 
\
_
-------- ) + С . ►
in
/
/
/ sin х 
sin 2x 
sin 3x 
sin 4x \
cosx 
cos2x cos3x cos4x I dx.
\  tgx 
tg2x 
tg3x 
tg4x 
J
◄ Пусть A — первообразная матрица, тогда
A{x) =
и интеграл равен функциональной матрице х ►
-* А(х) + С, где С — постоянная матрица. W 
1 4 7 . /
( a i j ) d x ,
где 
a
ij = xJ, j = 1, m; j  = 1, n, x > 0.
M При фиксированных г и j
^ 
— cos 
X
co s 
2 x
2
c o s 3a: 
3
c o s
4 x
\
4
sin 
x
sin 
2 x
sin 3 x
sin 4 x
2
3
4
^ — 
111
I cos x|
— In \/|c o s 2 x |
— In \ / | cos 3x|
— In \/|c o s 4 x | j
/
хз dx =
t + )
i±i
• X 3 
+
C i j .
i
±1
Следовательно, / (aij) dx = (6U) + С, где 6,у = ^ y i J , a С = (сц) — постоянная матрица. ►

252

жүктеу/скачать 16,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: