2-теорема. Сызықты біртекті жүйе орнықты болуы үшін оның барлық шешімінің шенелген болуы қажетті және жеткілікті.
Дәлелдеу. Қажеттілігі. жүйе орнықты. Оның аралығында шенелмеген шешімі бар деп кері жориық. Екі сандарын белгілеп алып,
Шешімін ( шешімді тұрақтыға көбейткеннен шыққан шешімді) қарастыралық. Әлбетте
ал шенелмеген болғандықтан мәні табылып, болғанда
Бұл жүйенің нөлдік шешімінің орнықсыздығын білдіреді. Олай болса, 1-теорема бойынша жүйе болғандағы жүйе) тоығынан орнықсыз.
Жеткіліктілігі. жүйенің барлық шешімі аралығында шенелген. Жүйенің нүктесінде нормаланған матрицасын қарастырайық
Шенелген функциялардан тұратын болғандықтан шенелген, яғни үшін
Жүйенің кез келген шешімі мына түрде
өрнектеледі.
.Бұдан үшін Бұл жүйенің нөлдік шешімінің орнықтылығын көрсетеді. Онда
1-теорема бойынша жүйе орнықты.
Салдар.Егер сызықты біртексіз жүйе орнықты болса, онда оның шешімдері не барлығы бірдей шенелген, не барлығы бірдей шенелмеген болады.
Ескерту. Сызықты емес жүйенің шешімдерінің шенелгендігінен, жалпы алғанда, олардың орнықтылығы шықпайды.
3-теорема.Сызықты біртекті жүйенің асимптотикалық орнықты болуы үшін оның барлық шешімдерінің нөлге ұмтылуы
қажетті және жеткілікті.
Дәлелдеу. Қажеттілігі. жүйе асимптотикалық орнықты. Онда оның барлық шешімі, оның ішінде нөлдік де асимптотикалық орнықты. Сондықтан үшін табылып жүйенің мына теңсіздікті:
қанағаттандыратын кез келген шешімі үшін
теңдігі орындалады. Енді - жүйенің бастапқы шарты арқылы анықталатын кез келген шешімі болсын. Бұл шешімнің көмегімен
шешімін құралық (шешімді тұрақтыға көбейту арқылы). шешім шартты қанағаттандырады, олай болса ол үшін теңдік те орындалады. Сондықтан:
