МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СИСТЕМЫ РУЛЕВОГО

нелинейностей,  алгебраическими  уравнениями  связи,  наложенными 
на систему /37/. 
Уравнения  составлены  таким  образом,  чтобы  в  результате 
решения  получить  значения  переменных  (давлений,  расходов, 
скоростей, перемещений и т.д.) на входе и на выходе /81/. 
Параметры  на  входе  в  гидравлический  элемент  обозначены 
индексом «1», на выходе – индексом «2». 
При 
моделировании 
гидропривода 
принято 
решение 
о 
составлении  математической  модели  для  каждого  элемента, 
поскольку  исследуемая  система  является  нелинейной,  так  как 
содержит 
нелинейные 
элементы 
(золотник 
и 
гильза 
гидрораспределителя). Кроме того,  передаточная функция  описывает 
звено  направленного  действия,  то  есть  элемент,  имеющий  один 
входной  и  один  выходной  параметр.  Элементы  гидропривода  имеют 
как  минимум  два  входных  и  два  выходных  параметра:  это  расходы 
рабочей жидкости и давления на входе и на выходе, кроме того, могут 
иметь место управляющие или возмущающие воздействия. В качестве 
дополнительных 
входных 
и 
выходных 
параметров 
могут 
рассматриваться  узлы  подвода  и  отбора  мощности  (насос, 
гидромотор). 
Кроме 
того 
система 
содержит 
переменные 
коэффициенты  дифференциальных  уравнений,  которые  изменяются 
во  времени  стохастически  или  по  какому-либо  закону.  Таким 
образом,  выбранное  направление  математического  моделирования 
позволяет 
учесть 
необходимое 
количество 
параметров, 
что 
способствует повышению точности модели. 
Формирование  математической  модели  ГРУ  проводилось  в 
соответствии со следующими этапами /31, 32, 55/: 
- принятие допущений; 
- обоснование расчетной схемы ГРУ; 
- формирование блок-схемы ГРУ на основе расчетной схемы; 
-  декомпозиция  (разбиение)  системы  на  подсистемы  и  т.д.  до 
получения неделимых элементов системы; 
- математическое  описание  каждого  элемента  в  соответствии  
с принятыми допущениями; 
-  композиция  математической  модели,  т.е.  объединение 
математических моделей отдельных элементов и подсистем в единую 
математическую модель системы. 
 
2.1.1. Расчетная схема гидросистемы рулевого управления 

 
Для 
составления 
расчетной 
схемы 
ГРУ 
необходима 
гидравлическая схема, изображенная на рис. 2.1 /89/. 
 
 
 
Рис. 2.1. Схема гидравлическая принципиальная  
системы рулевого управления 
 
ГРУ 
состоит 
из 
трехпозиционного 
шестилинейного 
распределителя  1  следящего  действия,  кинематически  связанного  с 
рулевым  колесом  2  и  гидромотором  обратной  связи  3  и 
гидравлически 
связанного 
первой 
и 
третей 
линиями 
с 
исполнительными  гидроцилиндрами  4,  второй  линией  с  гидробаком 
6, пятой линией с питающим насосом 5, обратными клапанами 8 и 9, 
предохранительным  клапаном  7,  четвертой  и  шестой  линиями  с 
гидромотором  обратной  связи  3.  В  первой  и  третей  линиях 
трехпозиционного  шестилинейного  распределителя  1  установлены 
противовакуумные клапаны 10, 11 и противоударные клапаны 12, 13. 
Работа  принципиальной  схемы  ГРУ  осуществляется  следующим 
образом. 
В  нейтральном  положении  распределителя  1  поток  рабочей 
жидкости  от  питающего  насоса  5  поступает  к  пятой  линии 

трехпозиционного  шестилинейного  распределителя  1  и  весь  поток 
рабочей жидкости через вторую линию распределителя 1 поступает в 
гидробак 6. 
При  повороте  рулевого  колеса  2  происходит  рассогласование 
распределителя  1  (например,  происходит  перемещение  золотника 
вправо).  При  этом  вторая  и  пятая  линии  распределителя  1 
рассоединяются,  а  поток  рабочей  жидкости  от  питающего  насоса  5 
через  пятую  и  четвертую  линии  распределителя  1  поступает  на 
гидромотор  обратной  связи  3 и  далее  через шестую  и  первую  линии 
распределителя 1 в левую полость исполнительного гидроцилиндра 4 
и  преодолевает  приложенную  внешнюю  нагрузку.  Поршень 
исполнительного  гидроцилиндра  перемещается  вправо.  Поток 
рабочей 
жидкости 
из 
сливной 
полости 
исполнительного 
гидроцилиндра  5  через  четвертую  и  третью  линии  распределителя  1 
поступает в гидробак 5. 
На  основе  рассмотренной  гидравлической  схемы  составлена 
расчетная схема, которая приведена на рис. 2.2.  
 
 
 
Рис. 2.2. Расчетная схема гидросистемы рулевого управления 
 

Здесь Q
PIT
 – подача на выходе из питающего насоса и на входе в 
гидролинию, соединяющую насос с ГРМ; Q
GL1
 – расход на выходе из 
гидролинии и на входе в гидрораспределитель; Q
R
 – расход на выходе 
из  гидрораспределителя    и  на  входе  в  гидромотор  обратной  связи;   
Q
SL
 – расход, поступающий в гидролинию разгрузки; Q
OS
 – расход на 
выходе  из  гидромотора  обратной  связи  и  на  входе  в  гидролинию, 
соединяющую  ГРМ  с  исполнительными  гидроцилиндрами;  Q
GL2
  – 
расход  на  выходе  из  гидролинии  и  на  входе  в  исполнительный 
гидроцилиндр; R
CIL
 – усилие, приложенное к штоку исполнительного 
гидроцилиндра,  обусловленное  силами  сопротивления  повороту  и 
взаимодействием  шин  с  микрорельефом;  p
CIL
  –  давление  на  входе  в 
исполнительный  гидроцилиндр  и  на  выходе  из  гидролинии;  p
GL2
  – 
давление  на  входе  в  гидролинию  и  на  выходе  из  гидромотора 
обратной  связи;        p
OS
  –  давление  на  входе  в  гидромотор  обратной 
связи и на выходе из гидрораспределителя;  p
R
 –  давление на входе в 
гидрораспределитель  и  на  выходе  из  гидролинии;  p
GL1
  –  давление 
питающего насоса;  α(t) – угол поворота рулевого колеса (золотника); 
α
ОS
(t)  –  угол  поворота  ротора  гидромотора  обратной  связи  (гильзы);  
x(t) – перемещение штоков исполнительных гидроцилиндров. 
 
2.1.2. Блок-схема гидросистемы рулевого управления 
   
На  основе  расчетной  схемы  формируется  блок-схема  системы. 
Блок-схема  представляет  собой  совокупность  блоков  и  связей, 
которые  соответствуют  элементам  и  связям  расчетной  схемы. 
Каждый  блок  блок-схемы  представляет  собой  подсистему  или 
элемент ГРУ, который содержит в себе структурную схему элемента, 
выполненную 
на 
основе 
дифференциальных 
уравнений, 
описывающих этот элемент /31, 32/. 
В  предлагаемой  блок-схеме  каждый  блок  представляет  собой 
гидравлический  многополюсник  или  многомерный  динамический 
объект,  поэтому  блоки  будут  иметь  несколько  присоединительных 
гидравлических 
или 
механических 
портов, 
соответствующих 
входным, выходным, управляющим или возмущающим воздействиям. 
Блок-схема  ГРУ  представлена  на  рис.  2.3,  где  f  –  площадь 

проходных  сечений  каналов  гидрораспределителя,  обусловленная 
поворотом  золотника;  f
ОS
  –  площадь  проходных  сечений  каналов 
гидрораспределителя,  обусловленная  поворотом  гильзы;  Δf  – 
регулируемая площадь проходных сечений. 
 
 
 
Рис. 2.3. Блок-схема гидросистемы рулевого управления
 
 
При  математическом  описании  ГРУ  были  приняты  следующие 
допущения /19, 31, 32, 53, 54, 56, 58, 81, 95/: 
- влияние  волновых процессов на  динамику  привода вследствие 
сравнительно малой длины магистрали не учитываются; 
-  температура    и    вязкость    рабочей  жидкости,  а  так  же 
количество  нерастворенного  воздуха  не  изменяются  в  течение 
переходного процесса; 
-  коэффициент  расхода  управляемых  дросселей  является 
постоянной величиной; 
-  неравномерность подачи питающего насоса не учитывается; 
-  параметры гидроэлементов сосредоточены; 
-  эксцентриситет в паре «золотник – гильза» не учитывается. 
 
2.1.3. Математическое описание элементов 
 гидросистемы рулевого управления 
 
Математическая модель гидрораспределителя ГРМ. 
Гидрораспределитель  в  совокупности  с  гидромотором  обратной 

связи являются управляющим устройством ГРМ, его задачей является 
не  только  пуск,  остановка  или  перераспределение  потоков  рабочей 
жидкости  в  системе,  но  и  в  совокупности  с  гидромотором  обратной 
связи – изменение расходов на выходе из системы за счет изменения 
площадей  проходных  сечений  в  зависимости  от  скорости  вращения 
рулевого колеса. 
Гидрораспределитель  кранового  типа  состоит  из  золотника    и 
гильзы.  
При  вращении  рулевого  колеса  управляющий  золотник 
смещается  на  угол  α(t),  открывая  при  этом  проходные  сечения 
гидромоторного  ряда  гидрораспределителя,  при  этом  поток  рабочей 
жидкости 
попадает 
через 
гидромотор 
обратной 
связи 
в 
исполнительный 
гидроцилиндр, 
гидромотор 
обратной 
связи 
осуществляет  отрицательную  обратную  связь  посредством смещения 
гильзы  золотника  распределителя  на  угол  α
OS
(t),  регулируя  при  этом 
площади проходных сечений каналов гидрораспределителя Δf(t) и как 
следствие  расход  рабочей  жидкости  Q(t)  на  выходе  из  ГРМ  /31,  32, 
33/. 
Гидрораспределитель  представляет  собой  совокупность  местных 
сопротивлений,  кроме  того  он  является  нелинейным  элементом 
системы, 
поэтому 
целесообразно 
представить 
статические 
характеристики  гильзы  и  золотника  распределителя  в  виде 
нелинейных 
зависимостей, 
а 
сам 
распределитель 
в 
виде 
регулируемого  дросселя.  В  паре  золотник-гильза  при  вращении 
рулевого  колеса  возникают  моменты  трения,  обусловленные 
относительной  скоростью  вращения  золотника  и  гильзы.  Момент 
трения также описывается нелинейной статической характеристикой. 
Блок-схема гидрораспределителя представлена на рис. 2.4. 
Расчетная  схема  регулирования  каналов  гидромоторного  ряда 
гидрораспределителя представлена на рис. 2.5. 
Математическая 
модель 
гидрораспределителя 
состоит 
из 
математических моделей золотника и гильзы, представленных в виде 
нелинейных  статических  характеристик,  математической  модели 
регулируемого  дросселя  и  модели  трения  в  распределителе  в  паре 
«золотник-гильза». 
Статическая  характеристика  золотника  гидрораспределителя 
описывается следующим уравнением /31/: 
 

 









































,
α
α
, 
f
f
α
α
 α
,
f
α
r
α
r
r
α
r
r
r
α
r
r
z
;
α
α
, 
f
α
f
UT
MAX
UT
Z
Z
Z
Z
UT
2
2
1
2
0
0
0
2
0
1
 
при
;
 
при
2
1
 
arccos
 
при
        (2.1) 
 
где  f
UT
  –  площадь  утечек;  f
MAX
  –  максимальная  площадь  проходных 
сечений;  z  –  число  отверстий  гидромоторного  ряда;  r
0
  –  радиус 
отверстий гидромоторного ряда; r
Z
 – радиус золотника. 
 
 
 
 
Рис. 2.4. Блок-схема гидрораспределителя 
     гидравлического рулевого механизма 
 
 
 
Статическая 
характеристика 
гильзы 
гидрораспределителя 
описывается следующим уравнением /31/: 
 
 
Рис. 2.5. Расчетная схема  
регулирования проходных  
сечений гидромоторного ряда 
 






































.
при
при
 
arccos
OS
UT
MAX
OS
OS
UT
Z
Z
Z
Z
OS
OS
α
α
, 
f
f
α
α
f
α
r
α
r
r
α
r
r
r
α
r
r
z
α
f
 
;
  
,
 
 
2
0
0
0
2
0
2
1
   
(2.2) 
 
Нелинейная  зависимость  (2.1)  представлена  на  рис.  2.6,  где 
α
1
…+α
1
  –  зона  нечувствительности  гидрораспределителя;  |α
1
…α
2
|  – 
рабочая зона гидрораспределителя; |α
2
…∞| – зона насыщения. 
 
 
 
Рис. 2.6. Зависимость площади проходных сечений  
гидромоторного ряда гидрораспределителя от угла поворота  
золотника относительно гильзы 
 
Гидрораспределитель  описывается  уравнениями    расходов  через 
регулируемый  дроссель  с  учетом  утечек  рабочей  жидкости  через 
кольцевое сечение /19, 31, 32, 34, 53, 54, 55, 56, 58/: 
 
Q
R2
 = Q
R1 
– Q
SL 
– Q
UT
;                                   (2.3) 
   
 ;
Q
p
p
ρ
)
p
sign(p
Δf
μ
B
dt
dQ
R
R
R
Ж
R
R
R



















2
2
1
1
2
1
2
2
 
                      (2.4) 


SL
R
Ж
SL
SL
Q
p
ρ
f
μ
B
dt
dQ







1
1
2
;                       (2.5) 




,
Q
UT
 
p
p
ε
L
r
r
π r
R
R
Z
Ж
G
G
2
1
2
3
2
3
1
6













                   (2.6) 

 
где  Q
R1
  и  Q
R2
  –  расходы  жидкости  на  входе  и  выходе 
гидрораспределителя;  Q
SL
  –  расход  жидкости,  поступающей  на  слив; 
p
R1
  и  p
R2
  –  давления  на  входе  и  выходе  из  гидрораспределителя 
соответственно;  B  –  коэффициент,  учитывающий  инерционность 
столба  жидкости;  μ  –  коэффициент  расхода;  ρ
Ж
  –  плотность  рабочей 
жидкости; r
G
 – радиус гильзы; ν – кинематическая вязкость жидкости; 
L – длина сопряжения; ε – коэффициент эксцентриситета. 
Математическая модель трения в гидрораспределителе. 
Математическая  модель  трения  описывает  силы  трения  в  паре 
«золотник-гильза».  Момент  трения  М
R
  моделируется  как  функция 
относительной скорости Δω и является суммой момента статического 
трения М
С
, момента трения Кулона М
К
 и момента вязкого трения М
В
, 
как показано на рис. 2.7. 
 
 
 
Рис. 2.7. Зависимость момента трения в гидрораспределителе 
от относительной угловой скорости 
 
Статическое  трение  –  это  ниспадающая  характеристика, 
возникающая  при  низких  угловых  скоростях.  Трение  Кулона 
приводит  к  постоянному  моменту  трения  при  любой  угловой 

скорости.  Вязкое  трение  противостоит  вращению  моментом, 
пропорциональным относительной скорости. 
В  предлагаемой  модели  введен  небольшой  конечный  порог 
угловой  скорости  ω
0
,  в  пределах  которого  момент  трения  возрастает 
прямо  пропорционально  угловой  скорости  с  коэффициентом 
пропорциональности k
ПР
 = М
С
 + М
К
 / ω
0
. Этот параметр введен, чтобы 
повысить  вычислительную  эффективность  при  переходе  значений 
относительных  угловых  скоростей  из  отрицательной  области  в 
положительную  и  наоборот,  поскольку  момент  трения  при 
механическом контакте тел с распределенной массой в момент, когда 
Δω  = 0  не  может  мгновенно  изменить  свое  значение  с  (М
С
  +  М
К
)  на     
–  (М
С
  +  М
К
).  Было  доказано  экспериментально,  что  значение 
скоростного порога в диапазоне     между 10
-3
 и 10
-5
 рад/с – хороший 
компромисс  между  точностью  и  вычислительной  надежностью  и 
эффективностью.  Необходимо  отметить,  что  на  крутящий  момент 
трения,  вычисленный  с  этим  допущением,  фактически  не  влияет 
относительное  вращение,  когда  момент  понижается  ниже  уровня 
трения страгивания. Тела будут вращаться друг относительно друга с 
очень  маленькой  скоростью,  пропорциональной  действующему 
крутящему моменту /31/. 
Трение в гидрораспределителе описывается уравнениями /31/: 
 
        (М
К
 + М
С
∙exp(-c
V
|Δω|))∙signΔω + h
R
Δω, при |Δω| ≥ ω
0
; 
 
 


;
ω
Δω
 
, 
ω
))
ω
c
(
М
(М
ω
h
Δω 
V
С
К
R
0
0
0
0
при
exp





 
Δω = ω
Z
 – ω
G 
;                                          (2.8) 
, 
dt
dΔ
Δω


                                            (2.9) 
 
где  ω
Z
,  ω
G
  –  абсолютные  угловые  скорости  золотника  и  гильзы 
гидрораспределителя  соответственно;  Δω  –  относительная  угловая 
скорость;  М  –  крутящий    момент  трения;  М
С
  –  момент  статического 
трения;  М
К
  –  момент  трения  Кулона;  с
V
  –  коэффициент  перехода 
между  статическим  и  трением  Кулона;  h
R
  –  коэффициент  вязкого 
трения распределителя; ω
0
 – порог относительной угловой скорости. 
М
R
(Δω) = 
(2.7) 

Коэффициент 
 
c
V
 используется для перехода между статическим и 
трениями  Кулона.  Его  значение  назначается  из  следующих 
соображений: 
статический 
компонент 
трения 
достигает 
приблизительно 95 % от его установившегося значения при скорости 
 
3/c
V
,  и  98  %  при  скорости
 
4/c
V
,  которое  позволяет  установить 
относительное  значение          c
V
  ≈  4/ω
MIN
,  где  ω
MIN
  –  относительная 
скорость,  при  которой  крутящий  момент  трения  принимает 
минимальное значение /31/. 
Выражения  (2.1)…(2.9)  с  учетом  принятых  допущений  позволяют 
представить гидрораспределитель в виде структурной схемы (рис. 2.8). 
 
 
 
 
 

 
 
Коэффициенты передачи звеньев структурной схемы: 
k
R1
 = r
Z
; k
R2
 = r
0
-1
; k
R3
 = r
0
2
; k
R4
 = 2r
0
; k
R5
 = z; k
R6
 = μ; k
R7
 = 2ρ
Ж
-1
; k
R8
 = 1/B; 
Р
ис
. 
2.
8.
 С
трук
турна
я
 с
хе
м
а 
гид
рора
спре
д
ел
ит
ел
я
 

;
μ
ρ
k
Ж
R
2
9
2

 


;
 
2
3
1
6
2
3
10










ε
 L
 νν 
r
r
π r
k
ж
Z
G
G
R
 k
R11
 = h
R
; k
R12
 = – c
V
; k
R13
 = M
C
;  


.
ω
))
ω
c
(
М
(М
ω
h
 
k
V
С
К
R
R
0
0
0
14
exp 




 
 
Математическая модель гидромотора обратной связи. 
Поток рабочей жидкости из гидрораспределителя попадает через 
гидромотор  обратной  связи  в  исполнительный  гидроцилиндр, 
гидромотор 
обратной 
связи 
осуществляет 
обратную 
связь 
посредством  смещения  гильзы  золотника  распределителя  на  угол 
α
OS
(t),  тем  самым  регулируя  площади  проходных  сечений  каналов 
гидрораспределителя /53, 58/. 
Входными  параметрами  гидромотора  обратной  связи  являются 
расход  и  давление  рабочей  жидкости  на  входе  и  момент  на  роторе 
гидромотора, который обуславливается силами трения, выходными – 
расход  и  давление  на  выходе,  а  также  угол  поворота  или  угловая 
скорость вращения ротора гидромотора. 
Расчетная 
и 
блок-схема 
гидромотора 
обратной 
связи 
представлены на рис. 2.9 и 2.10 соответственно. 
 
 
        
        Рис. 2.9. Расчетная схема    
                 Рис. 2.10. Блок-схема 
    гидромотора обратной связи   
   гидромотора обратной связи
 
 
Гидромотор обратной связи описывается уравнениями расходов с 
учетом  утечек  и  сжимаемости  рабочей  жидкости,  уравнением 
движения  ротора  гидромотора  и  уравнением  моментов  на  валу 
гидромотора /16, 81/: 
Q
ОS2
 = Q
OS1
 – Q
УТ
 – Q
СЖ
;                              (2.10) 



 ,
dt
dα
b] sign
p
p
[b
(t)
M
p
p
q
I
dt
α
d
OS
OS
OS
P
ГМ
OS
OS
ГМ
ОS























2
1
2
1
2
2
 
1
 (2.11) 
 
где  Q
OS1
  –  расход  рабочей  жидкости  на  входе,  идущий  на  вращение 
ротора  гидромотора;  Q
OS2
 –  расход  на  выходе;  Q
УТ
 –  расход, идущий 
на утечки в гидромоторе; Q
СЖ
 – расход, идущий на сжатие жидкости 
за  счет  инерционности  гидромотора;  α
ОS
  –  угол  поворота  ротора 
гидромотора;  I
ГМ
  –  момент  инерции  вращающихся  частей, 
приведенных к ротору  гидромотора; q – рабочий  объем гидромотора 
обратной  связи;  p
OS1
  –  давление  рабочей  жидкости  на  входе  в 
гидромотор;  p
OS2
  –  давление  рабочей  жидкости  на  выходе  из 
гидромотора; М
ГМ
 – момент сопротивления на валу гидромотора; b
Р
 – 
коэффициент 
гидромеханических 
потерь; 
b 
– 
постоянная 
гидромеханических потерь. 
Момент  сопротивления  на  валу  гидромотора  складывается  из 
момента  трения  в  паре  «золотник-гильза»,  поскольку  ротор  мотора 
кинематически  связан  с  гильзой  гидрораспределителя  и  момента 
трения ротора самого гидромотора: 
 
М
ГМ
 = М
R
 + М
РОТ
,                                   (2.12) 
 
где М
РОТ
 – момент трения ротора гидромотора. 
 
Поскольку контакт ротора и статора является линейным, а также 
с  учетом  отсутствия  подшипников  и  уплотняющих  манжет, 
находящихся в контакте с ротором, то статическим и трением Кулона 
можно  пренебречь,  принимая  во  внимание  только  вязкое  трение, 
поэтому момент трения ротора определяется по формуле /16/: 
 
,
dt
dα
h
M
OS
ГМ
РОТ

                                   (2.13) 
 
где h
ГМ
 – коэффициент вязкого трения в гидромоторе обратной связи. 
Расходы  в гидромоторе  определяются  из  следующих  выражений 
/16, 34, 53, 58/: 
 ;
dt
dα
q η
Q
OC
ОБ
OS

1
                                   (2.14) 

) ;
p
(p
dt
d
k
Q
OS
OS
СЖ
СЖ
2
1


                            (2.15) 
Q
УТ
 = k
УТ 
(p
OS1 
– p
OS2
);                                  (2.16) 


 ,
η
dt
dα
 
 
p
q
k
ОБ
OC
НОМ
УТ



1
                           (2.17) 
 
где  η
ОБ
  –  объемный  КПД  гидромотора,  k
СЖ
  –  коэффициент  сжатия 
рабочей  жидкости,  k
УТ
  –  коэффициент  утечек,  p
НОМ
  –  номинальное 
давление гидромотора обратной связи. 
Математическая модель предохранительного клапана.  
В 
объемных 
гидроприводах 
предохранительный 
клапан 
обеспечивает  защиту  гидросистемы  от  давления,  превышающего 
номинальное,  посредством  перепускания  рабочей  жидкости  на  слив. 
В  ГРМ  применяется  встраиваемый  предохранительный  клапан 
прямого  действия  с  демпфированием  скорости  перемещения 
конического запорно-регулирующего элемента (ЗРЭ).  
На рис. 2.11 и 2.12 соответственно представлены расчетная схема 
и блок-схема предохранительного клапана, где z
К
 – перемещение ЗРЭ; 
Q
К
  –  расход  рабочей  жидкости,  проходящей  через  клапан;  р
К1
  – 
давление в предохранительном клапане; р
К2
 – давление слива. 
 
 
 
         
  
Рис. 2.11. Расчетная схема                          Рис. 2.12. Блок-схема  
        предохранительного клапана                предохранительного клапана
 
 
 
При  построении  математической  модели  предохранительного 
клапана приняты следующие дополнительные допущения /37/: 
-  масса  ЗРЭ  и  приведенная  масса  пружины  сосредоточены  в 
центре масс ЗРЭ; 
-  дросселирование  потока  рабочей  жидкости  осуществляется  в 
плоскости  дросселирующей  щели,  определяемой  минимальным 

расстоянием от кромки седла до поверхности ЗРЭ; 
-  сжимаемость  рабочей  жидкости  в  полости  демпфера  не 
учитывается; 
-  жесткость  пружины  линейно  зависит  от  величины  осевой 
деформации. 
Предохранительный  клапан  описывается  уравнением  движения 
ЗРЭ и уравнением расхода рабочей жидкости через дросселирующую 
щель /37, 81/: 
 
 ;
)
c
c(z
dt
dz
sign
R
dt
dz
h
F
p
F
p
m
dt
z
d
K
K
ТРK
K
K
K
K
K
K
K
K



















0
2
2
1
1
2
2
1
                (2.18) 


 ,
Q
p
p
ρ
)
p
sign(p
)
(z
f
 μ
B
dt
dQ
K
K
K
Ж
K
K
K
K
K










2
1
1
2
1
2
   (2.19) 
 
где m
K
 – масса подвижной части клапана; F
K1
, F
K2
 –  рабочие площади 
клапана  соответственно  со  стороны напора  и  со  стороны  слива;  h
К
  – 
коэффициент вязкого трения клапана; R
ТРК
  – сила сухого трения; с – 
жесткость  пружины;  c
0
  –  величина  предварительного  сжатия 
пружины; f
К
 – площадь дросселирующей щели клапана. 
Математическая модель гидролинии. 
Гидролиния  –  элемент  ГРУ,  предназначенный  для  передачи 
гидродинамической  энергии  потока  рабочей  жидкости  от  одного 
гидроустройства к другому /37/. 
Моделирование переходных процессов в гидролиниях объемного 
гидропривода  связано  с  известными  трудностями,  определяемыми 
необходимостью 
математического 
описания 
нестационарных 
процессов  в  рабочей  жидкости  при  изменении  гидродинамических 
параметров как по времени, так и по пространству, занятому потоком 
/37/. 
Гидроприводы  рулевого  управления  строительных  и  дорожных 
машин  характеризуются  сравнительно  малой  длиной  гидролиний, 
редко  достигающих  4  метров,  поэтому  для  описания  динамики 
гидролинии  с  жидкостью  допустима  математическая  модель  с 
сосредоточенными  параметрами  на  входе  и  на  выходе.  Это 
допущение  заключается  в  аппроксимации  гидролинии  системой  с 
осредненными  в  расчетных  узлах  параметрами.  При  этом  упругие, 
инерционные и диссипативные свойства рабочей жидкости и физико-

механические  параметры  гидролинии  переносятся  в  отдельные  узлы 
сосредоточения, 
а 
переходные 
процессы 
описываются 
обыкновенными дифференциальными уравнениями /37/. 
Расчетная  схема  и  блок-схема  гидролинии  с  сосредоточенными 
параметрами приведены на рис. 2.13, 2.14 соответственно. 
 
 
       
Рис. 2.13. Расчетная схема  
 
               Рис. 2.14. Блок-схема     
                      гидролинии  
 
 
                       гидролинии
 
 
Гидролинии, 
соединяющие 
ГРМ 
с 
исполнительными 
гидроцилиндрами,  питающим  насосом  и  гидробаком  описываются 
уравнениями  расходов  через  гидролинию  с  учетом  сжимаемости 
рабочей жидкости и уравнением путевых потерь давления /19, 32, 58, 
80, 81/: 
 
Q
GL2
 = Q
GL1
 – Q
СЖ.ТР
;                                 (2.20) 
;
k
Q
dt
dp
УПР
СЖ.ТР
GL

1
                                      (2.21) 
),
Q
(Q
d
g
π
L
γ
λ
p
p
GL
GL
GL
GL
GL
GL
2
1
5
2
1
2
2









                (2.22) 
 
где Q
GL1
 и Q
GL2
 – расходы рабочей жидкости на входе и на выходе из 
гидролинии  соответственно; 
Q
СЖ.ТР
  –  расход,  определяемый 
деформацией  стенок  и  рабочей  жидкости;  p
GL1
  и  p
GL1
  –  давления 
рабочей  жидкости  на  входе  и  на  выходе  из  гидролинии 
соответственно;  γ  –  удельный  вес  рабочей  жидкости;  L
GL
  –  длина 
гидролинии;  d
GL
  –  диаметр  гидролинии;  k
УПР
  –  коэффициент 
упругости гидролинии /19, 58, 81/: 
 
,
E
L
d
π
k
ПР
GL
GL
УПР
4
2



                                 (2.23) 
 

где E
ПР
 – приведенный модуль упругости трубопровода /58, 81/: 
 
,
E
E
δ
d
E
E
СТ
Ж
GL
GL
Ж
ПР



1
                                  (2.24) 
 
где E
Ж
 – модуль упругости рабочей жидкости; E
СТ
 – модуль упругости 
стенки  трубопровода;  δ
GL
  –  толщина  стенки  гидролинии;  λ  – 
коэффициент потерь давления по длине /58, 81/: 
 
                                              
;
R
, 
R
Е
Е
2300
при
75

  
 
               0,3164 ∙ R
E 
-0,25 
, при R
E 
> 2300,                              
 
где R
E
 – число Рейнольдса /58, 81/: 
 
 
,
ν
d
π
)
Q
(Q
R
Ж
GL
GL
GL
E





2
1
2
                                (2.26) 
 
где ν
Ж
 – коэффициент кинематической вязкости рабочей жидкости. 
 
Математическая модель исполнительного гидроцилиндра. 
Гидроцилиндр  –  элемент  гидропривода,  предназначенный  для 
преобразования 
гидродинамической 
энергии 
потока 
рабочей 
жидкости  в  механическую  энергию  относительного  движения 
выходного звена и корпуса. 
При  математическом  моделировании  приняты  следующие 
дополнительные допущения /37/: 
-  массы  выходного  звена  и  рабочей  жидкости  в  поршневой  и 
штоковой  полостях  гидроцилиндра  сосредоточены  в  центрах  масс  и 
приведены к поршню; 
-  конструктивные  элементы  гидроцилиндра,  за  исключением 
гильзы,  абсолютно  жесткие;  при  повышении  давления  рабочей 
жидкости  гильза  подвергается  радиальной  деформации,  краевые 
эффекты не учитываются; 
- 
объемные 
потери 
гидродинамической 
энергии 
потока 
определены  внешними  утечками  и  внутренними  перетечками  из 
рабочей  полости  гидроцилиндра  через  контактные  уплотнения 
λ
 = 
(2.25) 

поршня и / или штока; 
-  рабочая  жидкость,  заполняющая  полости  гидроцилиндра, 
рассматривается 
как 
сжимаемая 
среда 
с 
осредненными 
и 
постоянными 
по 
объему 
параметрами, 
сосредоточенными  в 
расчетных узлах; 
-  влияние  перекосов,  люфтов  и  зазоров  на  функционирование 
гидроцилиндра не учитывается. 
Обобщенная  расчетная  схема  гидроцилиндра  двухстороннего 
действия с односторонним штоком при его выдвижении представлена 
на рис. 2.15. Блок-схема гидроцилиндра представлена на рис. 2.16. 
 
 
 
          
Рис. 2.15. Расчетная схема  
 
                      Рис. 2.16. Блок-схема 
    исполнительного гидроцилиндра                     исполнительного гидроцилиндра 
 
Входными  параметрами  гидроцилиндра  являются  расход  на 
входе  в  гидроцилиндр,  давление  слива  и  усилие  на  штоке. 
Выходными  –  давление  в  рабочей  полости,    расход  на  сливе, 
перемещение и скорость выходного звена. 
Система  уравнений  математической  модели  гидроцилиндра 
включает  уравнения  неразрывности  потока,  составленные  для 
рабочих  полостей  гидроцилиндра  с  изменяющимся  во  времени 
объемом с учетом утечек и перетечек рабочей жидкости и уравнение 
движения выходного звена под действием давления в зависимости от 
внешней нагрузки, сухого и вязкого трения: /37, 81/ 
 
);
p
(p
k
dt
dx
F
k
dt
dp
Q
ПЕР
УПР
CIL
CIL
2
1
1
1
1
1






                (2.27) 
 ;
p
 k
) 
p
(p
k
dt
dx
F
k
dt
dp
Q
УТ
ПЕР
УПР
CIL
CIL
2
1
2
2
2
2
2








       (2.28) 

,
R
dt
dx
sign
R
dt
dx
h
F
p
F
p
m
dt
x
d
CIL
ТР
CIL
CIL
CIL














2
2
1
1
2
2
1
 (2.29) 
 
где  x  –  перемещение  штока  гидроцилиндра;  Q
CIL1
,  Q
CIL2
  –  расходы 
рабочей  жидкости  на  входе  и  на  выходе  в  гидроцилиндр 
соответственно;  р
CIL1
,  р
CIL2
  –  давление  в  рабочей  полости 
гидроцилиндра и давление на сливе соответственно; F
1
 и F
2
 – рабочие 
площади  поршневой  и  штоковой  полостей;  k
УПР1
  и  k
УПР2
  – 
коэффициенты  упругости  поршневой  и  штоковой  полостей  с 
жидкостью; m – приведенная к штоку масса подвижных частей; h
CIL
 – 
коэффициент вязкого трения; R
ТР
 – сила сухого трения; R
CIL
 – усилие 
на штоке гидроцилиндра. 
 
;
E
F
x(t)
ΔV
k
ПР
УПР
1
1
1



                                 (2.30) 
,
E
F
x(t))
(L
ΔV
k
ПР
CIL
УПР
2
2
2




                          (2.31) 
 
где  ΔV
1
 и  ΔV
2
 –  «мертвые»  объемы поршневой и штоковой полостей 
гидроцилиндров;  Е
ПР
  –  приведенный  объемный  модуль  упругости 
полости с жидкостью /31, 81/: 
 
,
E
E
δ
D
Е
E
СТ
Ж
CТ
Ж
ПР



1
                                   (2.32) 
 
где Е
Ж
 – объемный модуль упругости рабочей жидкости; D – диаметр 
цилиндра;  δ
СТ
  –  толщина  стенки  гидроцилиндра;  E
СТ
  –  модуль 
упругости материала стенки гидроцилиндра. 
Значение  коэффициента  перетечек  k
ПЕР
  определялось  для 
уплотнения поршня для двух случаев перетекания рабочей жидкости. 
Первый  случай  имеет  место  при  диффузионном  проникновении 
рабочей  жидкости  из  полости  высокого  давления  в  полость  низкого. 
Рассматриваемый  процесс  описывается  законом  Фика.  Коэффициент 
перетечек  при  диффузионном  проникновении  рабочей  жидкости 
определяется следующим образом /31, 80/: 
 

;
L
Н
B
k
k
УП
УП
УП
σ
ПЕР


                                 (2.33) 
20
20
05
1
0



t
,
σ
e
k
k
,                                   (2.34) 
где  k
σ
  –  коэффициент  проницаемости;  k
0
  =  10
-8
  –  10
-9
  (для  нефтяных 
масел);  t  –  температура  рабочей  жидкости;  В
УП
,  H
УП
,  L
УП
  – 
геометрические размеры уплотнения. 
При  износе,  неправильном  монтаже  или  дефекте  уплотнения 
имеет место другой случай – перетечки по капиллярам произвольной 
формы.  Для  этого  случая  коэффициент  перетечек  определяется  по 
формуле /31, 80/: 
,
ξ
δ
L
В
η
k
Ж
КАП
УП
УП
КАП
ПЕР
3
3
10



                             (2.35) 
где  η
КАП
  –  коэффициент;  учитывающий  особенность  геометрической 
формы  капилляра;  δ
КАП
  –  высота  капилляра;  ξ
Ж
  –  динамический 
коэффициент вязкости рабочей жидкости. 
Коэффициент  утечек  k
УТ
  –  имеет  место  только  когда  штоковая 
полость является рабочей. 
Исходя  из  предположения  о  возникновении  вязкого  трения 
вследствие  движения  выходного  звена,  относительно  среды, 
протекающей  с  пренебрежимо  малой  скоростью  по  зазорам  в 
уплотнениях,  коэффициент  вязкого  трения  может  быть  определен 
зависимостью /31, 37/: 
 
,
)
ν
(ν
)
ρ
(ρ
D
D
L
D
π
)
ν
(ν
)
ρ
(ρ
D
D
L
D
π
h
Ж
Ж
ШТ
К
ШТ
ШТ
Ж
Ж
Ж
Ж
ПШ
Г
ПШ
ПШ
CIL
4
4
0
2
0
2
2
1
2
1

















             (2.36) 
 
где  D
ПШ
,  D
ШТ
,  D
Г
,  D
К
  –  диаметры  поршня,  штока,  гильзы  и  корпуса 
соответственно; L
ПШ
, L
ШТ
 – ширина поверхности контакта уплотнений 
поршня  и  штока;  ρ
Ж1
,  ρ
Ж2
,  ρ
0
  –  плотность  жидкости  в  поршневой  и 
штоковой  полостях  гидроцилиндра  и  плотность  внешней  среды,  ν
Ж1
, 
ν
Ж2
,  ν
0
  –  вязкость  жидкости  в  поршневой  и  штоковой  полостях 
гидроцилиндра и вязкость внешней среды соответственно. 
Сухое  трение,  возникающее  в  контактных  уплотнительных 
устройствах 
при 
возвратно-поступательном 
движении 
штока 

относительно  корпуса  гидроцилиндра,  в  общем  случае  определяется 
сложной  функцией,  зависящей  от  скорости  перемещения  и 
соотношения сил, приложенных к выходному звену /37, 80/: 
 

























,
  
 
  
 
;
 
  
  
,
;
R
R
R
  
  
  
,
;
 
  
,
R
ТР
CIL
P
ТР
ТР
CIL
P
CIL
P
ТР
CIL
P
ТР
ТР
ТР
R
R
R
dt
dx
,
R
R
R
R
R
dt
dx
-R
dt
dx
R
dt
dx
dt
dx
R
и
 
0
при
 
и
0
при
и
0
при
0
при
sign
 
 
где  R
Р
  –  равнодействующая  сил  давления  рабочей  жидкости  на 
поршень: 
 
.
F
p
F
p
R
CIL
CIL
P
 
2
2
1
1


                                (2.38) 
 
Исходя из предположения, что в поршневом узле трения влияние 
уплотнителя,  расположенного  со  стороны  сливной  полости, 
пренебрежимо 
мало, 
равнодействующая 
сил 
сухого 
трения 
определяется 
на 
основании 
принципа 
суперпозиции 
для 
функционирующих уплотнителей поршня и штока /31, 37/: 
 
R
ТР
 = R
ТР.ПШ
 + R
ТР.ШТ
,                               (2.39) 
 
где  R
ТР.ПШ
  –  сила  трения  в  поршневом  узле;  R
ТР.ШТ
  –  сила  трения  в 
штоковом уплотнении. 
R
ТР.ПШ
 = π ∙ D
ПШ 
∙ L
ПШ 
∙ f
ПШ 
(р’+ р”);                  (2.40) 
R
ТР.ШТ
 = π ∙ D
ШТ 
∙ L
ШТ 
∙ f
ШТ 
∙ р”,                       (2.41) 
где f
ПШ
, f
ШТ
 – коэффициент трения поршня и штока  соответственно; 
р’ – контактное давление, возникающее при монтаже уплотнения, из-
за  предварительного  прижатия  к  уплотняемой  поверхности;  р”  – 
контактное  давление,  возникающее  из-за  воздействия  на  уплотнение 
 (2.37) 

давления рабочей жидкости. 
 
 
 
2.1.4. Обобщенная математическая модель 
 гидросистемы рулевого управления 
 
На  данном  этапе  необходимо  произвести  композицию  системы,  то 
есть  объединить  математические  модели  элементов  и  подсистем  ГРУ  в 
единую математическую модель. 
Объединение  математических  моделей  отдельных  элементов  и 
подсистем в единую математическую модель системы производится в 
соответствии со следующими принципами:  
-  для  последовательно  соединенных  элементов  /  подсистем 
выходные  параметры  предыдущего  элемента  являются  входными 
параметрами последующего, поэтому блоки элементов соединяются в 
узлах,  в  которых  сходятся  одноименные  входные  и  выходные 
сигналы; 
-  для  параллельно  соединенных  элементов  /  подсистем  сигналы 
на входе разветвляются, на выходе – суммируются. 
На  основе  блок-схемы  ГРУ,  представленной  на  рис.  2.3  и 
выражений  (2.1…2.41),  описывающих  элементы  этой  системы,  в 
соответствии  с  принципами  композиции  математической  модели 
была  составлена  структурная  схема  ГРУ  в  целом.  Обобщенная 
структурная  схема  ГРУ  представлена  на  рис.  2.17,  обозначения  на 
рисунке  соответствуют  обозначениям,  ранее  используемым  при 
описании. 
Коэффициенты передачи звеньев структурной схемы: 
;
1
1
ОБ
ГМ
OS
η
q
k


     k
OS2
 = I
ГМ 
;      k
OS3
 = h
ГМ 
; 
k
OS4
 = k
СЖ 
;   


;
1
5
НОМ
ОБ
ГМ
OS
р
η
q
 
=
 
k


 
k
K1
 = F
K1 
;  k
K2
 = F
K2 
;      k
K3
 = 1/m
K 
;  

k
K4
 = h
К 
;    k
K5
 = с;    k
K6
 = k∙μ;    
;
2
1
Ж
ν
d
π
k
GL
GL



  
;
2
5
2
g
d
π
L
γ
k
GL
GL
GL





    k
GL3
 = k
УПР 
;      
;
1
1
1
F
k
CIL

    
 k
CIL2
 = F
2 
; 
 k
CIL3
 = k
ПЕР 
;     k
CIL4
 = h
CIL 
;     k
CIL5
 = m;     k
CIL6
 = F
1
. 
 
 
 
 

 
 
 
 
Ри
с.
 2.
17.
 Ст
рук
турн
ая
 схем
а 
ги
д
роси
ст
ем
ы
 рул
ев
ог
о 
уп
рав
л
ен
и
я
 

жүктеу/скачать 46,93 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: