Н улевой этап — выполнение логико-математического
анализа.
П ервы й этап — подготовительны й, которы й подразу
мевает:
• актуализацию знаний;
• мотивацию необходимости изучения ф акта;
• подведение к теоретическому ф акту.
Второй этап — основной, которы й вклю чает:
• ф ормулировку теоремы;
• работу с формулировкой: перевод из категоричной
формы в им пликативную , если это необходимо, перефор
м улирование, выделение условия и заклю чения;
• мотивацию необходимости доказательства;
• анализ условия и заклю чения, поиск способа дока
зательства, составление схемы доказательства или образца
доказательства;
• работу с доказательством: выделение основной идеи,
общей структуры и ш агов доказательства, вы движ ение
аргументов и демонстрация доказательства;
• подведение итогов (основные идеи и теоретические
ф акты , полож енны е в основу доказательства).
Третий этап — закрепление, т. е. непосредственное
применение теоремы (используется в качестве аргументов
преимущ ественно только изучаем ая теорема и доказатель
ство имеет 1—2 ш ага).
В дальнейш ем , при вторичном закреплении реш ения
задач, и спользую тся, кром е изученной теоремы , теоре
тические ф акты из других тем (4).
В аж ны м этапом в изучении теорем явл яется процесс
доказательства. Д ля того чтобы доказать заклю чение тео
ремы, приходится строить цепочку силлогизмов заклю че
ний (одно или несколько).
К аж д ы й силлогизм (как больш ая и м алая посы лки,
заклю чен и е) в доказательстве теоремы состоит из трех
частей:
1)
п редлож ен и я, которы е обосновывают заклю чения
каж дого ш ага. Эти п редлож ен и я могут быть аксиомой,
146
теоремой или определением и назы ваться посылкой или
обоснованием данного ш ага;
2) данные из условия теоремы, обоснованные с опорой
на посы лку ш ага или следствия из преды дущ их ш агов;
3) выводы, сделанные при использовании обоснования
ш ага к условию теоремы или к полученным ранее след
ствиям.
Рассмотрим доказательство следующей теоремы: “Если
в треугольнике медиана явл яется и высотой, то треуголь
ник равносторонний” .
Д а н о : А АВС, СД — медиана и высота.
Д оказат ь: А АВС — равносторонний (рис. 7).
Д оказат ельст во:
I с и л л о ги з м :
а) Больш ая посы лка (БП). М едиана треугольника делит
сторону треугольника пополам.
б) М алая посы лка (МП). СБ — медиана А АВС.
в) Заклю чение (3). АО = Б В .
Рис. 7
II силлогизм:
а) БП: Высота треугольника перпендикулярна стороне
треугольника, к которой опущ ена.
б) МП: В ААВС СБ 1 А В .
в) 3: ААЛС = /_ВВС.
III силлогизм:
а) БП : Если в одном треугольнике две стороны и угол
меж ду ними будут соответственно равны двум сторонам
и углу меж ду ними другого треугольника, то углы будут
равными.
б) МП: В треугольниках АОС и ВБС:
АХ) = В Б (I силлогизм), СІ) — общ ая сторона.
/УШС = А В Б С (II силлогизм).
в) 3: ДАОС = АВБС.
147
IV с и л л о г и з м :
а) БП : Если тр еу го л ьн и к и равн ы , то равны соответ
ствую щ ие стороны и соответствующие углы .
б) МП: ААВ С = АВ В С (III си л л о ги зм ).
в) 3: АС = ВС, следовательно, ДАВС — равнобедренный.
Отметим, что больш ими посы лкам и могут быть д о ка
занны е ранее утверж дения, теоремы и аксиом ы , сформу
лированны е определения. В малой посы лке — условие до
казы ваем ой теоремы или заклю чения преды дущ их шагов,
полученны х в процессе доказательства. М алая посы лка
явл яется промеж уточным связую щ им звеном меж ду боль
шой посы лкой и заклю чением ш ага.
Обычно при доказательстве термин си ллогизм не упот
ребляется, вместо него используется вы раж ение шаги до
ка за т е льс т ва теоремы, которые нумерую тся.
Н ап р и м е р , р ассм о тр и м д о к а за те л ь с т в о следую щ ей
тео р ем ы : “ Е сли д и а г о н а л и п а р а л л е л о г р а м м а п е р п е н
д и ку л яр н ы , то он — ромб” (рис. 8).
В
С
Дано: А В С В —параллелограм м , АС п В В = О, АС _]_ В Б .
Д оказат ь: А В С В — ромб.
Доказат ельст во:
1. А В С В — п ар ал л ел о гр ам м . Д и агон али п ар ал л ел о
грам м а пересекаю тся и в точке пересечения делятся попо
лам , т.е. АО = ОС; ВО = ОВ.
2.АОВ, ВОС, СОВ, БО А — прямоугольные треугольники
(по условию теоремы);
АО = ОС; ВО = О Б (по первому заклю чению );
Треугольники с равными катетам и равны:
ДАОВ = А ВОС = А СОВ = А ВОА;
3. ААО В = АВОС = АСОВ = А ВО А (по второму заклю че
нию);
148
А АО В = /1ВОС = АСОБ - /_ООА (по условию теоремы —
прямы е углы).
В равны х треугольниках против равны х углов леж ат
равные стороны:
ВС = С О = А О = АВ.
4.
А В С Б —п ар а л л е л о гр а м м (по услови ю теорем ы );
А В = ВС = СИ = АО (по заклю чению третьего ш ага). Вывод:
АВСО — ромб.
М. В. М етельский считает, что обучение учащ и хся до
казательству теорем, представленных в ш кольн ы х учеб
н иках в упрощ енном виде, с помощью силлогизмов спо
собствует усвоению ими логики м атем атических д о к аза
тельств (39).
В процессе доказательства теорем составные части ш а
гов могут быть располож ены по-разному: вначале дается
обоснование, а затем в соответствии с этим формулируется
заклю чение теоремы, или вначале ф ормулируется зак лю
чение, затем дается его обоснование.
Методы доказательства теорем.
Ранее было отмечено, что доказательства бывают п р я
мые и косвенные. П рям ы е доказательства, в свою очередь,
делятся на а н а ли т и ч еск и е и с и н т е т и ч е с к и е . О них было
р ассказано при рассм отрении темы о м етодах обучения
м атем атике. Здесь ограничим ся приведением отдельны х
примеров.
I .А н а л и т и ч е с к и й метод доказат ельст ва.
Восходящий а н а л и з {анализ П аппа).
П риведем доказательство теоремы: “Если в ч еты р ех
угольнике противополож ны е стороны попарно равны , то
ч еты рехугольник — параллелограм м ” методом восходя
щего анализа.
Д а н о : А ВС В — четы рехугольник, А В — ОС и ВС — АТ).
Д оказат ь: А В С В — параллелограм м.
Д оказат ельст во:
Д ля доказательства того, что четы рехугольник А С В Б
я в л я е т с я пар а ллело гр а м м о м , достаточно д о к азать, что
А В || ОС и ВС|| АО.
(Ах)
Д ля доказательства параллельности сторон ч еты р ех
угольника достаточно доказать равенство накрест л е ж а
щ их углов, образуем ы х при пересечении двух п р ям ы х
третьей.
(А2)
149
Т аки е накрест л еж ащ и е углы можно получить, если
провести диагональ АС: / А С В и / С А В ; / В А С и / А С В . (А3)
Д ля д о казательства равенств / А С В и / С А В ; /.В АС и
/ А С В достаточно доказать равенство треугольников АВС
и СВА.
(А4)
Д л я д о к азател ьства равенства треугольн и ков А В С и
С В А достаточн о у стан о в и ть сп р авед л и во сть равен ств:
АО = ВС, А В = ВС, АС = АС, а эти равенства вы полняю тся,
что и требовалось доказать.
С хем атично д о к азател ьство данной теоремы м ож но
представить следую щ им образом:
Достарыңызбен бөлісу: |