Пәннің ОҚУ-Әдістемелік кешені «Орнықтылық теориясы»
Бірінші (сызықты) жуықтау бойынша орнықтылық
жүктеу/скачать 0,55 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Ляпунов теоремасы.
| Бірінші (сызықты) жуықтау бойынша орнықтылық.
Мына түрдегі нормальдық жүйе қарастыралық: Мұндағы: Енді өсінің кішкене аймағында шамасы аз вектор-функциясын ескермей мынадай жүйе қарастыралық: жүйені сызықты емес жүйенің бірінші жуықтау не сызықты жуықтау жүйесі деп атайды. Кей жағдайларда сызықты емес жүйенің нөлдік шешімінің орнықты, орнықсыздығын тек сызықты жүйені ғана қарастыру арқылы анықтауға болуы мүмкін. Осындай мүмкіндіктің нәтижесінде алынған жүенің нөлдік шешімінің орнықты не орнықсыздығын бірінші (сызықты) жуықтау бойынша орнықтылық не орнықсыздық деп атайды. Біз жүенің дербес жағдайы болып табылатын мынадай жүйе қарастыралық: Мұнда -тұрақты матрица, және Мұнда . Біз кейінде матрицасының Жордан формасымен пайдаланатындықтан жүйені комплекс кеңістікте қарастырып отырмыз. Сондықтан жүйенің нақты шешімдері мен қатар комплекс шешімдерін де қарастырамыз. Ляпунов теоремасы. Егер матрицасының барлық меншікті сандарының нақты бөліктері теріс болса, онда жүйенің нөлдік шешімі бірінші жуықтау бойынша бірқалыпты және асимптотикалық орнықты. Ескерту. 1. Теореманы теңдеуге эквивалент интегралдық теңдеумен алмастырып, оған Гронуолл леммасын қолдану арқылы да дәлелдеуге болады. Айталық жүйенің фундаментальдық матрицасы болсын. Онда теңдеу мына интегралдық теңдеуге эквивалент. Мұнда . Егер деп алсақ , бұл формула былайша ықшам түрде жазылады: Гронуолл леммасын пайдаланып теңсіздігін аламыз. Теореманың шарттары орныдалғанда жүйенің шешімі де осындай теңсіздікті қанағаттандырады. Мұндай жағдайда көбінесе мына анықтаманы пайдаланады. Анықтама. D облысында жүйенің әрбір шешімі мына теңсіздікті қанағаттандыратын болса, онда жүйенің нөлдік шешімі экспоненциалдық орнықты деп аталады. теңсіздіктегі сандары және -дерден тәуелсіз болуы керек. теңсіздікке сүйеніп, теореманың шарттары орындалғанда жүйенің нөлдік шешімі экспоненциалды орнықты екенін аламыз. Енді жүйеге қайта оралалық. жүктеу/скачать 0,55 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|