Совет молодых ученых инновационное развитие и востребованность науки в современном казахстане

 
16 
«Инновационное развитие и востребованность науки в современном Казахстане»
 
eq
d
z
C
z
С
D
j








2
.                                                    (20) 
     Осыдан  масса  тасымалдау  коэффициенті, бұл  жағдайда  жылдамдық  өлшемімен  
анықталады  жəне 
w
  орташа  бағалауға  болады:  
            


w
.                                                                     (21) 
      Сонымен [5] мембрана    кеуектеріндегі    мицеллалық    ерітіндінің    еру    шебінің 
ұзындығын  есептеуге  (16)  теңдеуін аламыз,  мұндағы:   
                                 
D
C
Dk
m
a
2
4
2






.                                                         
(23) 
         
Əдебиеттер 
1.  Карапетьянц М.Х. Химическая термодинамика. - М.: Химия, 1975. – 583с.  
2.  Fable J. Surfactants in Consumer Products: Theory, Technology and Application. // 
Springer-Verlag, New-York, 1986. -  432 p. 
3.  Угрозов  В.В.,  Филиппов  А.Н.  Ускоренное  растворение  капли  примесной  
жидкости в мембранной поре (капилляре), заполненной мицелярным раствором 
// Мембраны, 2004. - №3 (23). - С. 14-20. 
4.  Adamson A.W. Physical  Chemistry of Surfaces. - 1997, A Wiley-Inter. Publ., New-
York. - 804 p.  
5.  Шаймерденова Г.С., Сатаев М.И., Ескендиров Ш.З. Моделирование растворения 
примесей в мембранных порах в среде с поверхностно-активными мицеллами. // 
Узбекский химический журнал. – 2007, №6. - С.64-67. 
 
 
 
 
 
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ УРОВНЕМ ГРУНТОВЫХ ВОД  
В ОДНОСЛОЙНЫХ ПЛАСТАХ  
 
М.Б.Шамырканов 
 
Ысык-Кульский государственный университет им. К.Тыныстанова,  
Кыргызская Республика 
 
Одной  из  основных  задач  мелиорации  является  обеспечение  влагой  корневой 
системы  сельскохозяйственных  культур.  При  близком  залегании  грунтовых  вод  к 
поверхности земли эту задачу можно решить путем поддержания уровня грунтовых вод 
в заданном режиме. 
Движение  грунтовых  вод  в  верхнем  покровном  слое  земли  в  стационарном 
режиме описывается уравнением Буссинеска [1] 




   
D
y
x
y
x
f
h
q
y
h
b
h
k
y
x
h
b
h
k
x
â
â

























,
,
,
                            (1) 
с граничным условием 
                     


 
,
,
,
S
y
x
h
n
h
b
h
k
в








                                                             (2) 
где 
 
y
x
h
h
,

    –    уровень  грунтовых  вод; 
 
y
x
k
k
в
в
,

 – коэффициент  фильтрации 
покровного  слоя; 
 
y
x
b
b
,

 – поверхность  раздела  между  покровным  слоем  и 

 
17 
«Инновационное развитие и востребованность науки в современном Казахстане»
подстилающей  его  слабопроницаемой  прослойкой; 
 
y
x
f ,
 – функция  инфильтрации; 
 
y
x
q
q
,

    –    функция,  учитывающая  переток  из  нижележащего  напорного 
водоносного горизонта  (если переток отсутствует, то 
0

q
); 
 
y
x,



 и 
 
y
x,



 
–  заданные  функции; 
n


 – производная  по  внешней  нормали  к  границе  области 
фильтрации; 
D
 – область фильтрации в плане, 
D
S


– граница области 
D
. 
Управление уровнем грунтовых вод производится путем проведения поливов (при 
низком  залегании  грунтовых  вод)  или  осушительных  мероприятий  (при  высоком 
залегании).  В  математической  модели  фильтрации (1) эти  мероприятия 
осуществляются  функцией 
 
y
x
f ,
.  Тогда  задача  оптимального  управления  уровнем 
грунтовых вод ставится следующим образом. 
Требуется найти функцию 
 
y
x
f ,
, доставляющую минимум функционалу  [2] 
           
 

  


 





D
D
dy
dx
y
x
f
dy
dx
y
x
f
y
x
h
f
I
,
,
,
;
,
2
2


                                       (3) 
где 
 
y
x,

 – заданные уровни грунтовых вод; 

 – параметр регуляризации; 


f
y
x
h
;
,
 
– расчетные значения уровня грунтовых вод, получаемые решением задачи (1), (2) при 
изменении инфильтрации 
 
y
x
f ,
. 
При численном решении задачи (1), (2) значения функции 


f
y
x
h
;
,
 получаются  
в дискретном множестве точек, т.е. в узлах расчетной сетки. Поэтому в практических 
расчетах пользуемся дискретным аналогом формулы (3): 
 

 










n
k
k
n
k
k
k
k
k
k
f
y
x
f
y
x
h
f
J
1
2
2
1
,
;
,


       .                                                           (4) 
В  общем  случае  зависимость  функции 


f
y
x
h
;
,
  от  управления 
 
y
x
f ,
 
нелинейная, поэтому линеаризуем функцию 


f
y
x
f
;
,
 следующем образом: 




 
f
R
f
h
f
f
h
f
y
x
h
j
n
j
j
j









2
1
~
~
;
,
,                                                                 (5) 
где 
f
~
    –  значения  функции 
f
,  полученные  в  предыдущей  итерации;  h
~
 – 
соответствующие им значения уровней грунтовых вод; 
f
f
f
~



 . 
Подставим выражение для функции  h  из (5) в формулу (4): 
 




2
1
1
2
1
~
~
~






















n
k
k
k
n
k
k
j
k
n
j
j
j
k
f
f
f
h
f
f
h
f
J


 
и к функции многих переменных 
 
f
J
 применим необходимое условие экстремума: 
 
n
i
f
f
J
i
...,
,
2
,
1
,
0




. 
Имеем 




0
~
~
~
1
1






















i
i
n
k
i
k
k
j
k
n
j
j
j
k
f
f
f
h
f
h
f
f
h


 ,    
n
i
...,
,
2
,
1

.                               (6) 
Полученную  систему  линейных  алгебраических  уравнений (6) запишем 
относительно 
j
j
j
f
f
f
~



: 

 
18 
«Инновационное развитие и востребованность науки в современном Казахстане»
 




n
j
i
j
j
i
b
f
a
1
,
n
i
...,
,
2
,
1

,                                                     (7) 
где  








n
k
j
k
i
k
j
i
j
i
f
h
f
h
a
1
,
,
                  













n
k
i
k
i
i
j
i
f
h
a
1
2
,
,

 








n
k
i
k
k
k
i
f
h
h
b
1
~

. 
После решения системы (7) составляем  следующее приближение управления: 






i
i
i
i
i
i
y
x
f
y
x
f
y
x
f
,
,
~
,



,        
n
i
...,
,
2
,
1

.               (8) 
Для  проведения  расчетов  по  описанному  алгоритму  в  качестве  начальных 
приближений  уровней  грунтовых  вод  и  инфильтрации  берем  их  существующие 
состояния.  Затем  придаем  функции 
 
y
x
f ,
  приращения,  пропорциональные  разности 
   
y
x
h
y
x
,
,


,  вычисляем  матрицу  производных 








f
h
  и  решив  систему (7), 
находим 
 
y
x
f ,

  и  по  формуле (8) определяем  новое  приближение  управления.  Для 
каждого  следующего приближения управления  вычисляем  соответствующие  значения 
уровней грунтовых вод. Признаком окончания счета является выполнение условия 




i
i
i
h
maх
,     
n
i
...,
,
2
,
1

, 
где 

 0

 заданное малое число. 
Теперь остановимся на решении задачи (1), (2). Введем обозначение 
 


b
h
k
y
x
T
â


0
)
,
(
,                                                           (9) 
где 
 
0
h
 – начальное  приближение  уровней  грунтовых  вод,  так  что  задача (1), (2) 
становится линейной. Решаем её методом конечных элементов [3]. Область фильтрации 
D
  разбивается  на  треугольные  элементы  и  внутри  элемента  (е)  функция 
 
y
x
h ,
 
представляется в виде 
 
 
 
 
 
 
 
 
k
e
k
j
e
j
i
e
i
e
h
y
x
N
h
y
x
N
h
y
x
N
y
x
h
,
,
,
,



 ,                   (10) 
где 

 

k
j
i
r
y
x
h
h
r
r
r
,
,
,
,


 – узловые  значения  искомой  функции; 
 
y
x
N
r
,
 – 
линейные базисные функции: 
 
 
 
 
 


 
 
 
 
 


,
/
,
,
/
,
e
e
j
e
j
e
j
e
j
e
e
i
e
i
e
i
e
i
y
c
x
в
a
y
x
N
y
c
x
в
a
y
x
N








 
 
 
 
 
 


,
/
,
e
e
k
e
k
e
k
e
k
y
c
x
в
a
y
x
N




 
 
 
 
,
,
,
j
k
e
i
k
j
e
i
j
k
k
j
e
i
x
x
c
y
y
в
y
x
y
x
a






 
 
 
 
,
,
,
k
i
e
j
i
k
e
j
k
i
i
k
e
j
x
x
c
y
y
в
y
x
y
x
a






 
 
 
 
,
,
,
i
j
e
k
j
i
e
k
i
j
j
i
e
k
x
x
c
y
y
в
y
x
y
x
a






 
e

 – площадь элемента (е). 
Суммируя  равенство (10) по  всем  элементам,  получаем  для  искомой  функции 
разложение 
 
 
 
i
n
i
i
n
h
y
x
N
y
x
h
y
x
h




1
,
,
,
.                              (11) 
Здесь n – число всех узлов сетки. 

 
19 
«Инновационное развитие и востребованность науки в современном Казахстане»
Подставляя  в  задаче (1), (2) вместо 
 
y
x
h ,
  функцию 
 
y
x
h
n
,
,  по  обобщенному 
принципу Галеркина получаем соотношения  
0












































s
d
h
n
h
T
N
y
d
x
d
f
h
q
y
h
T
y
x
h
T
x
N
S
n
n
j
D
n
n
n
j


, 
n
i
...,
,
2
,
1

. 
Применяя к двойному интегралу первую формулу Грина, имеем равенства 


0




























s
d
h
N
y
d
x
d
f
N
h
N
q
y
h
y
N
x
h
x
N
T
S
n
j
D
j
n
j
n
j
n
j


, 
n
j
...,
,
2
,
1

. 
После подстановки вместо функции 
 
y
x
h
n
,
 ее разложения из (11) приходим к системе 
линейных алгебраических уравнений относительно 
i
h  




































n
i
S
i
j
i
D
i
i
j
i
j
i
j
s
d
h
N
N
y
d
x
d
h
N
N
q
y
N
y
N
x
N
x
N
T
1

 
s
d
N
y
d
x
d
f
N
S
j
D
j





,       
n
i
...,
,
2
,
1

, 
или    



n
i
j
i
i
j
в
h
a
1
,      
n
i
...,
,
2
,
1

,                                        (12) 
где 
s
d
N
N
y
d
x
d
q
N
N
y
d
x
d
y
N
y
N
x
N
x
N
T
a
S
i
j
D
i
j
D
i
j
i
j
i
j






















, 
s
d
N
y
d
x
d
f
N
â
S
i
D
j
j





. 
Матрица  системы (12) симметричная  и  хорошо  обусловленная  с  диагональным 
преобладанием, поэтому ее можно легко решить одним из точных или приближенных 
методов.  Решив  систему  алгебраических  уравнений (5), определяем  значения 


i
i
y
x
h
,
)
1
(
 


n
i
...,
,
2
,
1

. Подставляя в формуле (9) вместо 
)
0
(
h
значения 
)
1
(
i
h
, находим 
следующее приближение 
)
2
(
i
h
 и т.д. итерационный процесс продолжим до выполнения 
условия  
 







1
i
i
i
h
h
maх
,      
...
,
2
,
1


 
где 

  – номер итерации. 
Работа  алгоритма  апробирована  на  решении  следующего  тестового  примера.  В 
центре круговой области радиуса 
м
r
3000

 находится источник, благодаря которому 
поддерживается  постоянный  уровень 
м
h
370
0

,  а  уровень  воды  на  границе  области 
м
h
r
350


. 
Исходные 
данные 
задачи: 
 


2
2
2
2
,
y
x
r
h
y
x
h
r





; 
 
5
10
,
2


r
y
x
y
x
k
; 
 
1
,

y
x
q
; 
 
 


 
y
x
h
q
y
x
k
y
x
f
,
5
,
2
2
,





; 
 
r
h
r
k
y
x






,
  для 
2
2
2
r
y
x


,    - произвольное  число, 
4
10
16




. 
Рассмотрены  четыре  случая  задания  функции 
 
y
x,

: 1) 
 
;
350
,
м
y
x


 2) 
 
;
360
,
м
y
x


 3) 
 
;
370
,
ì
y
x


                    4) 
 




2
1
2
2
2
,
y
x
h
y
x
r





.  В табл. 1 

 
20 

жүктеу/скачать 5,59 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: