Пәннің ОҚУ-Әдістемелік кешені «Орнықтылық теориясы»
жүктеу/скачать 0,55 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Дәлелдеу. Қажеттілігі.
- Жеткіліктілігі.
- Ескертулер.
| Жеткіліктілігі. матрицасының Жордан формасында әр түрлі клеткалар сәйкес келетін нақты бөліктері теріс барлық меншікті сандарын арқылы, ал нақты бөліктері нөлге тең барлық меншікті сандарын болуы да мүмкін. Сонда саны матрицасының Жордан формасындағы клеткалардың жалпы санын береді. Теореманың шарты бойынша сандарына жәй элементарлық бөлгіштер, яғни бірінші ретті клеткалар ( элементтің өздері) сәйкес келеді. Сондықтан (1) жүйенің кез келген шешімі (4) формула енгізінде жалпы түрде былай жазылады:
Мұнда: -көпмүшелікті вектор-функциялар. Олардың дәрежелері санына сәйкес келетін элементарлық бөлгіштің дәреже көрсеткішінен бірге кем. Ал -тұрақты вектор-бағаналар. Шарт бойынша болғандықтан Сондықтан, формуладан жүйенің кез келген шешімінің -де шектелгендігі шығады. Олай болса жүйе орнықты. Ескерту. Дәлелденген теорема бірқалыпты орнықтылық үшін де дұрыс. Себебі коэффициенттері тұрақты сызықты біртекті жүйенің жәй орнықтылығынан оның бойынша бірқалыпты орнықтылығы шығады. Шынында да, орнықты жүйенің барлық шешімі шешелген болғандықтан: және саны -ден тәуелсіз. жүйенің кез келген шешімі мына түрде: болады. Сондықтан үшін табылып Олай болса, жүйенің нөлдік шешімі бірқалыпты орнықты, ал онда оның барлық шешімі бірқалыпты орнықты. 2-теорема. Тұрақты матрицалы сызықты біртекті жүйенің асимптотикалық орнықты болуы үшін матрицасының барлық өзіндік сандарының нақты бөліктері теріс болулары қажетті және жеткілікті. Дәлелдеу. Қажеттілігі. жүйе дифференциалдық орнықты болсын. Онда ол жәй орнықты. Демек, егер матрицасының меншікті сандары болса, онда 1-теорема бойынша . Енді бұл формула тек таза теңсіздікпен ғана () орындалатынын көрсетелік. Кері жорып, нақты бөлігі нөлге тең бір меншікті сан бар деп саналық, яғни . Онда жүйе мынадай комплекс шешімге ие . Мұнда: --ге сәйкес меншікті вектор. Сондықтан болғандықтан Бұл жүйенің асимптотикалық орнықтылығына қайшы. Олай болса Жеткіліктілігі. матрицасының әр түрлі Жордан клеткасына сәйкестендірілген барлық меншікті сандарын деп белгілейік. Шарт бойынша жүйенің кез келген шешімі формула негізінде жалпы түрде былай жазылады яғни және кейбір -лер нөлге тең болулары да мүмкін. Бұдан екенін ескеріп, теңдігін аламыз. Демек жүйе асимптотикалық орнықты. Ескертулер. 1. Сонымен жүйенің асимптотикалық орнықтылығын дәлелдеу үшін оның характеристикалық теңдеуінің барлық түбірлерінің нақты бөліктері теріс екендігіне көз жеткізу жеткілікті. теңдеуді ашып жазалық: Бұл- бойынша -ші дәрежелі алгебралық теңдеуі. Ондай теңдеулер жалпы түрде былай жазылады: Гурвиц белгісі. теңдеудің барлық түбірлерінің нақты бөліктері теріс болуы үшін мына Гурвиц матрицасының: бас диагональдық минорларының оң болуы, яғни қажетті және жеткілікті. 2. Дәлелденген теоремалар коэффициенттері тұрақты сызықты біртекті дифференциалдық теңдеулер үшін де орындалады. Себебі, ондай теңдеулер әрқашанда коэффициенттері тұрақты сызықты біртекті жүйеге келтіріледі, яғни сызықты жүйенің дербес жағдайы болып табылады. Бұл жағдайда жүйеге келтіргеннен кейін құрылған түрдегі характеристикалық теңдеудің әрбір түбіріне бір ғана элементарлық бөлгіш сәйкес келетінін ескерген жөн . Сондықтан элементарлық бөлгіштің дәреже көрсеткіші түбірдің еселігіне тең болады да, 1-теорема былай айтылады: коэффициенттері тұрақты сызықты бірткеті теңдеудің орнықты болуы үшін, оның характеристикалық теңдеуінің түбірлерінің нақты бөліктері оң болмауы және нақты бөліктері нөлге тең түбірлер еселі емес жәй болуы қажетті және жеткілікті. Коэффициенттері тұрақты сызықты біртекті теңдеу үшін 2-теореманың айтылуы сол қалпында қалады. №4 дәріс жүктеу/скачать 0,55 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|