Х. Досмұхамедов атындағы Атырау му хабаршысы №4(39), 2015

Х.Досмұхамедов атындағы Атырау МУ Хабаршысы 
 № 4(39), 2015 
102 
 
4  Пaнов М.В. Русскaя фонетикa. - М., 1967.- 265 с. 
 
Резюме 
В  статье  рассматривается  математическое  обеспечение  системы  синтеза 
интонации разговора на казахском языке, то есть разработка необходимой для этой 
системы моделей и алгоритмов. Использованы методы математической статистики, 
теории  надежности,  теории  системного  анализа  и  моделирования,  методы 
цифровой обработки звуков, теория языков, методы искусственного интеллекта. 
 
Summary 
The  purpose  of  the  work  is  a  mathematical  software  of  system  of  synthesis 
intonation  of  conversation in   Kazakh language,  that is  development  necessary  for  this 
system  of  models  and  algorithms.  The  methods  of  mathematical  statistics,  theory  of 
reliability, theory of the system analysis and modeling, methods digital of sounds, theory 
of languages, methods of artificial intelligence are used. 
Қабылданған күні 12.11.2015 ж 
 
 
ӘОЖ 519.6 
Қ.Н. Утеулиева  
Х.Досмұхамедов атындағы Атырау мемлекеттік университеті, 
Қазақстан Республикасы, 060011, Атырау қ., Студенттік даңғылы, 212 
E-mail: 
kamka_n@mail.ru
 
 
БҮТІН САНДЫ ФУНКЦИЯЛАРДЫ ЗЕРТТЕУГЕ СТАНДАРТТЫ ЕМЕС КӨЗҚАРАС 
 
Аңдатпа 
Айверсон  ұсынған нотация қазіргі уақытта  маңызды қолданыс тауып отыр. 
Мақалада  бүтін  санды  функциялар  ұғымы  қарастырылып,  берілген  тақырыптың 
теориялық аспекттерінің  практикада қолданылуы көрсетілген.  
Негізгі  сөздер: 
бүтін  санды  функциялар,    «төменгі»,  «жоғарғы»  функциялар, 
спектр. 
 
Қазіргі  ақпараттық  технологиялар    заманы  оқыған    адамдардың 
математикадан  терең  білімді  болуын  талап  етеді.  Мектептің  болашақ  түлектерін 
жақсы зерттеушілік дағдылармен қаруландыру қажет. 
Дербес  жағдайда,  олимпиадаларға  қатысу,  ғылыми  жобаларды  орындау 
арқылы  бұл  зерттеушілік  қабілет  дамытылады.  Шындығында,  бұл  жолдардың  бәрі  
оқушылардың зерттеушілік жұмысқа деген стандарттық көзқарастарын баулиды. 
Менің  пікірім  бойынша,  математикадағы  зерттеушілікке  стандартты  емес 
көзқараспен  келуді  үйрету  қажет.  Осыған  сәйкес,  мектеп  математикасы 
аумағындағы кейбір стандартты емес зерттеуді ұсынғым келеді. 
Бүтін  сандар  дискретті  математиканың  негізін  құрайды,  әрі  практикада 
бөлшек немесе кез-келген нақты сандарды бүтін сандарға дейін дөңгелектеуге тура 
келеді. 
Соңғы кезге дейін    нақты санының бүтін бөлігін белгілеу үшін 
 
x
 жазбасы  
қолданылып  жүрді.  Бірақ  60-шы  жылдардың  басында  Кеннет  Э.Айверсон  бұл 
жағдайда 
 
x
  деп  жазуды  ұсынды  және  бұл  белгілеуге    «төменгі»  («пол»)  деп 

Х.Досмұхамедов атындағы Атырау МУ Хабаршысы 
 № 4(39), 2015 
103 
 
табысты атау берді. Ал жоғарғы бүтінді белгілеу үшін ол 
 
x
 жазбасын ұсынды және 
оны  «жоғарғы»  («потолок»)    деп  атады,  ал  квадрат  жақша  үшін  жаңа  қолданыс 
тапты.  Айверсон    ұсынған  нотация  табысты  болғандығы  соншалықты,  бұл    ескі 
жазба  шетелде  іс жүзінде  кездеспейді.  Р.Грэхем, Д.Кнут, О.Паташниктің  «Ерекше 
математика»  атты кітабының  орыс  тіліндегі  басылымы  пайда  болғаннан  кейін,  бұл 
нотация  Ресейде  де  әйгілі  бола  бастады.  Американ  математиктерінің    мазмұны 
жағынан  да,  формасы  жағынан  да    тривиалды  емес  кітабының  атауын  былай   
шешуге  болады:      КОНтинуальная  и  дисКРЕТНАЯ  математика,  яғни  конкретная 
математика  –  ерекше    математика.  Жалпы,  зерттеліп  отырған  мәселенің  білім 
беруде  де,  білімін  дамытуда  да,  тәрбие  беруде  де  маңызы  орасан  зор:  өйткені 
қиындатылған,  күрделі  есептерді    шығару  кезінде    бұрын  алған  білімдері  мен 
теорияны  қолдану  дағдыларын  дамыту  және    жетілдіру,  бүтін  және  бөлшек,  жай 
сан,    факториал  ұғымдарымен  байланысты  есептерді  шешуде  пайдаланылатын 
әдістерді  қайталау  -    оқыту  жағынан  маңызды  болса,  ал  қиындатылған,  күрделі 
есептерді  шешу  арқылы  оқырмандардың  математикалық  қабілеттерін,  логикалық 
ойлау қабілеттерін дамыту, танымдық белсенділігін, ақыл, тапқырлықтарын дамыту 
–  білімді  дамыту  болып  табылады.  Күшті  жігерлі  қасиеттерін,  сол  сияқты,  мәдени 
пікірталас  жүргізу  үшін  дағдыларды,  коммуникативтік    және  ерік  қасиеттерін 
дамытып, қалыптастыру -  бұл тәрбие беру деп тұжырымдауымызға әбден болады. 
Айверсон    ұсынған  нотация  қазіргі  уақытта    маңызды  қолданыс  табуда,    оның 
теориялық аспекттерін ашып көрсету, осы бүтін санды функцияларды  зерттеу, бүтін 
санды функциялар теориясының практикалық бағыттағы  тапсырмаларда, есептерде  
қолданылатындығын  дәлелдеу  өте өзекті мәселе болып табылады. 
   арқылы барлық натурал сандарды, яғни барлық бүтін оң сандар жиынын  
белгілейік. Кез-келген  
x  нақты сан үшін ең үлкен және ең кіші бүтін функцияларды 
анықтайық:  

x

 -
x -тан кіші немесе тең  болатын, ең үлкен бүтін  сан;  

x

 -
x -тан 
үлкен  немесе  тең  болатын,  ең  кіші  бүтін  сан.  Анықтамадан 
 
x
x
x



1
,  
 
1



x
x
x
  орындалатындығы анық. Осыдан  
 
 
1
1






x
x
x
x
x
                                       (1) 
 
шығады.  Бүтін  нүктелерде  
 
x
  және  
 
x
 кемімейтін функциялары беттеседі, яғни 
 
x
x


x
  бүтін 

 
 
x
x

  болады. Егер олар беттеспесе,  онда олардың бір-
бірінен  1-ге айырмашылығы бар, яғни               
 
                  
   


x
x
[
x

  бүтін емес]                                          (2) 
 
Бұл формула Айверсонның барлық  үш белгілеулерін байланыстырады. Осы 
жерде  және  одан  әрі,    квадрат  жақшалар    кез-келген  P    пайымдауы  үшін,  мына 
мағынада пайдаланылады:    
 






жалган
P
акикат
P
P
  
егер
,
0
 
  
егер
1,
 
 
x
      және   
 
x
    функциялары  координата  осьтеріне  қарағанда,    бір-бірінің  
бейнелері болып табылады, яғни  
  

Х.Досмұхамедов атындағы Атырау МУ Хабаршысы 
 № 4(39), 2015 
104 
 
       
 
 
x
x



, 
 
 
x
x



                                       (3) 
 
орындалады.    «Еден»    және  «төбенің»      анықтамаларынан    бұл  функциялардың 
қасиеттері оңай шығады:  
x
   және  
 
x
   арасындағы айырма  
x  санының бөлшек 
бөлігі деп аталады, былай белгіленеді:  
 
x
x
x


}
{
. Кейде  
 
x
  -  
x
   санының 
бүтін бөлігі деп аталады, өйткені 
 
}
{x
x
x


  болады. 
Қарастырылып отырған функциялардың келесі  қасиеттерін дәлелдейік:  
 

     

}
{
}
{
y
x
y
x
y
x





 




y
x
}
{
y
x
y
x



 
 







}
{
}
{
}
{
y
x
y
y
x
x
   
}}
{
}
{{
}
{
}
{
y
x
y
x
y
x






    

}
{
}
{
y
x
y
x




 
 
 


}
{
}
{
y
x

   қосындысы не 0-ге,  не 1–ге тең болғандықтан,  


y
x

   саны не  
   
y
x

  санына,  не  
   
1


y
x
  санына тең болады.  
Айталық, 
)
(x
f
 - қандай да бір үзіліссіз, монотонды өспелі, әрі  егер 
)
(x
f
 
- бүтін сан болса, онда 
x
  -та  бүтін сан болатындай қасиеті бар, функция болсын. 
Онда   
)
(x
f
, 
 
)
( x
f
, 
 
)
( x
f
  функциялары анықталатын барлық жағдайларда  


 


)
(
)
(
x
f
x
f

  және   


 


)
(
)
(
x
f
x
f

    орындалады.    Мына  теңдік  


 


)
(
)
(
x
f
x
f

 орындалатындығын да дәлелдеуге болады. 
n
m
x
x
f


)
(
      функциясын  қарастыра  отырып,  мынадай  пайдалы  қасиет 
аламыз: 
 











n
m
x
n
m
x
 және
 











n
m
x
n
m
x
 
Мысалы, 
10

n
  және   
0

m
  болғанда 





 

1000
10
10
10
x
x

  
екендігін  аламыз,  яғни    қалдық  цифрларын  біртіндеп  лақтыра  отырып,  10–ға  үш 
еселі  бөлу  –  бұл    барлық  қалдықты  біртіндеп  лақтыра  отырып,  1000-ға    тура  
бөлгенмен бірдей.  
[

, 

], [

, 

), (

,

), (

, 

]   интервалдарындағы бүтін  сандарға 
тоқталайық. Көрсетілген интервалдарды 



  шарты  үшін қарастырамыз. Егер 

   
және   

  —  бүтін  сандар  болса,  онда  [

, 

)    интервалы  дәл   



  -ға  тең  бүтін 
саннан тұрады:  

,  

+1, …, 
1


,  осыған ұқсас  (

, 

]   интервалы   



-ға  тең 
бүтін саннан тұрады, бірақ 

   және   

  - кез-келген нақты сандар  
n
  -  бүтін сан  
болғанда 
 
 
 
 
 
 


















n
n
n
n
 
 

Х.Досмұхамедов атындағы Атырау МУ Хабаршысы 
 № 4(39), 2015 
105 
 
екендігі  шығады.  Сондықтан,  [

, 

)    интервалы  дәл 
   



  бүтін  сандардан 
тұрады,      ал  (

, 

]    интервалы    дәл   
   



    бүтін  саннан  тұрады.    [

, 

  
аралығын  қарастырайық.   
 
 









n
n
              орындалады. 
Осыдан,  қарастырылып  отырған  аралықта  дәл 
   
1




  бүтін  сандар  бар 
екендігі шығады: 
 

, 
 
1


, …, 
 
1


, 
 

. (

, 

) аралығын қарастырайық, 
әрі 



    болсын. 
 
 









n
n
  екендігін  аламыз.  Осыдан, 
қарастырылып  отырған  аралықта  дәл 
   
1




  бүтін  сандар  бар  екендігі 
шығады:     
 
1


, 
 
2


,  …, 
 
2


, 
 
1


.  Егер  қосымша 



       
шектемесін    енгізбесек,  онда  бос    (

, 

)    интервалы  дәл  1  бүтін  саннан  тұрады.  
Алынған фактілерді қорытындылайық:  
 
 
Қандай  да  бір 

  нақты  санының  спектрі  бүтін  сандардың  шексіз 
мультижиыны ретінде анықталады:  Spec (

) = {
 

, 
 

2
, 
 

3
,…}.                          
Егер  



, онда  Spec (

)

Spec (

),  яғни екі бірдей спектр жоқ. 
Егер бір спектрге жатпайтын кез-келген сан басқа спектрде жататын болса; 
бірақ  екеуінде, бір мезгілде  ешқандай сан жатпайтын болса, онда спектр барлық 
бүтін оң сандарды бөліктейді дейді. 
Айталық, 

 
және 

—нақты 
оң 
сандар 
болсын, 
егер  
n
n
N
n
N
n





)
,
(
)
,
(
}
0
{


N
    шарты  орындалса,  сонда,  тек  қана 
сонда, Spec(

)   және Spec(

)   натурал сандарды бөліктейді.  
‘Mod’:  бинарлық амалына тоқталалық. Егер  m   және  n — бүтін оң сандар 
болса,  онда 
 n  санын  m   санына бөлгендегі толық емес қалдық  




m
n
   санына 
тең  болады.      Қалдықтармен  жұмыс  жасау  ыңғайлы    болу  үшін,    қалдықтың 
анықтамасын енгізейік: 






m
n
m
n
m
n mod
. 
Бұл  анықтаманы 
0

y
    болғанда,  кез-келген  нақты  сандар  үшін 
пайдалануға болады: 








y
x
y
x
y
x mod
 
Интервал 
Бүтін сандар саны 
Шектеу 
[

, 

 


 

 


 + 1 

 

 

 
[

, 

) 


 

 


 

 

 

 
(

, 

] 


 

 


 

 

 

 
(

, 

) 


 

 


 

1 

 < 

 

Х.Досмұхамедов атындағы Атырау МУ Хабаршысы 
 № 4(39), 2015 
106 
 
 ‘mod’  амалының қосымшасы:  
n   заттарды  m  топтарға, мүмкіндігінше тең өлшемді 
етіп, жіктеу. 
n
 бүтін және 
m
 натурал сандар үшін ақиқат болатын тепе-теңдік осы 
сұрақтың шешімін береді. 



















m
m
n
m
n
m
n
n
1
...
1
 —  
n  санының  m   санына,  мүмкіндігінше тең 
бөліктерге,  өспелі емес ретпен жіктелуін көрсетеді. 











 






m
m
n
m
n
m
n
n
1
...
1
 — 
n  санының  m   санына,  мүмкіндігінше 
тең бөліктерге,  кемімелі емес ретпен жіктелуін көрсетеді. 
Егер     
n  санын   

mx

      санына алмастырсақ  және    ережені қолдансақ,   
онда  кез-келген   нақты
  x    және  натурал 
m
      сандары  үшін  ақиқат  болатын тепе-
теңдік аламыз: 
   











 


m
m
x
m
x
x
mx
1
...
1
                
Мысал.  Spec(
α)      және    Spec(α/(α+1))    мультижиындарының  арасындағы 
байланысты табыңдар әрі дәлелдеңдер, мұндағы  
α — қандай да бір оң нақты сан. 
Шешімі: 
 
 
Spec(
α)-ның 
 
n-нан 
аспайтын 
элементтерінің 
саны  
1
1
)
,
(




 



n
n
N
  болады.    Spec(
α/(α+1))  -  ның    n-нан  аспайтын 
элементтерінің саны  





1
)
,
(
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
,
1







 





































n
n
N
n
n
n
n
n
n
n
n
N









 
болады.  Сонымен,   
1
)
,
(
,
1










n
n
N
n
N



    орындалатындығын  алдық. 
Осының негізінде,  Spec







1


 -де  
n
-ға тең сандар  Spec(

)- ға қарағанда 1-ге 
көп  болатынын  көрсетейік. 
0

n
  болғанда,  егер   
a
N

)
0
,
(

  болса,  онда  
1
0
,
1









a
N


 болады. 
Айталық,    Spec(

)-де 
n
-нен    аспайтын  элементтер  саны   
b
n
N

)
,
(

 
болсын,  онда  Spec(

)-дағы 
n
  -ға  тең    болатын    элементтер  саны  

Х.Досмұхамедов атындағы Атырау МУ Хабаршысы 
 № 4(39), 2015 
107 
 
)
1
,
(


n
N
b

  болады.  Spec







1


  -дағы 
n
  -ға  тең    болатын    элементтер 
санын есептейік: 
 




1
)
1
,
(
)
1
,
(
1
1
,
1
)
1
(
,
1
,
1

































n
N
b
n
n
N
n
b
n
n
N
n
b
n
N
n
N







б 
 
болады.  Дәлелдеу керегі де осы еді. 
Жауап:  Spec







1


  -дағы 
n
  -ға  тең    болатын    элементтер  саны  Spec(

)-дағы 
элементтер санынан 1-га артық болады.  
Берілген  тақырыптағы  мақаланың  теориялық  аспекттісі    «төменгі», 
«жоғарғы» функцияларына анықтама беріп, бұл функциялардың кейбір қасиеттерін  
қарастырып,    үзіліссіз  функциялармен  байланысын      орнатып,  берілген 
интервалдағы  бүтін  сандар  санын  есептеу,  спектрдің  анықтамасы  және  оның 
қасиеттерін қарастырып,  «mod» бинарлық операциясына анықтама беріп  және осы 
операцияның қосымшасын қарастыру, «төменгілерді»  қамтитын  қосындыны  қалай  
есептеуге  болатындығына  мысал    арқылы  талдау  жасалды,  берілген  тақырыптың 
теориялық  аспекттері    практикада,    яғни  есептерді  шешуде  қалай 
пайдаланатындығы көрсетілді. 
  

жүктеу/скачать 6,15 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: