Өз бетімен шығаруға арналған тапсырмалар: Исходя из определения устойчивости по Ляпунову, исследовать на устойчивость решения следующих уравнений и систем уравнений:
1.1 ,
1.2 ,
1.3 ,
1.4 ,
1.5
1.6
№2 практикалық сабақ
Сызықты дифференциалдық жүйелердің орнықтылғы туралы жалпы теоремалар. Мысалдар. 1.Скалярлық
теңдеуінің барлық шешімдері:
шенелмеген. Олар шешімінің айналасына шоғырланған және оған кезде шексіз ұмтылады. Сондықтан шешімі жай ғана асимптотикалық орнықты. Сонымен қатар берілген теңдеудің барлық шешімі шенелмеген.
2. Скалярлы
теңдеуін қарастырайық. Интегралдасақ,
, егер
, егер
Әлбетте теңдеудің барлық шешімдері -де шенелген (9-сызба). Бірақ нөлдік шешім кезде орнықсыз, себебі
Оның нөлдік шешімі бар. Жүйенің Коши түріндегі жалпы шешімі мынадай:
Мұндағы:
Әлбетте кезде. Бірақ кез келген үшін мына бастапқы шарттар арқылы анықталатын шешімі мәнінде Шынында да,
0
10-сызба
4. Рассмотрим нелинейное уравнение
(10)
Оно имеет очевидные решения
Решение этого уравнения неустойчиво, а решение является асимптотически устойчивым. В самом деле, при все решения уравнения (10)
