Пәннің ОҚУ-Әдістемелік кешені «Орнықтылық теориясы»
жүктеу/скачать 0,55 Mb.
|
| Теорема. Характеристические показатели системы с постоянной матрицей коэффициентом устойчивы.
Доказательство. Возмущенную систему с кусочно- непрерывной и малой по норме матрицей вещественным преобразованием Ляпунова и –преобразованием сохраняющими неизменными показатели исходной и преобразованной систем, приведем к виду (1) с достаточно малым . Пусть среди чисел имеется различных , причем равных , чисел ровно . Будем искать линейно-независимых решений системы (1) в интегральном виде (2) в котором -я строка матрицы искомый вектор, а Воспользуемся методом последовательных приближений, пологая Пусть - вектор размерности , составляющий с вектором решение . Зафиксируем . Считая выполненным в случае m>1 неравенство , (3) непосредственными вычислениями получаем оценки а тем самым на основании неравенства (3) и оценку () где выбрано удовлетворяющим условию () Предположим, что имеет место неравенство (4) Тогда будем иметь также и неравенства Из этих неравенств в силу условия ()и получаем неравенство устанавливающее справедливость оценки (4) при любом . Поэтому существует удовлетворяющая системе интегральных уравнений (2) непрерывная предельная вектор-функция , норма которой удовлетворяет оценке Очевидно, эта вектор-фукнция- кусочно-дифференцируемая и является решением системы (1) (в чем можно убедиться непосредственной проверкой) с начальным вектором (5) и показателем . Такому же неравенству удовлетворяет в силу свойства и показатель всякого решения (6) системы (1). Для оценки снизу показателей и рассмотрим систему () сопряженную к системе (1). В соответсвии с предыдущими построениями для всякого онa имеет решение, составленное из - мерного и –мерного векторов , с начальным , (7) вектором и показателем Этому же неравенству , очевидно, удовлетворяет и показатель всякого решения (8) cистемы (1.) Для произвольного решения вида (6) укажем такое решение вида (7), для которых в силу (5) и (7) скалярное произведение отлично от нуля. Отсюда и получаем требуемое неравенство. Итак, для всякого нетравиального решения системы (1) вида (6), котороe будем обозначать через, выполнено неравенство (9) Возьмем теперь любого решение системы (1) и представим его в виде суммы ее решений вида (6) с некоторыми . Из неравенства (9) и условия (3) вытекают неравенства . Поэтому на основании свойства имеем равенствo , а с ним в силу (9) – окончательное неравентсво при выполнении условий (3), () В случае неравенство справедливо для всякого решения системы и при любом . Теорема доказано. Из ее доказательства вытекает Следствие. Для -х максимального и минимального показателей стационарной системы в случае справедливы асимптотические при малых представления жүктеу/скачать 0,55 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|