Байланысты: Anti-Demidovich Lyashko I I i dr Tom 1 Vvedenie v matematicheskij analiz proizvodnaja integral 2001 ru T 358s
Гл. 3. Неопределенный интеграл 1 4 8 . Д о к а з а т ь , ч т о
I ( Е +
А х ) п dx = А ~ \ Е + Л х)п+1 +
С , (1)
J п + 1
г д е
Е — е д и н и ч н а я ,
А , С — п о с т о я н н ы е м а т р и ц ы о д н о г о п о р я д к а и м а т р и ц а
А — н е в ы р о
ж д е н н а я ,
п — н а т у р а л ь н о е ч и с л о .
М Д л я д о к а з а т е л ь с т в а д о с т а т о ч н о п о к а з а т ь , ч т о п р о и з в о д н а я л е в о й ч а с т и р а в е н с т в а (
1
)
р а в н а п о д ы н т е г р а л ь н о й м а т р и ц е . П о п р а в и л у д и ф ф е р е н ц и р о в а н и я п р о и з в е д е н и я м а т р и ц и м е
е м
'
l— A ~ l ( E + Л х)п+1) = А . 1 ((£ +
А х ) п А +
( Е + А х ) 7 1 - 1 А ( Е +
А х ) + ... +
А ( Е +
А х ) п ) .
\?i
1
/
'll -j- 1
А т а к к а к м а т р и ц ы
А и
Е +
А х к о м м у т а т и в н ы , т о
А ~ \ Е + A x ) n + i ) ' = - ^ — - А { п + \){Е + А х ) п = ( Е + А х ) п . ►
\ и -|—
1
/ i t -|—
1
Упражнения для самостоятельной работы
Найти интегралы от вектор-функций:
142. J (sin
I ,
cos х) d x. 143. f ( tgx, tg2x, tg3x)dx, i £ ] 0 , ^[ .
144. / ( xsinx, xsin2x, . . . , x sin mx ) dx. 145. f (xex , x3e* , xbex )dx. 146. f (x, x2, . . . , xm) dx. 147. f (x, x2, . . . , xm) In x dx, x > 0.
Найти интегралы от функциональных матриц:
148.
/
2х + cos 2х
— х sin х + cos х +
х cos х + sin х +
+ COS X
In
X
COS
X •
л
л
, л In 1
------- sin x In x cos 2x + 2 —
dx. 152. Пусть все элементы квадратной функциональной матрицы х
1
ч- Л(х) имеют произ
водные на интервале ]а, 6[. Доказать, что на этом интервале справедливы равенства:
а) /(Л (х )Л '(х ) + Л'(х)Л(х) ) dx = Л2(х) + С';
б) J (Л2(х)Л'(х) + Л(х)Л'(х)Л(х) + Л'(х)Л2(х) ) dx = Л3(х) + С. 153. Доказать, что
/ (Л (х )£ В (г ) + ( £ л ( х ) ) В(х)) dx = А(х)В(х) + С, где А к В — квадратные функциональные матрицы.
154. Пусть Л — постоянная квадратная матрица. Матрицу еАх определим посредством
равенства
еАх ~ lim ( Е + ^ А х ) П. Доказать, что
f еАх dx = Ае Ах + С, где С — произвольная постоянная квадратная матрица.
