Пәннің ОҚУ-Әдістемелік кешені «Орнықтылық теориясы»
жүктеу/скачать 0,55 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Ескерту.
- Дәлелдеу. Қажеттілігі.
| Жеткіліктілігі. шарт орындалсын. Онда болған себепті болатындықтан)
. Ал бұдан 2-теореманың негізінде жүйенің орнықтылығы, олай болса оның нөлдік шешімінің орнықтылығы шығады. Ал оған қосымша теңдік орындалатындықтан нөлдік шешім асимптотикалық орнықты. жүйенің асимптотикалық орнықтылығы алынады. Ескерту. Сызықты емес жүйенің барлық шешімдерінің нөлге ұмтылуы жалпы алғанда оның асимптотикалық орнықты болуы үшін жеткілікті емес. №3 дәріс Коэффициенттері тұрақты дифференциалдық жүйенің орнықтылығы Коэффициенттері тұрақты сызықты дифференциалдық жүйе қарастыралық: Мұнда , ал -тұрақты матрица. (1) жүйенің Коши түріндегі жалпы шешімі мына түрде болады Айталық матрицасының меншікті сандары болсын да, ал оларға сәйкес элементарлық бөлгіштері болсын. Онда матрицасына сәйкес Жордан матрицасының түрі мынадай болады: элемениарлық бөлгішінеисәйкес келетін Жордан клеткасы. матрицасын Жордан матрицасына келтіретін айрықша емес матрицаны деп белгілейік. Онда, Және (1.4.2) формуладан матрица экспоненциалының қасиеттерін пайдаланып, формуласын аламыз. Мұнда [5]: 1-теорема. Коэффициенттері тұрақты сызықты біртекті жүйенің орнықты болуы үшін матрицасының меншікті сандарының нақты бөліктерінің оң болмауы және нақты бөліктері нөлге тең меншікті сандарға жай элементарлық бөгіштер сәйкес келуі қажетті және жеткілікті. Дәлелдеу. Қажеттілігі. жүйе орнықты болсын. Алдымен матрицасының барлық характеристикалық сандарының нақты бөліктері оң болмайтынын көрсетелік. Кері жорып, нақты бөлігі оң бір өзіндік мән (сан) табылсын делік: . Онда жүйенің нөлдік емес мынадай комплекс шешімі бар Мұндағы өзіндік санына сәйкес келетін меншікті вектор. болғандықтан Сонымен Енді нақты бөлігі нөлге тең әрбір өзіндік санға жай элементарлық бөлгіштер сәкес келетінін көрсетелік. Тағы да кері жорып, нақты бөлігі нөлге тең бір меншікті санына еселі элементарлық бөлгіш сәйкес келеді дейік. Онда ол санға матрицасының Жордан матрицасында ретті клетка сәйкес келеді, яғни формуладағы: клеткасының бірден үлкен болады. Мынадай мартица алалық. Бұл матрица жүйенің матрицалық шешімі болып табылады: Мұндағы және (6) формуладағы 0-дер-нөлдік матрицалар. (6) формуладан: Бұдан Ал (5) формула бойынша болғандықтан, матрицаның нормасының бірінші не екінші формулаларын пайдаланып Сондықтан (1.4.7) теңсіздіктен Олай болса, Ал бұл (1) жүйесінің орнықтылығына қайшы. Демек, санына тек жәй элементарлық бөлгіш сәйкес келеді. жүктеу/скачать 0,55 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|